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组 合 ⑵




合 ⑵

课题:组合的简单应用及组合数的两个性质 目的:深刻理解排列与组合的区别和联系,熟练掌握组合数的计算公式;掌握组合数的两个 性质,并且能够运用它解决一些简单的应用问题. 过程: 一、复习回顾: 1.复习排列和组合的有关内容: 定 排 组 列 合 义 特 点 相同×× 公 式

强调:排列——次序性;组合——无序性. 2.练习一: 练习 1:求证: C n ?
m
3

n m?1 m m ?1 ? nCn C n?1 . (本式也可变形为: mC n ?1 ) m
7 3 2 3

4 5 练习 2:计算:① C10 和 C10 ; ② C 7 ? C 6 与 C 6 ;③ C11 ? C11

答案:① 120,120 ② 20,20 ③ 792 (此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础. ) 3.练习二: ⑴ 平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条? ⑵ 平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条? 答案:⑴ C10 ? 45 (组合问题)
2

⑵ A10 ? 90 (排列问题)
2

二、新授: 1.组合数的 性质 1: C n ? C n
m n?m



理解: 一般地,从 n 个不同元素中取出 m 个元素后,剩下 n ? m 个元素.因 为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的每一个组合, 与剩下的 n ? m 个元素的每一 个组合一一对应 ,所以从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,等于从这 n .... 个元素中取出 n ? m 个元素的组合数,即: C n ? C n
m n?m

.在这里,我们主要体

现: “取法”与“剩法”是“一一对应”的思想.
n?m 证明:∵ C n ?

n! n! ? (n ? m)![n ? (n ? m)]! m! (n ? m)!
n! m!(n ? m)!
0 Cn ?1

m 又 Cn ?

∴ Cn ? Cn
m

n?m

注:1? 我们规定

2? 等式特点:等式两边下标同,上标之和等于下标. 3? 此性质作用:当 m ?

n m n?m 时,计算 C n 可变为计算 C n ,能够使运算简化. 2

例如: C 2002 = C 2002
x y

2001

2002? 2001

1 = C 2002 =2002.

4? C n ? C n ? x ? y 或 x ? y ? n 2.示例一: (课本 101 例 4)一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球. ⑴ 从口袋内取出 3 个球,共有多少种取法? ⑵ 从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有多少种取法? ⑶ 从口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法? 解:⑴ C8 ? 56
3 3

⑵ C 7 ? 21
2 2 3

⑶ C 7 ? 35
3

引导学生发现: C 8 ? C 7 ? C 7 .为什么呢? 我们可以这样解释:从口袋内的 8 个球中所取出的 3 个球,可以分为两类:一类含 有 1 个黑球,一类不含有黑球.因此根据分类计数原理,上述等式成立. 一般地,从 a1 , a 2 ,? , a n ?1 这 n+1 个不同元素中取出 m 个元素的组合数是 C n ?1 ,这 些 组 合 可 以 分 为 两 类 : 一 类 含 有 元 素 a1 , 一 类 不 含 有 a1 . 含 有 a1 的 组 合 是 从
m ?1 a 2 , a3 ,? , a n ?1 这 n 个元素中取出 m ?1 个元素与 a1 组成的, 共有 C n 个; 不含有 a1 的 m

组合是从 a 2 , a3 ,? , a n ?1 这 n 个元素中取出 m 个元素组成的,共有 C n 个.根据分类计 数原理,可以得到组合数的另一个性质.在这里,我们主要体现从特殊到一般的归纳思 想, “含与不含其元素”的分类思想. 3.组合数的 性质 2: C n ?1 = C n + C n
m m ?1 证明: C n ? Cn ?

m

m

m

m ?1



n! n! ? m! (n ? m)! (m ? 1)![n ? (m ? 1)]!

?
?

n!(n ? m ? 1) ? n! m m!(n ? m ? 1)!
(n ? m ? 1 ? m)n! m! (n ? m ? 1)!

?

(n ? 1)! m! (n ? m ? 1)!

m ? Cn ?1

∴ C n ?1 = C n + C n

m

m

m ?1



注:1? 公式特征:下标相同而上标差 1 的两个组合数之和,等于下标比原下标多 1 而上标与高的相同的一个组合数. 2? 此性质的作用:恒等变形,简化运算.在今后学习“二项式定理”时,我 们会看到它的主要应用. 4.示例二: ⑴ 计算: C7 ? C7 ? C8 ? C9
3 4 5 6

⑵ 求证: C m ? 2 = C m + 2C m + C m

n

n

n ?1

n?2

⑶ 解方程: C13 ? C13

x ?1

2 x ?3

x ?2 x ?3 ⑷ 解方程: C x ?2 ? C x?2 ?

1 3 Ax ?3 10

⑸ 计算: C 4 ? C 4 ? C 4 ? C 4 ? C 4 和 C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4

5

推广: C n ? C n ? C n ? ? ? C n
0 1 2

n ?1

n ? Cn ? 2n

5.组合数性质的简单应用: 证明下列等式成立: ⑴ (讲解) C n ?1 ? C n ? 2 ? C n ?3 ? ? ? C k ?1 ? C k ? C n
k k k k k k ?1

⑵ (练习) C k ? C k ?1 ? C k ? 2 ? ? ? C k ? n ? C n ? k ?1
k k k k

k ?1

⑶ C n ? 2C n ? 3C n ? ? ? nCn ?
1 2 3 n

n 0 1 n (C n ? C n ? ? ? Cn ) 2

6.处理《教学与测试》76 课例题 三、小结:1.组合数的两个性质; 2.从特殊到一般的归纳思想. 四、作业: 课堂作业: 《教学与测试》76 课 课外作业:课本习题 10.3;课课练课时 9


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