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2014中国西部数学邀请赛


2014 中国西部数学邀请赛
重庆 第一天 8 月 16 日 上午 8:00-12:00 每题 15 分
1.设 x、 y 是正实数,求 x ? y ?

x ?1 y

?

y ?1 x

的最小值.

2.如图, AB 是半圆 O 的直径, C、D 是 A

B 上两点, P、Q 分别是 ?OAC 与 ?OBD 的外 心.证明: CP ? CQ ? DP ? DQ .

i 3.设 A 1 , A2 , A 3 ??? 是一列集合,满足 :对任意正整数 j ,只有有限多个正整数 ,使得 A i ? Aj .证
明:存在一列正整数: a1 , a2 , a3 ??? ,使得对任意正整数 i、j , ai a j 当且仅当 Ai ? Aj .

4.给定正整数 n ,设 a1 , a2 , ???, an 是非负整数序列,若其中连续若干项(可以只有一项)的算术平 均值不小于 1,则称这些项组成一条“龙”,其中第一项称为“龙头”,最后一项称为“龙尾”.已知

a1 , a2 , ???, an 中每一项都是“龙头”或者“龙尾”,求 ? ai 的最小值.
i ?1

n

2014 中国西部数学邀请赛
重庆 第二天 8 月 17 日 上午 8:00-12:00 每题 15 分
5.给定正整数 m ,证明 :存在正整数 n0 ,使得对所有正整数 n ? n0 , n2 ? 817n ? m 的十进制 表示的小数点后的第一位数字都相同.

6.给定整数 n ? 2 ,设实数 x1 , x2 , ???, xn 满足: (1)

?x
i ?1

n

i

?0

(2) xi ? 1, i ? 1,2, ???, n . 求 min xi ? xi ?1 的最大值.
1?i ? n ?1

7.平面上,点 O 是正三角形 ABC 的中心,点 P, Q 满足 OQ ? 2PO . 证明: PA ? PB ? PC ? QA ? QB ? QC .

8. 给 定 实 数 q 满 足 1 ? q ? 2 , 定 义 数 列 ?xn ? 如 下 : 设 正 整 数 n 的 二 进 制 表 示 为

n ? a0 ? a1 ? 2 ? a2 ? 22 ????? ak ? 2k , ai ??0,1?, i ? 0,1, ???, k ,


xn ? a0 ? a1 ? q ? a2 ? q2 ???? ? ak ? qk .
证明:对任意正整数 n ,存在正整数 m 使得 xn ? xm ? xn ? 1.


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