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1.3简单曲线的极坐标方程


1.3简单曲线的极坐标方程

曲线的极坐标方程
一、定义:如果曲线C上的点与方程 f(ρ, θ)=0有如下关系 (1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(ρ, θ)=0 ; (2)方程f(ρ, θ)=0的所有解为坐标的点 都在曲线C上。 则曲线C的方程是f(ρ, θ)=0 。

探究:
如图,半

径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0),你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(ρ, θ)满足 的条件?
O
C(a,0)

x

例1、已知圆O的半径为r,建立怎 样的坐标系,可以使圆的极坐标 方程更简单?

题组练习 1 求下列圆的极坐标方程 (1)中心在极点,半径为2;

ρ =2

(2)中心在C(a,0),半径为a;

ρ =2acos θ (3)中心在(a,?/2),半径为a; ρ =2asin θ

练习2 极坐标方程分别是ρ=cosθ和 ρ=sinθ的两个圆的圆心距是多少

2 2

练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为 半径的圆的方程是

C

? ?? A.? ? 2cos ? ? ? ? 4? ? C.? ? 2cos ?? ? 1?

? ?? B.? ? 2sin ? ? ? ? 4? ? D.? ? 2sin ?? ? 1?

直线的极坐标方程

怎样求曲线的极坐标方程?

答:与直角坐标系里的情况一样,求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点P的坐标?与?之间的关系,然后列 出方程?(?,?)=0 ,再化简并讨论。

新课讲授 ? 例题1:求过极点,倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析: 如图,所求的射线 ? 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 ? / 4,其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? 0)
4

思考: 5? 1、求过极点,倾角为 的射线的极 4 坐标方程。
5 易得 ? ? ? ( ? ? 0) 4 ? 2、求过极点,倾角为 的直线的极 4

坐标方程。 ? 5 ? ? 或? ? ?
4 4

和前面的直角坐标系里直线方程 的表示形式比较起来,极坐标系里的 直线表示起来很不方便,要用两条射 线组合而成。原因在哪?

??0

为了弥补这个不足,可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
?? ?
4 ( ? ? R)



5 ? ? ? ( ? ? R) 4

例题2、求过点A(a,0)(a>0),且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解:如图,设点 M ( ? , ? ) M ? 为直线L上除点A外的任 意一点,连接OM ﹚? o A x 在 Rt ?MOA 中有

OM cos ?MOA ? OA 即 ? cos ? ? a 可以验证,点A的坐标也满足上式。

求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图; 2、设点 M ( ? , ? ) 是直线上任意一点; 3、连接MO; 4、根据几何条件建立关于 ? ,? 的方 程,并化简; 5、检验并确认所得的方程即为所求。

练习:设点P的极坐标为A( a , 0) ,直 l 线 过点P且与极轴所成的角为? ,求直l 线 的极坐标方程。 M ? 解:如图,设点 M ( ? , ? ) ? ? ﹚ 为直线 l 上异于的点 o p x 连接OM, 在?MOA 中有
? a ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) 即

? sin(? ? ? ) ? a sin ?

显然A点也满 足上方程。

例题3设点P的极坐标为( ?1 ,?1 ) ,直线 l 过点P且与极轴所成的角为 ? ,求直线l 的极坐标方程。
? ?1 P

M

o

? ﹚ ? ﹚
1

x

解:如图,设点 M ( ? , ? ) 为直线上除 点P外的任意一点,连接OM 则 OM ? ? , ?xOM ? ? 由点P的极坐标知 OP ? ?1 ?xOP ? ?1
设直线L与极轴交于点A。则在?MOP

?OMP ? ? ? ? , ?OPM ? ? ? (? ? ?1 )
由正弦定理 得
?1 ? ? sin[? ? (? ? ?1 )] sin(? ? ? )

显然点 P 的坐标 ? sin(? ? ? ) ? ?1 sin(? ? ?1 ) 也是它的解。

1.小结: (1)曲线的极坐标方程概念 (2)怎样求曲线的极坐标方程 (3)圆的极坐标方程 2.直线的几种极坐标方程 1) 过极点 2) 过某个定点,且垂直于极轴 3) 过某个定点,且与极轴成一定 的角度


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