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主要二面角


1. 如图, 在三棱台 ABC﹣DEF 中, 已知平面 BCFE⊥平面 ABC, ∠ACB=90°, BE=EF=FC=1, BC=2,AC=3, (Ⅰ)求证:BF⊥平面 ACFD; (Ⅱ)求二面角 B﹣AD﹣F 的余弦值.

2.直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=AB=AC=1,E,F 分别是 CC1、BC 的中点,AE⊥ A1B1,D 为棱 A1B1 上的点. (1)证明:DF⊥AE; (2) 是否存在一点 D, 使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 说明点 D 的位置,若不存在,说明理由. ?若存在,

3.如图,已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 Rt△ ABC 所在平面,且 PA=AB=AC. (Ⅰ)求证:PA∥平面 QBC; (Ⅱ)PQ⊥平面 QBC,求二面角 Q﹣PB﹣A 的余弦值.

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4.在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,△ ABC 是正三角形,AC 与 BD 的交点 M 恰 好是 AC 中点,又 PA=AB=4,∠CDA=120°,点 N 在线段 PB 上,且 PN= . (Ⅰ)求证:BD⊥PC; (Ⅱ)求证:MN∥平面 PDC; (Ⅲ)求二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值.

5.如图,在△ ABC 中,已知∠ABC=45°,O 在 AB 上,且 OB=OC= AB,又 PO⊥平面 ABC,DA∥PO,DA=AO= PO. (Ⅰ)求证:PD⊥平面 COD; (Ⅱ)求二面角 B﹣DC﹣O 的余弦值.

6.如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,SA⊥底面 ABCD,SA=AB,点 M 是 SD 的中点,AN⊥SC,且交 SC 于点 N. (Ⅰ)求证:SB∥平面 ACM; (Ⅱ)求证:平面 SAC⊥平面 AMN; (Ⅲ)求二面角 D﹣AC﹣M 的余弦值.

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7.在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC=2,AA1=2 ,∠ACB=90°,M 是 AA1 的中点, N 是 BC1 的中点 (1)求证:MN∥平面 A1B1C1; (2)求点 C1 到平面 BMC 的距离; (3)求二面角 B﹣C1M﹣A1 的平面角的余弦值大小.

8.在四棱锥 P﹣ABCD 中,AD⊥平面 PDC,PD⊥DC,底面 ABCD 是梯形,AB∥DC, AB=AD=PD=1,CD=2 (1)求证:平面 PBC⊥平面 PBD; (2)设 Q 为棱 PC 上一点, =λ ,试确定 λ 的值使得二面角 Q﹣BD﹣P 为 60°.

9. 如图, 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 侧面 AA1CC1 垂直于底面 ABC, AA1=A1C=AC=2, AB=BC, 且 AB⊥BC,O 为 AC 中点. (Ⅰ)在 BC1 上确定一点 E,使得 OE∥平面 A1AB,并说明理由; (Ⅱ)求二面角 A﹣A1B﹣C1 的余弦值.

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10.如图,五面体 ABCDE 中,AB∥CD,CB⊥平面 ABE,AE⊥AB,AB=AE=2,BC= CD=1. (1)求证:直线 BD⊥平面 ACE; (2)求二面角 D﹣BE﹣C 的平面角的余弦值.



11. 如图, 在三棱锥 P﹣ABC 中, PA=PB=AB=2, BC=3, ∠ABC=90°, 平面 PAB⊥平面 ABC, D、E 分别为 AB、AC 中点. (1)求证:DE∥平面 PBC; (2)求证:AB⊥PE; (3)求二面角 A﹣PB﹣E 的大小.

12.如图直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=CC1=2,AB=BC,D 是 BA1 上一点,且 AD⊥平 面 A1BC. (1)求证:BC⊥平面 ABB1A1; (2)在棱 BB1 是否存在一点 E,使平面 AEC 与平面 ABB1A1 的夹角等于 60°,若存在,试 确定 E 点的位置,若不存在,请说明理由.

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13.如图,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形,AB⊥平面 BEC,BE⊥EC, AB=BE=EC=2,G,F 分别是线段 BE,DC 的中点. (1)求证:GF∥平面 ADE; (2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值.

14. 如图, 在四棱锥 E﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形, AE⊥平面 CDE, 已知 AE=DE=2, F 为线段 DE 的中点. (Ⅰ)求证:BE∥平面 ACF; (Ⅱ)求二面角 C﹣BF﹣E 的平面角的余弦值.

15.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°, PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明:CD⊥AE; (Ⅱ)证明:PD⊥平面 ABE; (Ⅲ)求二面角 A﹣PD﹣C 的正切值.

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16.已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面 ABCD, 且 PA=AD=DC= ,AB=1,M 是 PB 的中点. (Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小余弦值.

17. 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, PA=AD=2, AB=1, BM⊥PD 于点 M. (1)求证:AM⊥PD; (2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值.

18. 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 为梯形, AB∥DC, AB⊥BC, ,点 E 在棱 PB 上,且 .

(1)当 λ=2 时,求证:PD∥面 EAC; (2)若直线 PA 与平面 EAC 所成角为 30°,求实数 λ 的值.

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19.已知在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD=2,AB=1,PA⊥平面 ABCD, F 为线段 BC 的中点. (Ⅰ)证明:平面 PAF⊥平面 PFD (Ⅱ)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45°,求直线 AD 与平面 PFD 所成的角的正弦值.

20.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E、 F 分别是 AB、PB 的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)求 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值.

21. 如图, 三棱锥 P﹣ABC 中, E, D 分别是 BC, AC 的中点, PB=PC=AB=4, AC=8. BC=4 PA=2 (1)求证:BC⊥平面 PED (2)求直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值.



22. 如图所示, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC, E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明:PB⊥平面 DEF; (2)若 AD=2DC,求直线 BE 与平面 PAD 所成角的正弦值.

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23. 设平面 ABCD⊥平面 ABEF, AB∥CD, AB∥EF, ∠BAF=∠ABC=90°, BC=CD=AF=EF=1, AB=2. (Ⅰ) 证明:CE∥平面 ADF; (Ⅱ) 求直线 DF 与平面 BDE 所成角的正弦值.

24. 直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, D, E 分别是 AB, BB1 点的中点, 且 AA1=AC=BC= (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求直线 CE 与平面 A1CD 所成角的正弦值.

AB.

25.如图,已知 AE⊥平面 CDE,四边形 ABCD 为正方形,M,N 分别是线段 BE,DE 的 中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 ABCD; (Ⅱ)若 = ,求 EC 与平面 ADE 所成角的正弦值.

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