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第5讲 函数的单调性与最值


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教师: 日期:

学 生: 时间段: 第5讲

年级: 审核: 函数的单调性与最值

学科: 复核:

一、 考基自主导学
基础梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时, ①若 函数. (2)单调性、单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是 性,区间 D 叫做 f(x)的单调区间. 2.函数的最值 (1)设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M,满足: ①对于任意的 x∈I,都有 ②存在 x0∈I,使得 则称 M 是 f(x)的最大值. (2)设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M,满足: ①对于任意的 x∈I,都有 ②存在 x0∈I,使得 则称 M 是 f(x)的最小值. . ; ; 或 ,则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调 ,则 f(x)在区间 D 上是增函数;②若 ,则 f(x)在区间 D 上是减

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一个防范 1 函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.例如函数 y= 分别在(-∞,0),(0, x +∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内单调递减,只能分开写, 即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪”连接. 两种形式 设任意 x1,x2∈ [a,b]且 x1<x2,那么
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为孩子更好的成长和发展尽最大努力! f?x1?-f?x2? f?x1?-f?x2? ① >0? f(x)在[a,b]上是增函数; <0? f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 x1-x2 ② (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0? f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0? f(x)在[a,b]上是减函数. 四种方法 函数单调性的判断 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论. (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数. (3)导数法:利用导数研究函数的单调性. (4)图象法:利用图象研究函数的单调性. 双基自测 1.函数 f(x)=ln(x2-2x)的单调递增区间是________. 1 1 2. 下列四个函数: ①y= x; ②y= ; ③y=- 1-x; ④y=x , 其在区间(0,1)上是减函数的是________. x 3

?1??<f(1)的实数 x 的取值范围是________. 3.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f? ??x??
4.函数 f(x)=2x+log2x(x∈[1,2])的值域为________. x 5.函数 y= 2 的单调递增区间是________. x -3x+2

二、考向探究导析
考向一 函数单调性的判断 a 【例 1】判断函数 f(x)=x+ (a>0)在(0,+∞)上的单调性. x [审题视点] 可采用定义法或导数法判断. 解 法一 设 x1>x2>0,则 a a a a ax2-x1 ? 1- a ? . x1+ ?-?x2+ ?=(x1-x2)+? - ?=(x1-x2)+ f(x1)-f(x2)=? = ( x - x ) 1 2 x1? ? x2? ? ?x1 x2? ? x1x2? x1x2 a ? 当 a≥x1>x2>0 时,x1-x2>0,? ?1-x1x2?<0, 有 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), a 此时,函数 f(x)=x+ (a>0)在(0, a ]上为减函数; x a ? 当 x1>x2≥ a时,x1-x2>0,? ?1-x1x2?>0, 有 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), a 此时,函数 f(x)=x+ (a>0)在( a,+∞)上为增函数; x a 综上可知,函数 f(x)=x+ (a>0)在(0, a ]上为减函数;在[ a,+∞)上为增函数. x
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为孩子更好的成长和发展尽最大努力! a a 法二 f′(x)=1- 2,令 f′(x)>0 则 1- 2>0, x x a ∴x> a或 x<- a(舍).令 f′(x)<0,则 1- 2<0, x ∴- a<x< a,∵x>0, ∴0<x< a.∴f(x)在(0, a)上为减函数; 在( a,+∞)上为增函数,也称为 f(x)在(0, a ]上为减函数;在[ a,+∞)上为增函数. 方法总结: 对于给出具体解析式的函数, 证明其在某区间上的单调性有两种方法: (1)可以结合定义(基 本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解;(2)可导函数则可以利用导数解之.但是,对于抽象 函数单调性的证明,一般采用定义法进行. 【训练 1】 试讨论函数 f(x)= ax (a>0)的单调性. x-1

考向二 求函数的单调区间 a 【例 2】求函数 y=x+ (a>0)的单调区间. x [审题视点] 可采用定义法或导数法,但用导数法更简捷. a 解 函数 y=x+ 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). x a ∵y′=1- 2. x 令 y′>0 得:x> a或 x<- a; 令 y′<0 得:- a<x<0 或 0<x< a. a 故函数 y=x+ (a>0)的单调增区间为: x (-∞,- a)和( a,+∞);减区间为(- a,0)和(0, a). 方法总结:求函数单调区间时,一定要牢记先求函数的定义域. 【训练 2】 函数 y= 1 的单调递增区间是________. 3+2x-x2

考向三 求函数的最值及应用 x2+2x+a 【例 3】?已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x
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为孩子更好的成长和发展尽最大努力! 1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. [审题视点] (1)将 a 值代入 f(x)解析式,通过判断 f(x)的单调性求最小值;(2)分 a≥0 和 a<0 两种情况 讨论. 1 1 1 解 (1)当 a= 时,f(x)=x+ +2,在? ,+∞?上为增函数,在[1,+∞)上为增函数, 2 2x ? 2 ? 7 f(x)min=f(1)= . 2 a (2)f(x)=x+ +2,x∈[1,+∞). x ①当 a≤0 时,f(x)在[0,+∞)内为增函数. 最小值为 f(1)=a+3. 要使 f(x)>0 在 x∈[1,+∞)上恒成立,只需 a+3>0, 即 a>-3,∴-3<a≤0. ②当 0<a≤1 时,f(x)在[1,+∞)上为增函数, f(x)min=f(1)=a+3.∴a+3>0,a>-3.∴0<a≤1. ③当 a>1 时,f(x)在[1, a]上为减函数,在( a,+∞)上为增函数,所以 f(x)在[1,+∞)上的最小值 是 f( a)=2 a+2,2 a+2>0,显然成立. 综上所述,f(x)在[1,+∞)上恒大于零时,a 的取值范围是(-3,+∞). 方法总结:不等式 m>f(x)恒成立?m>f(x)max,m<f(x)恒成立?m<f(x)min. 【训练 3】定义在 R 上的函数 f(x)的图象过点 M(-6,2)和 N(2,-6),对任意正实数 k,有 f(x+k)< f(x)成立,则当不等式|f(x-t)+2|<4 的解集为(-4,4)时,实数 t 的值为________.

三、专题专项突破
难点突破 3——函数中适应性问题的求解方法 定义新的函数有关的概念,是近几年我省高考的一大亮点,无论填空题还是解答题都可能出现,解 这类问题关键是化归,即将不熟悉的新问题化归到一般性的常规的数学问题. 一、定义新的函数概念与已知函数原有概念的关系 【示例】函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为单函数.例如, 函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数,下列命题:①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数;②若 f(x)为单函数, x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2);③若 f:A→B 为单函数,则对于任意 b∈B,它至多有一个原象; ④函数 f(x)在某区间上具有单调性, 则 f(x)一定是单函数. 其中的真命题是________(写出所有真命题
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为孩子更好的成长和发展尽最大努力! 的编号).

二、定义新的函数性质验证原函数是否具有该性质 【示例】设 f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为 f′(x),如果存在实数 a 和函数 h(x),其 中 h(x)对任意的 x∈(1,+∞)都有 h(x)>0,使得 f′(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数 f(x)具有性质 p(a). b+2 设函数 f(x)=ln x+ (x>1),其中 b 为实数. x+1 (1)求证:函数 f(x)具有性质 p(a); (2)求函数 f(x)的单调区间.

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四、活页限时训练
A 级 基础达标演练 一、填空题(每小题 5 分,共 35 分) 1.函数 f(x)=lg(x2-3x)的单调递增区间是________. 2.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是________.(填所有正确的编号) 2 ①y=-x+1;②y= x;③y=x2-4x+5;④y= . x 3.定义在 R 的奇函数 f(x)单调递增,且对任意实数 a,b 满足 f(a)+f(b-1)=0,则 a+b=________.
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为孩子更好的成长和发展尽最大努力! 4.若函数 f(x)=x +(a -4a+1)x+2 在区间(-∞,1]上是减函数,则 a 的取值范围是________.
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5.下列函数:① y=x3;② y=|x|+1;③ y=-x2+1;④ y=2 函数序号是________.

-|x|

,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的

6.已知 f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f(x)在(-1,1)上是减函数,不等式 f(1-x)+f(1-x2)<0 的解集为________. 7. 已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数, 当 x≤0 时, y=f(x)是减函数, 若|x1|<|x2|, 则结论: ① f(x1) -f(x2)<0;② f(x1)-f(x2)>0;③ f(x1)+f(x2)<0;④ f(x1)+f(x2)>0 中成立的是________(填所有正确的 编号). 二、解答题(每小题 15 分,共 45 分) x2 8.设 f(x)=x3- -2x+5 2 (1)求 f(x)的单调区间 (2)当 x∈ [1,2]时,存在 f(x)<m 成立,求实数 m 的取值范围.

1 1 9.已知函数 f(x)= - (a>0,x>0). a x (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; 1 ? ?1 ? (2)若 f(x)在? ?2,2?上的值域是?2,2?,求 a 的值.

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2 10.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈ R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数. (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

B 级 综合创新备选 一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则 f(-25),f(11), f(80)的大小关系是________. 2.如果对于函数 f(x)的定义域内任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)≤f(x2)且存在两 个不相等的自变量 m1,m2,使得 f(m1)=f(m2),则称为定义域上的不严格的增函数.已知函数 g(x) 的定义域、值域分别为 A,B,A={1,2,3},B?A 且 g(x)为定义域 A 上的不严格的增函数,那么这样 的函数 g(x)共有________个.
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为孩子更好的成长和发展尽最大努力! 3.已知函数 f(x)=1- 1-x ,x∈ [0,1],对于满足 0<x1<x2<1 的任意 x1、x2,给出下列结论: ① (x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0;② x2f(x1)<x1f(x2);③ f(x2)-f(x1)>x2-x1;④ 其中正确结论的序号是________. 4.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x+4),当 x≥2 时,f(x)单调递增,如果 x1+x2>4,且(x1 -2)(x2-2)<0,则 f(x1)+f(x2)的值符号为________. 5.设 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于 函数 y=f(x)的判断: 1? ① y=f(x)是周期函数;② y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称;③ y=f(x)在[0,1]上是增函数;④ f? ?2?=0. 其中正确判断的序号是________(把你认为正确判断的序号都填上).
?e x-2,x≤0, ? 6.(★ )已知函数 f(x)=? (a 是常数且 a>0).对于下列命题: ? ?2ax-1,x>0


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f?x1?+f?x2? ?x1+x2? >f ? 2 ?. 2

① 函数 f(x)的最小值是-1; ② 函数 f(x)在 R 上是单调函数; 1 ? ③ 若 f(x)>0 在? ?2,+∞?上恒成立,则 a 的取值范围是 a>1; ④ 对任意的 x1<0,x2<0 且 x1≠x2,恒有 f? x1+x2? f?x1?+f?x2? . ? 2 ?< 2

其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号).

二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 7.函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0}且满足对于任意 x1,x2∈ D,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围.

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1 8.在区间 D 上,如果函数 f(x)为增函数,而函数 f(x)为减函数,则称函数 f(x)为“弱增函数”,已知 x 函数 f(x)=1- 1 . 1+x

(1)判断函数 f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增函数”; 1 (2)设 x1,x2∈ [0,+∞),且 x1≠x2,证明:|f(x1)-f(x2)|< |x1-x2|; 2 (3)当 x∈ [0,1]时,不等式 1-ax≤ 1 ≤1-bx 恒成立,求实数 a,b 的取值范围. 1+x

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