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湖南省衡阳八中2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题


衡阳市八中2016-2017下学期期末考试试题
高一数学 (本卷共21道小题,考试时间120分钟,满分100分) 注意事项:答题前,考生务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题卡的密封线 内.答题时,答案写在答题卡上 对应题目的空格内,答案写在试卷上无效.考试结 束后,上交答题卡. 一、选择题(每小题3分,共10小题,满分30分) 1. cos 450 cos150 ?

sin 450 sin150 ? A.
1 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

2.若 a、、 b c ? R, a ? b ,则下列不等式一定成立的是 A. ?
1 a 1 b

B. a 2 ? b 2

C.

a ?1 b

D. a (c 2 ? 1) ? b (c 2 ? 1)

3.已知等差数列 ? a n ?的公差为 2 ,若 a1 ,a 3 , a 4 成等比数列, 则 a2 ? A. ?4 B. ?6 C. ?8 D. ?10

4.若 ?ABC 的三内角A、B、C对应的边分别是a、b、c,若 a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac ,则 B ? A. 30? B. 60? C. 120? D. 150?

5.已知数列 ?an ?的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , S n ? 2an ?1 ,,则 S n ? A. 2 n ?1 B .
1 2
n ?1

2 C. ( ) n ?1 3

3 D. ( ) n ?1 2

6.在 ?ABC 中的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 b cos C ? c cos B ? a sin A ,则

?ABC 的形状为
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
uu u r r uu r r uuu r 7.如图所示, D 是 ?ABC 的边 AB 上的中点,记 BC ? a , BA ? c ,则向量 CD ?
A

D
B
C

r 1r A. ? a ? c 2

r 1r B. a ? c 2

-1-

r 1r C. ? a ? c 2

r 1r D. a ? c 2

8.设 x ? R ,记不超过 x 的最大整数为 ?x ? ,如 ?2.5? ? 2 , ??2.5? ? ?3 ,令

?x? ? x ? ?x ?,则 ? ?

? 5 ? 1? 5 ?1 ? ? 5 ? 1? ,三个数构成的数列 ?,? ?, 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ?
B.是等差数列但不是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

A.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列

9.灯塔A和灯塔B与海洋观察站C的距离都是10海里,灯塔A在观察站C的北偏东 40°,灯塔B在观察站C的南偏东20°,则灯塔A和灯塔B的距离为 A.10海里 D. 10 3 海里 10.已知 S n 是等差数列 ?an ?的前n项和,且 S6 ? S7 ? S5 ,给出下列五个命题: ① B.20海里 C. 10 2 海里

d ? 0 ;② S11 ? 0 ;③ S12 ? 0 ;④数列 ?S n ?中的最大项为 S11 ;⑤ a6 ? a7 。其中正

确命题的个数是 A.3 B.4 C.5 D.1

二、填空题(每小题3分,共5小题,满分15分) r r r r 11. 已知 a ? (2, ? ), b ? (3, 4), ,若 a ? b ,则 ? = 12. 已知不等式 x 2 ? (m ? 1) x ? m 2 ? 0 的解集为 R ,则实数 m 的取值范围为
1 13、已知 sin ? ? ,则 3
tan(2? ? ? ) ? 3? cos( ? ? ) ? sin( ? ? ) 2 2

?

2 2 14. 已知等差数列 ?an ?中, a3 ? a8 ? 2a3 a8 ? 9 ,且 an ? 0 ,则 S10 为

15. 已知平面内 n(n ? N ? ) 条直线,任意两条都相交,任意三条不共点,这 n 条直 线将平面分割成 an 个区域,则 an ? -2-

三、解答题(共 6小题,满分55分) 16.(本小题满分7分)

b c ,若 B ? 60? , 在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a、、
且 cos( B ? C ) ? ?
11 . 14

(1)求 cos C 的值; (2)若 a ? 5 ,求△ ABC 的面积.

17.(本小题满分8分) 已知 f ( x) ? 2 x 2 ? bx ? c ,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5) , (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若对于任意 x ? [?1,1] ,不等式 f ( x) ? t ? 2 恒成立,求 t 的取值范围. 18. (本小题满分9分)

?x ? y ? 1 ? 0 ? 若x,y满足 ? x ? y ? 3 ? 0 ,求: ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
(1) z ? 2 x ? y 的最小值; (3) z ?
y?x 的最大值; x

(2) z ? x 2 ? y 2 的范围.

19.(本小题满分9分) 等比数列 ?an ?的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (1)求数列 ?an ?的通项公式;

?1? (2)设 bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ...... ? log 3 an , 求数列 ? ? 的前n项和. ? bn ?
20. (本小题满分10分) u r r u r r 已知向量 m ? (sin ? x, cos ? x), n ? (cos ? x, cos ? x)(? ? 0) ,设函数 f ( x) ? m ? n 且 f ( x) 的最小正周期为 ? . (1)求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)先将函数 y ? f ( x) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变, -3-

然后将图象向下平移

1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求函数 y ? g ( x) 在区 2

间上 [0,

3? ] 上的取值范围. 4

21.(本小题满分12分)

?? ? 我们把一系列向量 ai (i ? 1, 2,3,?, n) 按次序排成一列,称之为向量列,记作 an ,

??

?? ? ?? ? 1 1,1?, an ? ( xn , yn ) ? ( xn ?1 ? yn ?1 , xn ?1 ? yn ?1 ) ?n ? 2 ? . 已知向量列 an 满足: a1 ? ? 2

??

?? ? (1)证明:数列 an 是等比数列;

??

?? ? ???? n2 (2)设 ? n 表示向量 an 与 an ?1 间的夹角,若 bn ? ? n ,对于任意正整数 n ,不等

?

1 1 1 ? ??? ? a (a ? 2) 恒成立,求实数 a 的范围 bn ?1 bn ? 2 b2 n ??? ? ??? ? (3)设 cn ? an ?log 2 an ,问数列 ?cn ?中是否存在最小项?若存在,求出最小项;
式 若不存在,请说明理由 衡阳市八中2016-2017上学期期末考试答案 高一数学 一、选择题(每小题3分,共10小题,满分30分) ADBBD ACADA

二、填空题(每小题3分,共5小题,满分15分) 11. ?
3 2 1 12 . (??, ? ) ? (1, ? ?) 3

13.

9 8

14, ?15

15.

n2 ? n ? 2 2

三、解答题(共 6小题,满分55分) 16.(本小题满分7分)

b c ,若 B ? 60? , 在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a、、
-4-

且 cos( B ? C ) ? ?

11 .(1)求 cos C 的值; (2)若 a ? 5 ,求△ ABC 的面积. 14 11 , 14

解析:(1)∵ cos( B ? C ) ? ?

∴ sin( B ? C ) ? 1 ? cos 2 ( B ? C ) ?

5 3 14

∴ cos C ? cos ? ? ?B ? C ? ? B ? ? ? cos( B ? C ) cos B ? sin( B ? C ) sin B
?? 11 1 5 3 3 1 ? ? ? ? 4 2 14 2 7 4 3 7

(2)由(1)可得 sin C ? 1 ? cos 2 C ?

在△ ABC 中,由正弦定理
b sin A ?5 a

c b a ? ? sin C sin B sin A

∴c ?

a sin C ?8 sin A

,

b?

∴S ?

1 1 3 ac sin B ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3 . 2 2 2

17.(本小题满分8分) 已知 f ( x) ? 2 x 2 ? bx ? c ,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5) , (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若对于任意 x ? [?1,1] ,不等式 f ( x) ? t ? 2 恒成立,求 t 的取值范围. 解析:(1) f ( x) ? 2 x 2 ? bx ? c ,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5) , 所以 2 x 2 ? bx ? c ? 0 的解集是 (0,5) ,所以 0 和 5 是方程 2 x 2 ? bx ? c ? 0 的两个根, 由韦达定理知, ?
b c ? 5, ? 0,? b ? ?10, c ? 0, f ( x) ? 2 x 2 ? 10 x . 2 2

(2) f ( x) ? t ? 2 恒成立等价于 2 x 2 ? 10 x ? t ? 2 ? 0 恒成立, 所以 2 x 2 ? 10 x ? t ? 2 的最大值小于或等于0.设 2 x 2 ? 10 x ? t ? 2 ? 0 ,
2 则由二次函数的图象可知 g ( x) ? 2 x ? 10 x ? t ? 2 在区间 [?1,1] 为减函数,

所以 g ( x) max ? g (?1) ? 10 ? t ,所以 t ? ?10 . 18. (本小题满分9分) -5-

?x ? y ? 1 ? 0 ? 若x,y满足 ? x ? y ? 3 ? 0 ,求: ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
(1) z ? 2 x ? y 的最小值; (3) z ? 解析:
y?x 的最大值; x

(2) z ? x 2 ? y 2 的范围.

作出满足已知条件的可行域为△ABC内(及边界)区 域,其中A(1,2),B(2,1),C(3, 4). (1)目标函数 z ? 2 x ? y ,表示直线 l : y ? ?2 x ? z , z 表示该直线纵截距,当 l 过点A(1,2)时纵截距 有最小值,故 zmin ? 4 . (2)目标函数 z ? x 2 ? y 2 表示区域内的点到坐标系点的距离的平方,又原点O到A B的距离 d ?
?9 ? z ? ? , 25? ?2 ?

|3| 3 2 ?3 3? 且垂足是D ? , ? 在线段AB上,故 OD 2 ? z ? OC 2 ,即 ? 2 2 ?2 2?

(3)目标函数 z ?

y y ? 1 ,记 k ? . x x

则k表示区域中的点与坐标原点连线的斜率,当直线过点A时,斜率最大,即

? y? x? kmax ? 2 ,即 zmax ? ? ? ? 3. ? x ? max
19.(本小题满分9分) 等比数列 ?an ?的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式;

?1? (Ⅱ)设 bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ...... ? log 3 an , 求数列 ? ? 的前n项和. ? bn ?
-6-

2 3 2 解析:(Ⅰ)设数列 ?an ?的公比为q,由 a3 所以 q 2 ? ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4

1 。 9

1 1 由条件可知a>0,故 q ? 。 由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a1q ? 1 ,所以 a1 ? 。 3 3

故数列 ?an ?的通项式为an=

1 。 3n

(Ⅱ) bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ... ? log 3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1 1 2n 所以数列 { } 的前n项和为 ? n ?1 bn

20. (本小题满分10分) u r r u r r 已知向量 m ? (sin ? x, cos ? x), n ? (cos ? x, cos ? x)(? ? 0) ,设函数 f ( x) ? m ? n 且 f ( x) 的最小正周期为 ? . (1)求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)先将函数 y ? f ( x) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变, 然后将图象向下平移
1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求函数 y ? g ( x) 在区 2

间上 [0,

3? ] 上的取值范围. 4

-7-

故 f ( x ) 的单调递增区间是 [?

3? ? ? k? , ? k? ], k ? Z 8 8

(2) f ( x) ?
1 向下平移个单位

2 ? 1 2 ? 1 纵坐标不变 sin(2 x ? ) ? ??????? ? f1 ( x) ? sin( x ? ) ? 横坐标伸长为原来的2倍 2 4 2 2 4 2 2 ? sin( x ? ) 、 2 4

2 ?????? ? g ( x) ?

Q x ? [0,

3? ? ? ],? x ? ? [ .? ] 4 4 4

? sin( x ? ) ? [0,1] 4

?

?

2 ? 2 2 sin( x ? ) ? [0, ] ,即 g ( x) 的取值范围为 [0, ]. 2 4 2 2

21.(本小题满分12分)

?? ? 我们把一系列向量 ai (i ? 1, 2,3,?, n) 按次序排成一列,称之为向量列,记作 an ,

??

?? ? ?? ? 1 1,1?, an ? ( xn , yn ) ? ( xn ?1 ? yn ?1 , xn ?1 ? yn ?1 ) ?n ? 2 ? . 已知向量列 an 满足: a1 ? ? 2

??

?? ? (1)证明:数列 an 是等比数列;

??

?? ? ???? n2 (2)设 ? n 表示向量 an 与 an ?1 间的夹角,若 bn ? ? n ,对于任意正整数 n ,不等

?

1 1 1 ? ??? ? a (a ? 2) 恒成立,求实数 a 的范围 bn ?1 bn ? 2 b2 n ??? ? ??? ? (3)设 cn ? an ?log 2 an ,问数列 ?cn ?中是否存在最小项?若存在,求出最小项;
式 若不存在,请说明理由
?? ? 1 (1)∵ an ? ?xn , yn ? ? ?xn ?1 ? yn ?1 , xn ?1 ? yn ?1 ? ?n ? 2 ? , 2

?? ? 1 ∴ an ? 2

?xn?1 ? yn?1 ? ? ?xn?1 ? yn?1 ?
2

2

?

2 2 ???? xn?12 ? yn?12 ? an?1 , 2 2

?? ? ∴数列 an 是等比数列;

??

-8-

???? ?? ? an ?1 ? an n2 2 ? (2)∵ cos ? n ? ???? ?? ,∴ ? n ? , bn ? , ? ? 4 2 4 an ?1 ? an
不等式化为:

1 1 1 ? ??? ? a (a ? 2) 对任意正整数 n 恒成立. bn ?1 bn ? 2 b2 n

设 Tn ?

2 2 2 ? ?? . n ?1 n ? 2 2n

又 Tn?1 ? Tn ?

2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 0, 2n ? 1 2 ?n ? 1? n ? 1 2n ? 1 2n ? 2

Tn ?单调递增, ?Tn ?min ? T1 ? 1 , ∴ 数列 ?
要使不等式恒成立,只要 1 ? a (a ? 2) , 1 ? 2a ? a 2 ,得 ?1 ? 2 ? a ? ?1 ? 2 ∴ 使不等式对于任意正整数恒成立的 a 的取值范围是. (?1 ? 2, ?1 ? 2)

?? ? ? 2? (3)∵ an ? 2 ? ? 2 ? ? ? ?
假设

n ?1

?2

2? n 2

,∴ cn ?

n 2 ? n 2? ?2 2 , 2

?cn ?中的第

n 项最小,由 c1 ?

2 , c2 ? 0 ,∴ 0 ? c2 ? c1 , 2

n ?1? 1 n ? 2 ? ?n ? 1? 2??2 2?n 2 ? n 2? 2 当 n ? 3 时,有 cn ? 0 ,由 cn ? cn?1 可得 ,即 ?2 2 ?2 ? ?2 1? n 2 2

? 2?n? 1 2 ,∴ ? ? ? , n ? 6n ? 7 ? 0 , n ? 3 ? 2 或 n ? 3 ? 2 (舍), 1 ? n 2 ? ?

2

∴ n ? 5 ,即有 c5 ? c6 ? c7 ? ? , 由 cn ? cn?1 ,得 3 ? n ? 5 , 又 0 ? c2 ? c1 ,∴ c5 ? c4 ? ? ? c1 ;

3 ?3 故数列 ?cn ?中存在最小项,最小项是 c5 ? ? ? 2 2 2

-9-


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