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直线的倾斜角与斜率2


问题1:如何确定一条直线在直角坐标 系的位置呢? 两点或一点和方向
y

问题2:如果已知一点还需附加什么条 件,才能确定直线? 一点和方向
问题3:如何表示方向?
o

x

用角

直线的倾斜角
y

l
α x


o

我们取x轴为 基准,x轴正向 与直线L向上的 方向之间所成的 角α叫做直线L 的倾斜角。

1、直线的倾斜角
规定:当直线和x轴平行或重合时, 它的倾斜角为0°
y o

?

p

l
x

y

l

y o p

y

p o

?x

?x

p

o

l x

l

由此我们得到直线倾斜角α的范围为:

?

o o ? [ 0 ,180 )

看看这三条直线,它们倾斜角 的大小关系是什么?

l1 y
想一想
o

l2

l3
x

想一想 你认为下列说法对吗? 1、所有的直线都有唯一确定的倾斜 角与它对应。

2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。

问题引入
日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

升高量 坡度(比) ? 前进量

升 高 量 前进量

描述直线倾斜程度的量——直线的斜率

2、直线的斜率
定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切
叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示,即:

k ? tan ? ,0 ? ? ? 180
0

0

倾斜角是90 °的直线没有斜率。
k ? tan 45? ? 1 例如:直线 l的倾斜角为 45? , 则斜率为:

k ? tan120? ? ? 3 直线l的倾斜角为 120? , 则斜率为:

应用:
例1:如图,直线 l1 的倾斜角 ?1 =300,直线 l2⊥l1,求l1,l2 的斜率。
y
l2

l1

?1
O

?2
x

例2 直线 l1、 l2、 l3的斜率分别是k1、 k2、 k3,试比较斜率的大小
l1 l2 l3

例3、 填空 0 3 (1) 若? ? 60 则k=________ 0 若k ? ? 3, 则? ? ________ 120 0 0 3 ? ? ( 30 , 60 ) ( 2) 若 ,则 k ? ( ____ , ; 3)
3

( 3 )若k ? (?1,1) 则 ? 的取值范围 0 0 0 [0, 45 ) ? (135 ,180 ) _________ 0 0 若? ? (60 ,150 ),则K的取值范围___
(??, ? 3 ) ? ( 3, ??)

3 0 0 (120 ,150 ) 若 k ? (? 3,? ), 则? ? _____ 3

小结
1、倾斜角的定义及其范围

0 ? ? ? 180
0
0

0

2、斜率的定义及斜率与倾斜角的相互转化

判断:

1、平行于X轴的直线的倾斜角为0或 ?

?不存在? ? 90 k ?? 0 ? tan ? ? ? 90

?

2、直线的斜率为tan ?,则它的倾斜角为?

3、直线的倾斜角越大,则它的斜率也越大

? ?

y
o

?

p

l
x

y p
o

l

y
o p

y

?x

?x

p

o

l x

l

0°< ? < 90°

? = 90°
k不存在

90°< 180°

? <

?

= 0°

k >0

k<0

k=0

想一想

我们知道,两点也可以唯一确定一条直线。 所以我们的问题是: 如果知道直线上的两点,怎么样 来求直线的斜率(倾斜角)呢?

3、探究:由两点确定的直线的斜率 k ? tan ?

锐角
y
y2
y1

能不能构造 一个直角三 如图,当 α为锐角时, 角形去求? P2 ( x2 , y2 )

?
P 1 ( x1 , y1 )

? ? ?P2 P 1Q,

Q( x2 , y1 )

且x1 ? x2 , y1 ? y2

QP2 y2 ? y1 k ? tan? ? tan?P2 P ? 1Q ? P x2 ? x1 1Q

o

?

x1

x2

x

在Rt?P2 P 1Q中

?0

钝角
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为钝角是, ? ? ? 180 ? ? , 且x1 ? x2 , y1 ? y2 tan? ? tan( 180? ? ? )
P 1 ( x1 , y1 )

?
Q( x2 , y1 )

o

x1

x2

?

x

y2 ? y1 y2 ? y1 ? k ? tan? ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1

? ? tan? 在Rt?P2QP 中 1 P2Q y2 ? y1 ? tan? ? x1 ? x2 P 1Q

?0

思考?

1、当直线平行于y轴,或与y轴重合时, k不存在 上述公式还适用吗?为什么?

? ? 90 , tan90 (不存在)
? ?

y

y2

P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1

y1

o

x 答:斜率不存在, 因为分母为0。

) 2、已知直线上两点 A(a1 , a2 )、 B(b1 , b2, 运用上述公式计算直线AB的斜率时,与 A、B的顺序有关吗?

b2 ? a2 k AB ? b1 ? a1

?

a2 ? b2 kBA ? a1 ? b1

答:与A、B两点的顺序无关。

3、直线的斜率公式:
综上所述,我们得到经过两点 P 1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )的直线的斜率公式:

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2
P2
P1 P1

P2

例1

、如图,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2),求 直线AB、BC、CA的斜率,并判断这 些直线 的倾斜角是什么角? y. 解: B . A 2?2 . . . . . . . ?0 直线AB的斜率 k AB ? o x ?8? 4 . ?2?2 ?4 1
直线BC的斜率 kBC ? 直线CA的斜率 kCA
0 ? (?8) ? 8 ?? 2

C

∵ k AB ? 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ kBC ? 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA ? 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角

2 ? (?2) 4 ? ? ?1 4?0 4

四、小结:
1、直线的倾斜角定义及其范围: 0? ? ? ? 180? ? 2、直线的斜率定义: k ? tan a (a ? 90 ) 3、斜率k与倾斜角? 之间的关系:

y2 ? y1 y1 ? y2 4、斜率公式:k ? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2

?a ? 0? ? k ? tan0? ? 0 ? ? ? 0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? ? ? ?a ? 90 ? tan a(不存在) ? k不存在 ?90? ? a ? 180? ? k ? tana ? 0 ?

例3 判断正误:
①直线的倾斜角为α,则直线的斜率为 tan( ? ) ②直线的斜率为 t an ? ,则它的倾斜角为 ? ( ) ③因为所有直线都有倾斜角,所以所有直线都有 斜率。 ( ) ④因为平行于y轴的直线的斜率不存在,所以平 行于y轴的直线的倾斜角不存在 ( ) ⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( )

例题
例1、求经过A(-2,0), B(-5,3)两点的直线的斜率

变式1、在例1基础上加上点C(m,4)也在直线上, 求m。 变式2、在例1基础上加上点D(8,6),判断点D是否 在直线上。

例2、已知三点A(2,3),B(a, 4),C(8, a)三点共线, 求a 的值.
例3、直线L的倾斜角是连接(3,-5),(0,-9) 两点的直线的倾斜角的两倍,求直线L的斜率。 例4、从M(2,2)射出一条光线,经过X轴反射后过 点N(-8,3),求反射点P的坐标 N(-8,3) M(2,2)

? ?
P

小 结:
一、求直线的倾斜角和斜率

二、利用斜率相同判定三点共线

例4 从 M? 2 , 2 ? 射出一条光线 , 经过x 轴反射 后过点N( ? 8 , 3 ) , 求反射点 P 的坐标

解:设P(x,0) N(-8,3)
因为入射角等于反射角
? K MP ? ?K PN
M(2,2)

? ?
P

2 3 ? 2?x 8? x

解得 x ? ?2

? 反射点 P ( ?2,0)

例5 直线L的倾斜角是连接( 3,?5),(0,?9)两点 的直线的倾斜角的两倍 ,求直线L的斜率.
解: 设连接(3,?5), (0,?9)的直线倾斜角为? , 则
?5?9 4 tan? ? ? 3?0 3

于是直线L的斜率为
2 tan? 24 tan2? ? ?? 2 7 1 ? tan ?

小结提高
楼梯坡度
平面解 析几何

直线的斜率
核心
知识?方法?思想

斜率定义

几何意义

应用


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