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高中数学必修5(北师版)第三章不等式3.4 简单线性规划(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修5(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 不等式 3.4 简单线性规划

一、知识清单
平面区域的表示 线性规划 非线性规划

二、知识讲解
1.平面区域的表示 描述: 二元一次不等式表示的平面区域 已知直线 l :Ax + By + C = 0,它把坐标平面分为两部分,每个部分叫做开半平面,开半平面 与 l 的并集叫做闭半平面.以不等式解 (x, y) 为坐标的所有点构成的集合,叫做不等式表示的 区域或不等式的图象. 对于直线 l :Ax + By + C = 0 同一侧的所有点 (x, y),代数式 Ax + By + C 的符号相

同,所以只需在直线某一侧任取一点 (x0 , y 0 ) 代入 Ax + By + C,由 Ax0 + By 0 + C 符号即 可判断出 Ax 0 + By 0 + C > 0 (或< 0 )表示的是直线哪一侧的点集.直线 Ax + By + C = 0 叫做这两个区域的边界(boundary) . 二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组所表示区域的确定方法:①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的 平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 例题: 画出下列二元一次不等式表示的平面区域. (1)3x + 2y + 6 > 0 ;(2)y ? 3x. 解:(1)① 画出直线 3x + 2y + 6 = 0 ,因为这条直线上的点不满足 3x + 2y + 6 > 0 ,所以画 成虚线. ② 取原点 (0, 0),代入 3x + 2y + 6 = 6 > 0,所以原点在不等式 3x + 2y + 6 > 0 所表示的平 面区域内,不等式表示的区域如图.

(2)① 画出直线 y = 3x,画成实线. ② 取点 (1, 0),代入 y ? 3x = ?3 < 0 ,所以 (1, 0) 不在不等式 y ? 3x 表示的平面区域内, 不等式表示的区域如图.

画出不等式组 ? x + y ? 0 ?

?x ? y + 5 ? 0 x?3

表示的平面区域.

解:不等式 x ? y + 5 ? 0 表示直线 x ? y + 5 = 0 及右下方的平面区域;x + y ? 0 表示直线 x + y = 0 及右上方的平面区域;x ? 3 表示直线 x = 3 及左方的平面区域;所以不等式组表示 的平面区域如图中阴影部分.

2.线性规划 描述: 线性规划的有关概念 若约束条件是关于变量的一次不等式(方程),则称为线性约束条件 (objective function). 一般地,满足线性约束条件的解 (x, y) 叫做可行解(feasible solution),由所有可行解组成 的集合叫做可行域 (feasible region). 要求最大(小)值所涉及的关于变量 x,y 的一次解析式叫做线性目标函数 (linear objectives) . 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解. 在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题叫做线性规划问题 (linear program). 已知 x 、y 满足条件 ? x + 7y ? 11 ? 0 ,求 z = 4x ? 3y 的最大值和最小值.

例题:

4x + y + 10 ? 0 7 x ? 5 y ? 23 ? 0 ? 解:不等式组 ? x + 7y ? 11 ? 0 所表示的可行域如图所示: ? 4x + y + 10 ? 0

? 7x ? 5y ? 23 ? 0 ?

? ?

4x + y + 10 ? 0

其中 A(4, 1),B(?1, ?6),C (?3, 2) .作一组与 4x ? 3y = 0 平行的直线 l : 4x ? 3y ? z = 0 ,当 l 过点 C 时,z 值最小;当 l 过点 B 时,z 值最大. 所以 zmin = 4 × (?3) ? 3 × 2 = ?18,zmax = 4 × (?1) ? 3 × (?6) = 14. 某工厂投资生产 A 产品 时,每生产一百吨需要资金 200 万元,需场地 200 m 2 ,可获利润 300 万元;投资生产 B 产品时,每生产一百吨需要资金 300 万元,需场地 100 m 2 ,可获利 润 200 万元.现该工厂可使用资金 1400 万元,场地 900 m 2 .问:应怎样投资可获利最大? 解:设生产 A 产品 x 百吨,生产 B 产品 y 百吨,利润为 z 百万元,则约束条件为

2x + 3y ? 14 ? ? ? ? 2x + y ? 9 ,目标函数为 z = 3x + 2y . ? ?x ? 0 ? y?0
作出可行域如图中阴影部分所示:

3 z 3 z 的一组平行直 x + ,得到斜率为 ? ,在轴上的截距为 2 2 2 2 3 z z 线,由图可知,当直线 y = ? x + 经过点 A 时, 最大,即 z 最大. 2 2 2 解方程组 { 2x + y = 9 ,得点 A 坐标为 (3.25, 2.5),所以 2x + 3y = 14 zmax = 3 × 3.25 + 2 × 2.5 = 14.75. 所以生产 A 产品 325 吨,生产 B 产品 250 吨时,获利最大,且最大利润为 1475 万元.
将 z = 3x + 2y 变形为 y = ?

3.非线性规划 描述: 对于在线性约束条件下的非线性目标函数求解,常将目标函数变形,掌握其几何意义,应用数 形结合思想将其目标函数转化为几何问题求解. 已知实数 x 、y 满足? x ? 2y + 4 ? 0 ,求

例题:

? 2x + y ? 2 ? 0 ? 3x ? y ? 3 ? 0

(1)z =

x2

+ y2

解:画出不等式组? x ? 2y + 4 ? 0 表示的平面区域,如图中阴影部分.

? 2x + y ? 2 ? 0 ? 3x ? y ? 3 ? 0

的最大值和最小值;(2)z =

? ?

3x ? y ? 3 ? 0

y+1 的最大值和最小值. x+1

(1)z = x 2 + y 2 = (x ? 0)2 + (y ? 0)2 表示的是可行域内动点 M 到原点距离的平方,由图 可知,

当点 M 在边 AC 上,且 OM ⊥ AC 时,z 取得最小值,所以

|0 + 0 ? 2| 2 4 ) = ; ? ? ? ? ? ? 5 √2 2 + 1 2 当点 M 与点 B(2, 3) 重合时,z 取得最大值,所以 zmax = (2 ? 0)2 + (3 ? 0)2 = 13 . y+1 y ? (?1) (2)z = 表示的是可行域内动点 M 与定点 P (?1, ?1) 连线的斜率,由 = x+1 x ? (?1) zmin = d 2 = (
图可知,

当点 M 在点 A 处时,直线的斜率最小,kmin = 当点 M 在点 C 处时,直线的斜率最大,kmax 所以,z 的最小值为

1 ,z 最大值为 3 . 2

0+1 1 = ; 1+1 2 2+1 = =3 . 0+1

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