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2016年高考数学二轮复习 应试高分策略 第1讲 数学思想方法 第1课时 函数与方程思想、数形结合思想课件 理


第二部分 应试高分策略

第1讲 数学思想方法
第1课时 函数与方程思想、数形结合思想

一、函数与方程思想 函数思想 函数思想的实质是抛开所研究 对象的非数学特征,用联系和 变化的观点提出数学对象,抽 象其数学特征,建立各变量之 间固有的函数关系,通过函数 形式,利用函数的有关性质, 使问题得到解决 方程思想 方程思想的实质就是将所求的 量设成未知数,根据题中的等 量关系,列方程(组),通过解 方程(组)或对方程(组)进行研 究,以求得问题的解决

函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的,是相辅相 成的.函数思想重在对问题进行动态的研究,方程思想则是在 动中求静,研究运动中的等量关系

已知函数 f(x)= x3- 3x2+ ax+2,曲线 y=f(x)在点 (0, 2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2. (1)求 a; (2)证明: 当 k<1 时, 曲线 y= f(x)与直线 y= kx- 2 只有一个交点.

[解 ]

(1)f′(x)= 3x2- 6x+a,f′(0)=a.

曲线 y= f(x)在点 (0, 2)处的切线方程为 y=ax+ 2. 2 由题设得- =- 2,所以 a=1. a

(2)证明:由 (1)知,f(x)=x3- 3x2+ x+ 2. 设 g(x)= f(x)- kx+2=x3- 3x2+ (1- k)x+ 4. 由题设知 1- k>0. 当 x≤ 0 时,g′(x)= 3x2- 6x+1- k>0,g(x)单调递增, g(-1)= k- 1<0, g(0)=4, 所以 g(x)= 0 在 (-∞, 0]上有唯一实根. 当 x>0 时,令 h(x)= x3-3x2+ 4, 则 g(x)= h(x)+ (1-k)x>h(x).

h′ (x)=3x2- 6x= 3x(x- 2),h(x)在 (0,2)上单调递减,在 (2,∞ ) 上单调递增,所以 g(x)>h(x)≥ h(2)=0. 所以 g(x)= 0 在 (0,+∞ )上没有实根. 综上,g(x)= 0 在 R 上有唯一实根,即曲线 y= f(x)与直线 y= kx - 2 只有一个交点.

[名师点评 ] 本题第(2)问证明的关键是构造函数 g(x)=f(x)-kx +2,利用导数判定 g(x)的单调性,进而说明两曲线的交点.

1.已知正四棱锥 SABCD 中, SA= 2 3,那么当该棱锥的体积 最大时,它的高为 ( C ) A. 1 B. 3 C. 2 D. 3 解析:设正四棱锥 SABCD 的底面边长为 a(a>0),则高 h= 2 2 a 1 2 2a? 2 ? SA - = 12- ,所以体积 V= a h= 2 3 ? 2 ? 1 1 6 1 6 4 4 12a - a .设 y= 12a - a (a>0),则 y′=48a3- 3a5.令 y′>0, 3 2 2 得 0<a<4;令 y′<0,得 a>4.故函数 y 在(0,4]上单调递增,在[4, +∞)上单调递减.可知当 a= 4 时, y 取得最大值,即体积 V 取 a2 得最大值,此时 h= 12- = 2,故选 C. 2

x 2 y2 (2015· 河北省唐山市统考, T11)已知椭圆 C: 2+ 2= a b 1(a>b>0)的左焦点为 F,若 F 关于直线 3x+ y= 0 的对称点 A 是 椭圆 C 上的点,则椭圆 C 的离心率为 ( D ) 1 A. 2 3 C. 2 3- 1 B. 2 D. 3 - 1

[解析 ] 设 F(- c,0), A(m, n),则 n ×(- 3)=-1, m+ c 解得 m- c n 3× + = 0, 2 2

? ? ? ? ?

2 2 c 3 c c 3 A? , c ?,代入椭圆方程中,有 2+ 2= 1, 4a 4b ?2 2 ?

所以 b2c2+ 3a2c2= 4a2b2, 所以(a2- c2)c2+ 3a2c2= 4a2(a2- c2), 所以 c4-8a2c2+4a4=0, 所以 e4-8e2+ 4= 0, 所以 e2=4± 2 3, 所以 e= 3- 1 或 e= 3+ 1(舍去 ).

[名师点评 ] 本题利用了方程思想,关于椭圆、双曲线的离心率 问题,主要有两类试题.一类是求解离心率的值,一类是求解离 心率的取值范围.基本的解题思路是建立椭圆或双曲线中 a,b, c 的关系式,求值试题就是建立关于 a,b, c 的等式,求取值范 围问题就是建立关于 a,b, c 的不等式.

第二部分 应试高分策略

2.(2015· 高考全国卷Ⅰ)若函数 f(x)=xln(x+ a+x2)为偶函数,

1 则 a=________.
解析:因为 f(x)为偶函数,所以 f(- x)- f(x)= 0 恒成立, 所以-xln(-x+ a+x2)-xln(x+ a+x2)= 0 恒成立, 所以 xln a = 0 恒成立,所以 ln a=0,即 a= 1.

二、数形结合思想 以形助数(数题形解) 以数辅形(形题数解) 借助于数的精确性和规范性及

借助形的生动性和直观性来 阐述数之间的关系,把数转 化为形,即以形作为手段, 数作为目的的解决数学问题 的数学思想

严密性来阐明形的某些属性,
即以数作为手段,形作为目的 的解决问题的数学思想

数形结合思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简 单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助 于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机 结合

(2015· 高考湖南卷)若函数 f(x)= |2x-2|- b 有两个零点, 则 (0,2) . 实数 b 的取值范围是________

[解析 ] 由 f(x)= |2x- 2|-b=0,得 |2x-2| = b. 在同一平面直角坐标系中画出 y= |2x- 2| 与 y= b 的图象,如图所示, 则当 0<b<2 时,两函数图象有两个交点, 从而函数 f(x)= |2x- 2|- b 有两个零点.

[名师点评 ] 利用数形结合探究方程解的问题应注意两点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数,使问题转 化为讨论两曲线的交点问题, 但用此法讨论方程的解一定要注意 图象的准确性、全面性,否则会得到错解. (2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键,数形结合 应以快和准为原则,不要刻意去用数形结合.

第二部分 应试高分策略

1 3.若不等式|x- 2a|≥ x+ a- 1 对 x∈ R 恒成立,则 a 的取值范 2 ?-∞,1 ? 2? ? 围是____________________ .
1 解析: 作出 y= |x-2a|和 y= x+a- 1 的 2 1 简图, 依题意知应有 2a≤2- 2a, 故 a≤ . 2

(2014· 高考北京卷)已知圆 C: (x-3)2+ (y- 4)2= 1 和两点 A(- m, 0), B(m, 0)(m>0).若圆 C 上存在点 P,使得∠ APB= 90°,则 m 的最大值为( B ) A. 7 C. 5 B.6 D. 4

[解析 ]

根据题意,画出示意图,如

图所示,则圆心 C 的坐标为 (3,4), 半径 r= 1,且 |AB|= 2m,因为∠ APB 1 = 90°,连接 OP,易知 |OP|= |AB| 2 = m.要求 m 的最大值, 即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离. 因为 |OC|= 32+42= 5, 所以 |OP|max= |OC|+ r= 6,即 m 的最大值为 6.

[名师点评 ]

(1)本题利用数形结合思想求最值, 把 m 的值转化为

圆上的点到原点的距离. (2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构 的代数形式,主要有:①比值 ——可考虑直线的斜率;②二元一 次式 ——可考虑直线的截距; ③根式分式 ——可考虑点到直线的 距离;④根式——可考虑两点间的距离.

4.已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a- c)· (b- c)= 0,则 |c|的最大值是 ( C ) A. 1 C. 2 B.2 2 D. 2

解析:因为 (a- c)· (b- c)= 0,所以 (a- c)⊥ (b- c).如图所示,设 → → → → → → → OC= c,OA= a,OB=b,CA= a- c,CB= b- c,即AC⊥BC. → → 又OA⊥ OB,所以 O, A, C, B 四点共圆.

当且仅当 OC 为圆的直径时, |c|最大,且最大值为 2.


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