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湖南省第四届大学生力学竞赛选拔赛试题答案


湖南省第四届大学生力学竞赛选拔赛试题答案
一、 (20 分)图中给出梁的剪力图和弯矩图,试根据这两图形作出梁的载荷图。

Q

(kN )

3

5

2kN m
4m 2.25
5 3

M (kN ? m)

4m 2.25

3kN

4m
10kN

4m

3kN

二、(20 分)图示齿轮传动轴,用钢制成。在齿轮 I 上,作用有径向力 Fy = 3.64kN 、切向力

4

[σ ] = 100MPa ,试根据第四强度理论确定轴径。
Fy F y′

Fz = 10kN ; 在 齿 轮 II 上 , 作 用 有 切 向 力 Fy′ = 5kN 、 径 向 力 Fz′ = 1.82kN 。 若 许 用 应 力

φ 200
Fz
I
100 300

Fy Fz

Fz′
II
300

F y′ Fz′

II

I

φ 400
T 1kN ? m 568N ? m

四、解: (1) 计算内力并作图 (2) 寻找危险截面。

364 2 + 1000 2 > 5682 + 227 2
故左端支承处为危险截面。根据第四强度理论

My

364N ? m 1000N ? m

σ r4 =

M + M + 0.75T
2 y 2 z

2

Mz

πd 3
32

≤ [σ ]
227N ? m

d≥

3

2 32 M y + M z2 + 0.75T 2

π [σ ]

=

3

32 3642 + 10002 + 0.75 × 10002 = 4.6cm π × 100 × 106

三、(20 分) 图示结构, AB 和 BC 是两端铰支的细长杆,抗弯刚度均为 EI 。钢缆绳 BDC 两端分别连接 B 、 C 两铰点处,在 D 点悬挂一重为 W 的物块。求 (1) 当 h = 1m 时,能悬挂的最大值是多少? (2) h 为何值时悬挂的重量最大? 解:(1) 现计算各杆件的内力 当 h = 1m 时, cos α =

2m

2m

B

1 2 , sin α = 5 5

α
3m
A D W

C

h

S BD =

W 2 cos α

S BC = S BD sin α = S BA

W tan α 2 W = S BD cos α = 2
AB π 2 EI Pcr = BC Pcr ( ?l AB )2

由于杆 AB 和 BC 具有相同的抗弯刚度,故由

π 2 EI l2 16 = BC = 2 2 ( ?lBC ) lBA 9

此时当以 BC 杆的临界力作为判据
BC Pcr =

π 2 EI W = S BC = max tan α 2 ( ?lBC ) 2 π 2 EI
16

Wmax =

(2) 一般地,显然当两杆同时达到临界力时所承受的载荷最大。

S BC = S BA =

W π 2 EI BC tan α = Pcr = 2 ( ?lBC )2 W π 2 EI BA = Pcr = 2 ( ?lBA ) 2 16 tan α = 9 9 2 tan α = = 16 h 32 h= m 9

此时有

Wmax =

2π 2 EI 9

a

四、 (20 分)用质量为 m 的榔头将长为 l 的钢钉钉入木 板。已知钢钉的拉压刚度为 EA ,锤击钢钉的速度为 v ,钢 钉被钉入的深度为 a ,钢钉与木板之间单位长度上的摩擦力 为常数 f 。试推导钢钉受到的最大锤击力 Fd 所满足的条件。

f
木板

Fd

l

钢钉

略去木板材料吸收的能量。 解:榔头做的功及摩擦力做的负功转化为钢钉的应变能。 榔头做的功

Wl =
摩擦力作的负功
l

1 2 mv 2

W f = ? ∫ fxdx = ?
0

fa 2 2

钢钉的应变能
2 2 2 l ?a F a ( fx ? F ) FN21dx FN 2 dx d d U =∫ +∫ =∫ dx + ∫ dx 0 0 AB 2 EA BC 2 EA 2 EA 2 EA F2 ? 1 ? f 2 a3 = d (l ? a ) + ? fa 2 Fd + Fd2 a ? ? 2 EA 2 EA ? 3 ?

由能量守恒 Wl + W f = U ,得

mv 2 ? fa 2 =
此即 Fd 应该满足的条件。

? 1 ? 2 f 2 a3 + Fd l + ? fa 2 Fd ? ? 3 EA ? ?

五、 (20 分)图示矩形截面拉杆受偏心拉力 F 作用,用电测法测得该杆表面 A 、 B 两点的轴向 ε ?εB h 线应变分别为 ε A 和 ε B 。试证明偏心距 e = A ? 。 εA + εB 6 F e 证明:由偏心拉伸,知杆件所受外力为

N = F , M = Fe
所产生的应力为

σN =
A 处的应力为

F M M , σ max = bh W F M F 6 Fe + = + bh W bh bh 2 F M F 6 Fe + = ? bh W bh bh 2

B

A

F M σA =σA +σA =

B 处的应力为
F M σB = σB +σB =

F
b h

由于 A 、 B 两点均处于单向拉伸状态,从而有

εA =

σA
E

,εB =

σB
E

或 σ A = E ε A , σ B = Eε B

为消除 σ A , σ B 两式中的其他量,则由

σA ?σB =


12 Fe = E (ε A ? ε B ) bh 2

σA +σB =
从而有

2F 2F = E (ε A + ε B ) 或 = E (ε A + ε B ) bh bh

bh 2 h εA ? εB e= E (ε A ? ε B ) = . 12 F 6 εA + εB


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