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2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛


2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
一.选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ? ? 1.函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? ( , 2) 平移后, 得到的图像的解析式为 4
y ? sin( x ? ) ? 2 . 那么 y ? f ( x) 的解析式为 4

?

A. y ? sin

x

B. y ? cos x

C. y ? sin x ? 2

D. y ? cos x ? 4

2.如果二次方程 x 2 ? px ? q ? 0 ( p, q ? N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有 A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个
1 的最小值是 b( a ? b )

D. 8 个

3.设 a ? b ? 0 , 那么 a 2 ?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.设四棱锥 P ? ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 ? 去截此四棱锥, 使得
截面四边形是平行四边形, 则这样的平面

?

A. 不存在

B. 只有 1 个

C. 恰有 4 个

D. 有无数多个

5.设数列 {an } : a0 ? 2, a1 ? 16, an? 2 ? 16an?1 ? 63an , n?N*, 则 a2005 被
64 除的余数为

A. 0

B. 2

C. 16

D. 48

6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 ? 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖都是
单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼 色方法有

A. 308 个

B. 30 ? 257 个

C. 30 ? 207 个

D. 30 ? 217 个

二.填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ? 7.设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 得向量 OB , 且 2OA ? OB ? (7,9) , 则 2 ??? ? 向量 OB ? . 8.设无穷数列 {an } 的各项都是正数, S n 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数

n , an 与 2 的等差中项等于 S n 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为
9.函数 y ?| cos x | ? | cos 2 x | ( x ?R) 的最小值是
.

.

10.在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2, AA1 ? AD ? 1 , 点 E 、 F 、 G
分别是棱 AA1 、 C1 D1 与 BC 的中点, 那么四面体 B1 ? EFG 的体积是 .

11.由三个数字 1、 2 、 3 组成的 5 位数中, 1 、 2 、 3 都至少出现 1 次, 这样 的 5 位数共有 . 12. 已知平面上两个点集 M ? {( x, y ) | | x ? y ? 1| ? 2( x 2 ? y 2 ), x, y ? R},
N ? {( x, y) | | x ? a | ? | y ? 1| ? 1, x, y ?R}. 若 M ? N ? ? , 则 a 的取值范围是
.

三.解答题 (第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 24 分) 13.已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点 BC BM (用 ? 表示). ? ? , 试求 N , 且 AB 是 ?NBC 的外接圆的切线, 设 BN MN
A

N M B D C

14.求所有使得下列命题成立的正整数 n (n ? 2) : 对于任意实数 x1 , x2 ,?, xn ,


?x
i ?1

n

i

? 0 时, 总有

?x x
i ?1

n

i i ?1

? 0 ( 其中 xn ?1 ? x1 ).

15.设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 a 2 b2

x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R ,
使 ?PQR 为正三角形, 求椭圆的离心率 e
R

y
Q'

Q

的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率.

M‘ P’ F P

M O

x

16.(1) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的
最小值, 并说明理由; (2) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 2005 , 求 n 的 最小值, 并说明理由.

2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案
一.选择题
1,B 2,C

y ? sin[( x ? ) ? ] , 即 4 4
2

?

?

y ? c o s . 故选 B. x
2

由 ? ? p ? 4q ? 0, ?q ? 0 , 知方程的根为一正一负.设 f ( x) ? x ? px ? q ,则

f (3) ? 32 ? 3 p ? q ? 0 , 即 3 p ? q ? 9 . 由 于

p, q ? N* , 所 以

p ? 1, q ? 5 或

p ? 2, q ? 2 . 于是共有 7 组 ( p, q) 符合题意. 故选 C.
3,C 由 a ? b ? 0 , 可知 0 ? b(a ? b) ?

a2 a 1 ? (b ? ) 2 ? a 2 4 2 4

所以, a ?
2

1 4 ? a 2 ? 2 ? 4 . 故选 C. b( a ? b) a

4,D 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、 n , 直线 m 、 n 确定了一个平面 ? 作与 ? 平行的平面 这样的平面

? , 与四棱锥的各个侧面相截,则截得的四边形必为平行四边形.而

? 有无数多个.故选 D.

5,C 数列 {an } 模 64 周期地为 2,16,-2,-16,……. 又 2005 被 4 除余 1, 故 选 C. 6,D 铺第一列(两块地砖)有 30 种方法;其次铺第二列.设第一列的两格铺了 A 、 B 两色(如图),那么,第二列的上格不能铺 A 色.若铺 B 色,则有 (6 ? 1) 种铺法;若不 铺 B 色, 则有 (6 ? 2)
2

种方法. 于是第二列上共有 21 种铺法. 同理, 若
7

A B

前一列铺好,则其后一列都有 21 种铺法.因此,共有 30 ? 21 种铺法. 故 选 D.

二.填空题 ??? ? ??? ? 11 23 7, (? , ) 设 OA ? (m, n) , 则 OB ? (?n, m) , 所以 5 5
??? ??? ? ? 2OA ? OB ? (2m ? n, 2n ? m) ? (7,9) 即

? 2m ? n ? 7 , 解得 ? ? m ? 2n ? 9 .

23 ? ?m ? 5 , ? ? ? n ? 11 . ? 5 ?

因此, OA ? (

??? ?

? 23 11 ??? 11 23 , ), OB ? (? , ) . 5 5 5 5

8, an ? 4n ? 2 (n ? N*).由题意知 由 a1 ? S1 得 又由 ① 式得

(a ? 2) 2 an ? 2 , 即 Sn ? n .… ① ? 2Sn 8 2

a1 ? 2 ? 2a1 , 从而 a1 ? 2 . 2
Sn ?1 ? (an ?1 ? 2)2 (n ? 2) ,… ② 8

于是有

an ? Sn ? S?1 ? n

(an ? 2) 2 (an ?1 ? 2) 2 ? (n ? 2) , 8 8

整理得 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 4) ? 0 . 因 an ? 0, an ?1 ? 0 , 故

an ? an?1 ? 4 (n ? 2), a1 ? 2 ,所以数列 {an } 是以 2 为首项、 4 为公差的等差数列,
其通项公式为 an ? 2 ? 4(n ? 1) ,即 an ? 4n ? 2 . 故填

an ? 4 n ? 2 (n ? N*).

9,

2 2

令 t ?| cos x |?[0,1] ,则 y ? t ? | 2t ? 1| .
2



2 1 9 ? t ? 1 时, y ? 2t 2 ? t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? ,得 2 4 8

2 ? y ? 2; 2 2 9 ? y? 2 8

当 0?t?

2 1 2 9 2 时, y ? ?2t ? t ? 1 ? ?2(t ? ) ? ,得 2 4 8

又 y 可取到 10, VB1 ? EFG ?

2 2
3 8

, 故填

2 2



在 D1 A1 的延长线上取一点 H ,使 A1 H ?

1 . 易证, HE || B1G , 4

HE || 平面 B1 FG . 故 VB1 ? EFG ? VE ? B1FG ? VH ? B1FG ? VG ? B1FH .
而 S?B1FH ? 11, 150

9 3 ,G 到平面 B1 FH 的距离为 1 . 故填 VB1 ? E F G . ? 8 8
1 1 2 3

在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次,有 C5 (C4 ? C4 ? C4 ) ? 70 个;
2 1 2

若 1 只出现 2 次,有 C5 (C3 ? C3 ) ? 60 个; 若 1 只出现 3 次,有 C5 C2 ? 20 个. 则这样的五位数共有 150 个. 故填 150 个.
3 1

12. [1 ? 6,3 ? 10] 由题意知 M 是以原点为焦点、直线 x ? y ? 1 ? 0 为准线的抛物线上及其凹口

内侧的点集, N 是以 (a,1) 为中心的正方形及其 内部的点集(如图). 考察 M ? N ? ? 时, a 的取值范围: 令 y ? 1, 代入方程

y
3 2 1

| x ? y ? 1|? 2( x 2 ? y 2 ) ,
得 x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 ,解出得 x ? 2 ? 6 . 所以, 当 a ? 2 ? 6 ? 1 ? 1 ? 6 时, 令 y ? 2 ,代入方程

-3

-2

-1

O
-1

2 1 3 4 5 6 7

x

M ? N ? ?.

………… ③

| x ? y ? 1|? 2( x 2 ? y 2 ) , 得 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 . 解出得

x ? 3 ? 10 .所以,
当 a ? 3 ? 10 时,

M ? N ? ?.

………… ④

因此, 综合 ③ 与 ④ 可知,当 1 ? 6 ? a ? 3 ? 10 ,即 a ? [1 ? 6, 3 ? 10] 时,

M ? N ? ? .故填 [1 ? 6,3 ? 10] .
三.解答题
13, 证明:在 ?BCN 中,由 Menelaus 定理得

BM NA CD ? ? ? 1. MN AC DB 因为 BD ? DC ,所以 BM AC . ……………… 6 分 ? MN AN
由 ?ABN ? ?ACB ,知

A

N M B D C

?ABN ∽ ?ACB ,则 AB AC CB . ? ? AN AB BN
2

AB AC ? CB ? ? ?? 所以, ? , 即 AN AB ? BN ?
2

AC ? BC ? ?? ? . AN ? BN ?

2

…………………… 12 分

BM ? BC ? BC ?? 因此, ??, 故 ? . 又 MN ? BN ? BN

BM ? ?2 . MN

…………………… 15 分
2

14, 解: 当 n ? 2 时,由 x1 ? x2 ? 0 ,得 x1 x2 ? x2 x1 ? ?2 x1 ? 0 . 所以 n ? 2 时命题成立. …………………… 3 分

当 n ? 3 时,由 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ,得

x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ?

2 2 ( x1 ? x2 ? x3 )2 ? ( x12 ? x2 ? x3 ) 2

. ………………… 6 分

所以 n ? 3 时命题成立. 当 n ? 4 时,由 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0 ,得

x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x4 ? x4 x1 ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) ? ?( x2 ? x4 ) 2 ? 0 .
所以 n ? 4 时命题成立.

………………

9分
i

当 n ? 5 时,令 x1 ? x2 ? 1 , x4 ? ?2 , x3 ? x5 ? ? ? xn ? 0 , 则
n

?x
i ?1

n

?0.

但是,

?x x
n ?1

i i ?1

? 1 ? 0 ,故对于 n ? 5 命题不成立.

综上可知,使命题成立的自然数是 n ? 2, 3, 4 . 15, 解: 如图, 设线段 PQ 的中点为 M . 过点 P 、 M 、 Q 分别作准线的垂线, 垂足 分别为 P ' 、 M ' 、 Q ' , 则

…………… 15 分

1 1 | PF | | QF | | PQ | . …………… 6 分 | MM ' |? (| PP ' | ? | QQ ' |) ? ( ? )? 2 2 e e 2e
假设存在点 R ,则 | RM |?

3 | PQ | , 且 | MM ' | ? | RM | , 即 2

| PQ | 3 ? | PQ | , 2e 2
所以, e ?

3 . 3

………………………… 12 分

于是, cos ?RMM ' ?

| MM ' | | PQ | 2 1 ? ? ? , 故 | RM | 2e 3 | PQ | 3e

cot ?RMM ' ?
若 | PF | ? | QF | (如图),则

1 3e 2 ? 1



k PQ ? tan ?QFx ? tan ?FMM ' ? cot ?RMM ' ?

1 3e 2 ? 1

.

…………… 18 分

当 e?

3 时, 过点 F 作斜率为 3

1 3e 2 ? 1

的焦点弦 PQ , 它的中垂线交左准线

于 R , 由上述运算知, | RM |?

3 | PQ | . 故 ?PQR 为正三角形. 2

………… 21 分

若 | PF | ? | QF | ,则由对称性得

kPQ ? ?

1 3e2 ? 1



……………… 24 分

又 e ? 1 , 所以,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e 的取值范围是 a 2 b2

e?(

3 1 ,1) , 直线 PQ 的斜率为 ? . 3 3e 2 ? 1
解 : (1) 因 为

16,

103 ? 1000, 113 ? 1331, 123 ? 1728, 133 ? 2197 ,

123 ? 2005 ? 133 ,
故 n ? 1. 因为 2005 ? 1728 ? 125 ? 125 ? 27 ? 12 ? 5 ? 5 ? 3 ,所以存在 n ? 4 , 使
3 3 3 3

nmin ? 4 .
3 3

……………… 6 分

若 n ? 2 ,因 10 ? 10 ? 2005 , 则最大的正方体边长只能为 11 或 12 ,计算

2005 ? 113 ? 674, 2005 ? 123 ? 277 ,而 674 与 277 均不是完全立方数, 所以

n ? 2 不可能是 n 的最小值.
2

……………… 9 分
3

若 n ? 3 ,设此三个正方体中最大一个的棱长为 x , 由 3x ? 2005 ? 3 ? 8 , 知 最大的正方体棱长只能为 9 、 10 、 11 或 12 . 由于 2005 ? 3 ? 9 , 2005 ? 2 ? 9 ? 547 , 2005 ? 9 ? 2 ? 8 ? 0 , 所以 x ? 9 .
3 3 3 3

由于 2005 ? 2 ? 10 ? 5 , 2005 ? 10 ? 9 ? 276 , 2005 ? 10 ? 8 ? 493 ,
3
3 3 3 3

2005 ? 10 3 ? 2 ? 7 3 ? 0 , 所以

x ? 10 .

由于 2005 ? 11 ? 8 ? 162 , 2005 ? 11 ? 7 ? 331 , 2005 ? 11 ? 2 ? 6 ? 0 ,
3 3 3 3

3

3

所以 x ? 11 . 由于 2005 ? 12 ? 6 ? 61 , 2005 ? 12 ? 5 ? 152 ? 5 , 所以 x ? 12 .
3 3 3 3 3

因此 n ? 3 不可能是 n 的最小值. 综上所述, n ? 4 才是 n 的最小值. (2) 设 n 个正方体的棱长分别是 x1 , x2 ,? , xn , 则
3 3 x13 ? x2 ? ? ? xn ? 20022005 .…………… ⑤

……………… 12 分

由 2002 ? 4(mod9) , 4 ? 1(mod 9) ,得
3

20022005 ? 42005 ? 4668?3?1 ? (43 )668 ? 4 ? 4(mod 9) .…… ⑥
又当 x?N* 时, x ? 0, ?1 (mod 9) ,所以
3

…… 15 分

3 3 3 x13 ∕ 4(mod 9) , x13 ? x2 ≡ 4 (mod 9) , x13 ? x2 ? x3 ∕ 4 (mod 9) . … ⑦ ≡ ∕ ≡

…………… 21 分 ⑤ 式模 9 , 由 ⑥、⑦ 可知, n ? 4 . 而 2002 ? 10 ? 10 ? 1 ? 1 ,则
3 3 3 3

20022005 ? 20022004 ? (103 ? 103 ? 13 ? 13 ) ? (2002668 )3 ? (103 ? 103 ? 13 ? 13 ) ? (2002668 ?10)3 ? (2002668 ?10)3 ? (2002668 )3 ? (2002668 )3 .…… 24 分
因此 n ? 4 为所求的最小值.


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