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3.3.2直线对称问题


3.3.2对称问题

有关知识:
若斜率存在,k1k2=-1 1、直线互相垂直的条件:__________________

2、P1( x1,y1)、P2 ( x 2,y2 ) 的中点坐标为
x1 ? x2 y1 ? y2 ( , ) ______________ 2 2

3、点 ( x o,y

o ) 在直线 Ax + By + C = 0 上的 Axo + Byo + C = 0 条件是 __________________

点关于点的对称 中心对称问题

对 称 问 题
轴对称问题

线关于点的对称

点关于线的对称 线关于线的对称

中心对称
定 义 绕中心旋转180° 旋转后重合
1、两个图形是全等形

轴对称
沿轴翻转180° 翻转后重合

有一个对称中心:点 有一条对称轴 :直线

性 质

1、两个图形是全等形 2、对称轴是对应点连 2、对称点连线都经过 线的垂直平分线 对称中心,并且被对称 3、对称直线相交,交点 中心平分。 在对称轴上

知识运用与解题研究

一、点关于点对称
例1. 已知点A(5,8) ,B(-4 ,1) ,试求A点 关于B点的对称点C的坐标。 解:设C(x,y)
5+x -4= 2 则 8+y 1= 2 ∴ C(-13,-6) y



x=-13 y=-6

B

A ·
x

·
O

· 解题要点:中点公式的运用
C

一般用中点坐标公式解决这种对称 问题.
设P( x0 , y0 )关于点M(a, b)的对称点P ' ( x, y ),则有 ? x0 ? x ?a ? ? x ? 2a ? x0 ? 2 ?? ? ? y0 ? y ? b ? y ? 2b ? y0 ? ? 2 即P (2a ? x0, 2b ? y0 ).
'

特别,点P关于原点的对称点 P' (? x0, ? y0 ).

二、点关于直线对称
例2.已知点A的坐标为(-4,4),直线l 的方 程为3x+y-2=0,求点A关于直线l 的 对称点A′的坐标。 Y
′ 解:设 A( x,y)



解题要点: k ? kAA’ = -1
AA’中点在l 上

y-4 =-1 -3· x-(-4) 4+y -4+x 3· + 2 -2=0 2



·
O

· A′ (x,y)

(2,6)

X

(L为对称轴)

三、直线关于点对称
例3.求直线l 1 : 3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的 直线l 2的方程。
解 :设A(x,y)为l2上任意一点 则A关于P的对称点A′在l1上 ∴3(4-x)-(-2-y)-4=0 即直线l 2的方程为3x-y-10=0 Y l1 l2

解题要点: 法一: l 2上的任意一点的对称点在l 1上; 法二: l1∥l2 点斜式或对称两点式 法三: l // l 且P到两直线等距。

· · A′· P
O

A

X

四、直线关于直线对称 例4. 试求直线l1:x-y-2=0关于直线 l2:3x-y+3=0对称的直线l 的方程。
解:x-y-2=0
得 P(- 1 ,- 5 ) 2 2 3x-y+3=0 Q’(x,y) 在 l1 上任取一点Q(2,0), 求其关于 l2 的对称点Q’(x,y) O y-0 =-1 3· x-2
X+2 3 2

l

y

l2

y+0 +3=0 2 · ∴l:7x+y+6=0 求出Q’点坐标后,两点式求l方程。



·· · P

l1

Q(2,0),

X

四、直线关于直线对称
解题要点:
求l1 关于 l2

l

y

l2
l1

· 的对称直线 的方程 ·
l
O

Q’(x,y)

Q(2,0),

X

(1)若两直线相交,先求交点P, P 再在 l1 上取一点Q求其对称点得另一点Q’, 两点式求l方程 思考:是否有其它方法求l?

·

四、直线关于直线对称
例4. 试求直线l1:x-y+2=0关于直线 l2:x-y+1=0 对称的直线l 的方程。 思考:若l1//l2, 如何求l1 关于l2的对称直线方程? y l1 l2 l 解:设l方程为x-y+m=0 则 l1 上任意取一点P(0,2),求P关于 l2的对称点P',则P'一定在l上。 o x 将P'带入l,解方程求m

四、直线关于直线对称
求l1 关于 l2 的对称直线l的方程

解题要点:(先判断两直线位置关系)
(1)若两直线相交,先求交点P, 再在 l1 上取一点Q求其对称点得另一点Q’ 两点式求l方程 (2)若 l1 ‖ l2,设l方程为x-y+m=0 则 l1 上任意取一点P(a,b),求P关于 l2的对称点P',则P'一定在l上。 将P'带入l,解方程求m

请大家完成下例填空题
? ? ? ? ? ? ? ?

(-a,-b) ; 1. 点 ( a, b) 关于原点的对称点为 2. 点 ( a, b) 关于点(m, n)的对称点为(2m-a,2n-b) ; (a,-b) 3. 点 ( a, b) 关于x轴的对称点为 ; (-a,b) 4. 点 ( a, b) 关于y轴的对称点为 ; (b,a) 5. 点 ( a, b) 关于y=x的对称点为 ; 6. 点 ( a, b) 关于y= -x的对称点为 (-b,-a) ; 7. 点 ( a, b) 关于x=m的对称点为 (2m-a,b) ; 8. 点 ( a, b) 关于y=n的对称点为 (a,2n-b) ;
(a, b)

已知直线l : 3x ? y ? 3 ? 0, 例题1: 求p(4,5)关于l的对称点。
P
垂直

·
P’

P与P’中点

已知直线l : 3x ? y ? 3 ? 0, 例题1: 求p(4,5)关于l的对称点。
解:设点p关于l的对称点为p ' ( x, y ) ? 4? x 5? y ?3 2 ? 2 ? 3 ? 0 则? y ?5 ?3 ? ?1 ? x?4 ? x ? ?2 解得? ?y ? 7 ? 对称点的坐标为 (?2,7)。

结论:
E (a, b)关于直线l : Ax ? By ? C ? 0( B ? 0) 的对称点E ' ( x0 , y0 )的求法: y0 ? b ? x0 ? a A ? B ? C ? 0 ? ? 2 2 ? y ?b A 0 ? (? ) ? ?1 ? ? B ? x0 ? a

例题2 : 求直线l : 3x ? y ? 3 ? 0, 关于 点M (3,2)的对称直线方程。
法一:根据两点确定一 条直线,故只需 在l上任找两点,则这两点 关于 点M的对称点必在l ' 上。 因此,可取Q(0,3), R(-1,0), 则它们关于点M的对称点分 别为Q' (6,1), R' (7,4), 所以l '的方程为3 x ? y ? 17 ? 0.

法二:由图可知: l与l ' 关于点M对称,所以l // l ' , 所以设l '的方程为3 x ? y ? C ? 0 在l上取一点Q(0,3) , 则它关于点M的对称 点为Q' (6,1).又Q' 在l上, 所以l '的方程为3 x ? y ? 17 ? 0.

法三:在l ' 上任找一点P( x, y ),则它关于 点M的对称点为P' (6 ? x,4 ? y ), 则点P' 在直线l上, 所以3(6 ? x) ? (4 ? y ) ? 3 ? 0, 整理得l '的方程为3 x ? y ? 17 ? 0

例题3:

求直线l: 3x ? y ? 3 ? 0关于 直线 m : x ? y ? 5 ? 0 的对称 直线l '的方程。

法一:根据两点确定一 条直线,故只需在 l 上任找两点,则这两点 关于直线 m : x ? y ? 5 ? 0的对称点必在l ' 上。 因此,可取Q(0,3) , R(?1,0) , 则它 们关于直线m的对称点分别为 Q' (?2,5) , R' (?5,4) , 所以由两点式 整理得l '的方程为:x ? 3 y ? 17 ? 0

?3 x ? y ? 3 ? 0 法二:由? 得交点坐标为:( 1, 6), ?x ? y ? 5 ? 0 所以由两点式整理得l '的方程为: x ? 3 y ? 17 ? 0

法三:在l ' 上任找一点P( x, y ) , 设P关于m 的对称点为:P' ( x0 , y0 ) , ? x ? x0 y ? y0 ? ?5 ? 0 ? ? x0 ? y ? 5 ? 2 2 则? y ? y 解得? 0 ? y0 ? x ? 5 ? ?1 ? ? ? x ? x0 由于点P' 在直线l上,所以3( y ? 5) ? ( x ? 5) ? 3 ? 0 整理得l '的方程为:x ? 3 y ? 17 ? 0.

例题3:
法四:

求直线l: 3x ? y ? 3 ? 0关于 直线 m : x ? y ? 5 ? 0 的对称 直线l '的方程。

设所求直线l ': (3x ? y ? 3) ? ( x ? y ? 5)? ? 0, 在l上取一点P(0,3), 求P关于直线m的 对称点P',带入直线l ',求其方程。

常用结论:
设直线l的方程为Ax ? By ? C ? 0
1. 直线关于原点的对称直线的方程为: A(?x ) ? B(?y ) ? C 2.直线关于x轴的对称直线的方程为: Ax ? B(? y) ? C ? 0
? 0

3.直线关于y轴的对称直线的方程为: A(? x) ? By ? C ? 0
4.直线关于直线y=x的对称直线的方程为: Bx ? Ay ? C ? 0 5.直线关于直线y= -x的对称直线的方程为
A(? y) ? B(? x) ? C ? 0

例题4: 光线从A(-1,8)射出,遇到x轴 反射,反射光线过B(5,4),求 入射光线和反射光线的方程。

对称与最值
1、两点在直线的异侧,在直线上求一点到这两点 的距离之和最小?

(两点在直线的同侧呢?)
2、两点在直线的同侧,在直线上求一点到这 两点的距离之差最大?

(两点在直线的异侧呢?)

例5:已知L:y=x+9在L上求一 点P,使P点到(-3,0)与(3, 0)距离之和最小,求P点的坐标。


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