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圆锥曲线的参数方程的应用


课题:圆锥 课题:圆锥曲线的参数方程 教学目的: 教学目的 知识与技能:了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 能力与方法:能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:曲线参数方程的定义及方法 教学重点 教学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程. 教学难点 授课类型:新授课 授课类型 教学模式:启发、诱导发现教学. 教学模式 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 教学过程 一、复习引入: 1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 x = r cos θ 圆 x 2 + y 2 = r 2 参数方程 ( θ 为参数) y = r sin θ

x = x0 + r cos θ (2)圆 ( x x0 ) 2 + ( y \ y 0 ) 2 = r 2 参数方程为: y = y 0 + r sin θ 2.写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。

( θ 为参数)

3.能模仿圆参数方程的推导,写出圆锥曲线的参数方程吗? 二、讲解新课: x = a cos θ x2 y2 1、椭圆的推导:椭圆 2 + 2 = 1 参数方程 ( θ 为参数) a b y = b sin θ x = a sec θ x2 y2 2、双曲线的参数方程:双曲线 2 2 = 1 参数方程 ( θ 为参数) a b y = b tan θ x = 2 Pt 2 3、抛物线的参数方程:抛物线 y 2 = 2 Px 参数方程 (t 为参数) y = 2 Pt 4、关于参数几点说明: (1) 参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。 (2) 同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程形式也不一样 (3) 在实际问题中要确定参数的取值范围 5、参数方程的意义: 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式,它借助于中间变量把曲线上的动点的 两个坐标间接地联系起来,参数方程与变通方程同等地描述,了解曲线,参数方程实际 上是一个方程组,其中 x , y 分别为曲线上点 M 的横坐标和纵坐标。 a) 参数方程求法 (1)建立直角坐标系,设曲线上任一点 P 坐标为 ( x, y ) (2)选取适当的参数 (3)根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点 P 坐标与参数的函数式 (4)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 b) 关于参数方程中参数的选取
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选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。 与运动有关的问题选取时间 t 做参数 与旋转的有关问题选取角 θ 做参数 或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。 6、典型例题: 例 1.设炮弹发射角为 α ,发射速度为 v0 , (1)求子弹弹道曲线的参数方程(不计空气阻力) π (2)若 Vo = 100m / s , α = ,当炮弹发出 2 秒时, 6 ① 求炮弹高度 ② 求出炮弹的射程

x = 3 cos θ 例 2. 已知椭圆 ( θ 为参数) y = 2 sin θ π 求 (1) θ = 时对应的点 P 的坐标 6 (2)直线 OP 的倾斜角

变式训练 1. A 点椭圆长轴一个端点,若椭圆上存在一点 P,使∠OPA=90°,其中 O 为椭圆中心,求椭圆离心率 e 的取值范围。

例 3.把圆 x 2 + y 2 6 x = 0 化为参数方程 (1) 用圆上任一点过原点的弦和 x 轴正半轴夹角 θ 为参数 (2) 用圆中过原点的弦长 t 为参数 三、巩固与练习 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.选择适当的参数表示曲线的方程的方法; 2.体会参数的意义 五、课后作业:教材 P34 习题 2.2 六、课后反思:参数的引入学生好理解,但难求,需要慢慢让学生领会参数的意义。

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课题: 课题:参数方程与普通方程互化 教学目的: 教学目的: 知识目标:掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 能力目标:选取适当的参数化普通方程为参数方程 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:参数方程与普通方程的互化 教学重点 教学难点:参数方程与普通方程的等价性 教学难点 授课类型:新授课 授课类型 教学模式:启发、诱导发现教学. 教学模式 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 教学过程 一、复习引入: (1)圆的参数方程 (2)椭圆的参数方程 二、讲解新课: 1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种: (1) 代入法:利用解方程的技巧求出参数 t,然后代入消去参数 (2) 三角法:利用三角恒等式消去参数 (3) 整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。 化参数方程为普通方程为 F ( x, y ) = 0 :在消参过程中注意变量 x 、 y 取值范围的一 致性,必须根据参数的取值范围,确定 f (t ) 和 g (t ) 值域得 x 、 y 的取值范围。 2、常见曲线的参数方程 x = r cos θ (1)圆 x 2 + y 2 = r 2 参数方程 ( θ 为参数) y = r sin θ

x = x0 + r cos θ (2)圆 ( x x0 ) 2 + ( y \ y 0 ) 2 = r 2 参数方程为: y = y 0 + r sin θ x = a cos θ x2 y2 (3)椭圆 2 + 2 = 1 参数方程 ( θ 为参数) a b y = b sin θ x = a sec θ x2 y2 (4)双曲线 2 2 = 1 参数方程 ( θ 为参数) a b y = b tan θ x = 2 Pt 2 (5)抛物线 y 2 = 2 Px 参数方程 (t 为参数) y = 2 Pt (6)过定点 P ( x0 , y 0 ) 倾斜角为 α 的直线的参数方程 x = x0 + t cos α y = y 0 + t sin α
( t 为参数)

( θ 为参数)

典型例题 1、将下列参数方程化为普通方程 x = t 2 2t x = sin θ + cos θ (1) ( 2) y = t2 + 2 y = sin 2θ
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t +1 x = t + 2 (3) y = 2t t+2

2 x = 1 + t 2 (4) y = 2t 1+ t2

1 x = 2(t + t ) (5) y = 3(t 2 + 1 ) t2

变式训练 1
1 x = t + 2、 (1)方程 t y = 2

表示的曲线

A、一条直线 B、两条射线 C、一条线段 D、抛物线的一部分 2 (2)下列方程中,当方程 y = x 表示同一曲线的点
1 xos 2t x = D、 1 + cos 2t y = tan t 例 2 化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线。 x = 1 2 t ( 1) (t 是参数) y = 3 4 t x = 2 cos θ ( 2) ( θ 是参数) y = cos 2θ t x= 1 2t 2 (3) (t 是参数) 1 2t 2 y= 1 + 2t 2

x = t A、 2 y = t

2 x = sin t B、 y = sin t

x = 1 + 1 C、 y = t

x = 4 sin θ 变式训练 2。P 是双曲线 (t 是参数)上任一点, F1 , F2 是该焦点: y = 3 tan θ 求△F1F2 的重心 G 的轨迹的普通方程。

例 3、已知圆 O 半径为 1,P 是圆上动点,Q(4,0)是 x 轴上的定点,M 是 PQ 的中点, 当点 P 绕 O 作匀速圆周运动时,求点 M 的轨迹的参数方程。 变式训练 3: 已知 P ( x, y ) 为圆 ( x 1) 2 + ( y 1) 2 = 4 上任意一点,求 x + y 的最大值和最小值。

三、巩固与练习
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四、小

结:本节课学习了以下内容: 熟练记忆把参数方程化为普通方程的几种方法。 2.3.4.5

五、课后作业:见教材 53 页

六、课后反思:把参数方程化为普通方程是学生必须掌握的基本方法。从第一节课情况 来看,学生的观察能力还需提高。

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课题:参数方程的应用 课题 教学目的: 教学目的 知识目标:利用圆锥曲线的参数方程来确定最值,解决有关点的轨迹问题 能力目标:选择适当的参数方程求最值。 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:选择适当的参数方程求最值。 教学重点 教学难点: 教学难点:正确使用参数式来求解最值问题 授课类型:新授课 授课类型 教学模式:讲练结合 教学模式 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 教学过程 一、复习引入: 通过参数 θ 简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题, 从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值,参数取值范围等问题。 二、讲解新课: 例 1.求椭圆的内接矩形面积的最大值

变式训练 1 x2 y2 椭圆 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )与 x 轴正向交于点 A,若这个椭圆上存在点 P,使 a b OP⊥AP, O 为原点) ( ,求离心率 e 的范围。

例 2.AB 为过椭圆

x2 y2 + = 1 中心的弦, F1 , F2 为焦点,求△ABF1 面积的最大值。 25 16

例 3.抛物线 y 2 = 4 x 的内接三角形的一个顶点在原点,其重心恰是抛物线的焦点,求内 接三角形的周长。

例4 、过 P(0,1)到双曲线 x 2 y 2 = 1 最小距离

变式训练 2: 设 P 为等轴双曲线 x 2 y 2 = 1 上的一点,F1 ,F2 为两个焦点, 证明 F1 P F2 P = OP
2

例 5,在抛物线 y 2 = 4ax (a > 0) 的顶点,引两互相垂直的两条弦 OA,OB,求顶点 O 在 AB 上射影 H 的轨迹方程。 三、巩固与练习
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结:本节课学习了以下内容: 适当使用参数表示已知曲线上的点用以求最值问题 五、课后作业:见练习卷 六、课后反思:参数的引入学生好理解,也能领会参数方程的好处。但离开这个背景恐 怕会出现参数的盲目性或没有利用参数的意识。

四、小

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