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《等差数列》的教学设计


《等差数列》的教学设计 一.设计思想 数学是思维的体操,是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体,新课程倡导:强调过程,强调学 生探索新知识的经历和获得新知的体验,不能在让教学脱离学生的内心感受,必须让学生追求过程的体验。基于以上 认识,在设计本节课时,教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式,而是创造一些数学情境,让学 生自己去发现、证明。在这个过程中,学生在课堂上的主体地位得到充分发挥,极大的激发了学生的学习兴趣,也提 高了他们提出问题解决问题的能力,培养了他们的创造力。这正是新课程所倡导的数学理念。 本节课借助多媒体辅助手段,创设问题的情境,让探究式教学走进课堂,保障学生的主体地位,唤醒学生的主体 意识,发展学生的主体能力,塑造学生的主体人格,让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。 二.教材分析 高中数学必修五第二章第二节,等差数列,两课时内容,本节是第一课时。研究等差数列的定义、通项公式的推 导,借助生活中丰富的典型实例,让学生通过分析、推理、归纳等活动过程,从中了解和体验等差数列的定义和通项 公式。通过本节课的学习要求理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式,并且了解等差数列与一次函数的关系。 本节是第二章的基础,为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础,是本章的重点内容。在高考中也是重点 考察内容之一,并且在实际生活中有着广泛的应用,它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。 等差数列是学生探究特殊数列的开始,它对后续内容的学习,无论在知识上,还是在方法上都具有积极的意义。 三.学情分析 学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力,且对数列的知识有了初步的接触和认识,对数学公式的运用已具 备一定的技能,已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程,对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验 性的逻辑思维向抽象思维发展,但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。同时思维的严密性 还有待加强。 四.教学目标 1.知识目标:理解等差数列概念,掌握等差数列的通项公式,了解等差数列与一次函数的关系。 2.能力目标:培养学生观察、归纳能力,应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。
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3.情感目标:体验从特殊到一般,又到特殊的认知规律,提高数学猜想、归纳的能力。 五.重点、难点 教学重点:等差数列的概念及通项公式的推导。 教学难点:对等差数列概念的理解及学会通项公式的推导及应用。 六.教学策略和手段 数学教学是数学活动的教学,是师生之间、学生之间交往互动共同发展的过程,结合学生的实际情况,及本节内 容的特点,我采用的是“问题教学法” 其主导思想是以探究式教学思想为主导,由教师提出一系列精心设计的问题,在 , 教师的启发指导下,让学生自己去分析、探索,在探索过程中研究和领悟得出的结论,从而使学生即获得知识又发展 智能的目的。 教学手段:多媒体计算机和传统黑板相结合。通过计算机模拟演示,使学生获得感性知识的同时,为掌握理性知 识创造条件,这样做,可以使学生有兴趣地学习,注意力也容易集中,符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。 而保留使用黑板则能让学生更好的经历整个教学过程。 七.课前准备 学生预习,教师做好课件并安装好。 八.教学过程 (一) 创设情景,引入概念 设计意图:希望学生能通过日常生活中的实际问题的分析对比,建立等差数列模型,体验数学发现和创造的过程。 师生活动: 情景 2:看幻灯片上的实例 (1)2008 年北京奥运会,女子举重共设置 7 个级别,其中较轻的 4 个级别体重组成数列(单位:kg) : 48,53,58,63 (2)水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水 位 18m,自然放水每天水位下降 2.5m,最低降至 5m。那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库 每天的水位组成数列(单位:m)
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18,15.5,13,10.5,8,5.5 (3)我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算 本利和的公式是: 本利和=本金 ? (1+利率 ? 存期) 例如,按活期存入 10000 元,年利率是 0.72%, 那么按照单利,5 年内各年末 时间 年初本金 (元) 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 10000 10000 10000 10000 10000 年末本利 和(元) 10072 10144 10216 10288 10360

本利和分别是:如下表(假设 5 年既不加存款也不取款,且不扣利息税) 各年末本利和(单位:元) 10072,10144,10216,10288,10360 师:上面的三个数列又分别有什么规律呢? 师—归纳上面数列的共同特征:

an ? an?1 ? d (d 是常数) n ? 2 , n ? N ? , ,
师—满足这种特征的数列很多,我们有必要为这样的数列取一个名字? 学生(共同)—等差数列。提出课题《等差数列》 师—给出文字叙述的定义(学生叙述,板书定义) :

一般的,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,d 为公 差,a1 为数列的首项。对定义进行分析,强调:①同一个常数;②从第二项起。师—这样的数列在生活中的例子,谁 能再举几个? (二) 推进概念,发现性质 设计意图:概括等差中项的概念。总结等差中项公式,用于发现等差数列的性质。 师生活动:师—想一想,一个等差数列最少有几项?它们之间有什么关系? 学生思考后回答,至少三项,然后老师引导学生概括等差中项的概念。 设三个数 a,

A, b 成等差数列,则 A 叫 a 与 b 的等差中项。同时有 A-a=b-A, ? 2 A ? a ? b ? A ?

a?b 2

说明:(1)上面式子反过来也成立。 (2)等差数列中的任意连续三项都构成等差数列 ? 2an
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? an?1 ? an?1 , n ? 2, n ? N ? ,反之亦成立。

(三)探究通项公式 设计意图:通过具体数列的通项公式,总结一般等差数列的通项公式,体会特殊到一般的数学思想方法。 师生活动:师—对于一个数列,我们最关心的是每一项,而这就要求我们能知道它的通项公式。下面一起来研究等差 数列的通项公式。 先写出上面引例中等差数列的通项公式。再推导一般等差数列的通项公式。 师—若一个数列 a1 , a2 , a3 ,......, an ,...... 是等差数列,它的公差是 d,那么数列 ?an ? 的通项公式是什么? 启发学生: (归纳、猜想)可用首项与公差表示数列中任意一项。 学生— a2

? a1 ? d 即: a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d 即: a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d

a4 ? a3 ? d 即: a4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d ……由此可得: an ? a1 ? (n ? 1)d
师—从第几项开始归纳的?学生—第二项,所以 n≥2。师—n=1 时呢?学生—当 n=1 时,等式也是成立,因而等差数 列的通项公式 an

? a1 ? (n ? 1)d

( n ? N ? )师—很好!

(归纳、猜想,培养学生合理的推理能力)还有没有其他的推导方法?学生—还可用下面的方法归纳:

an ? an?1 ? d ? an?2 ? d ? d ? an?2 ? 2d ? an?3 ? d ? 2d ? an?3 ? 3d ? ...... ? a1 ? (n ? 1)d
时,等式也是成立,因而等差数列的通项公式 an

当 n=1

? a1 ? (n ? 1)d

( n ? N? )

师—我们把这种方法称为迭代法。还有其他的推导方法吗?启发:看方法一的第一个式子

a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d …… an ? an?1 ? d

有何规律?

学生—可以用累加的方法,左边累加后得 an ? a1 ,右边累加的 d+d+d+……+d 共 n-1 个即 an ? a1 =d+d+d+…….+d

an ? a1 =(n-1)d

an ? a1 ? (n ? 1)d

师—这种方法叫累加法 总结通项公式的推导方法:递推归纳法;迭代归纳法;累加法。 注:通项公式中含有 a1 , d , n, an 四个量,其中 a1, d 为基本量,当 a1, d 确定后,通项公式就确定了。 (四).通项公式的应用 设计意图:通过具体问题,分析等差数列通项公式中的四个量,已知什么?求什么?怎么求?提高学生分析问题,解 决问题的能力。

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例 1: (1)求等差数列 8,5,2…的第 20 项? (2)-401 是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项? (3)已知等差数列 ?an ? 中, a5 ? ?20, a20 ? ?35,求该数列的通项公式。 分析: (1)中求第 20 项,需要知道什么呢?——首项和公差 (2)中怎样判断-401 是不是数列中的项呢? ——先求通项公式,再判断是否存在正整数 n,使得-401 = an

成立。 (3)中已知两项,求通项公式的关键还是先求首项和公差。这里可以通过列方程组求解。 答案:(1) a20 ? ?49 ;(2)-401 是这个数列的第 100 项;(3) an ? ?15 ? n 。 (3)的补充说明:由列两个等式 a5 ?a1 ?4d , a20 ? a1 ? 19d 可知 a20 ? a5 ? 15d ,你能类似的推出等差数列中 任两项的关系吗?类比: am ? a1 ? (m ? 1)d 两式相减得 a m

an ? a1 ? (n ? 1)d

? a n ? ( m ? n) d ? d ?

am ? an m?n

—等差数列的性质。

(五)通项公式的图象 设计意图:加深学生对等差数列与一次函数的联系的理解。 在直角坐标系中作通项公式为 an=3n-5 的数列的图像,并观察图像有什么特点?用几何画板作图显示为下图: 该数列的图象是一群孤立的点。且都落在直线 y ? 3x ? 5 的图象上。 师—由图归纳出等差数列通项公式的图象的特点。 学生—公差不为零的等差数列 an

? pn ? q 的图象是直线 y=px+q 上的均匀排开的一群孤立的点。

注:当 p=0 时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行 x 轴(或 x 上) 的均匀公布的一群孤立点。 (六)课时小结 提出问题:这节课你学到了什么?
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教师鼓励学生积极回答,答不完整的没有关系,其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力。
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并用多媒体把学生的归纳用一张表展示出来。①等差数列定义和通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ②等差中项: 叫 a 与 b 的等差中项 ? 2 A ? a ? b ? A ? A

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(n∈ N ? )

a?b ③等差数列的性质: an ? an?1 ? an?1 , n ? 2, n ? N ? 2 2
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a m ? a n ? ( m ? n) d ? d ?

am ? an ④等差数列 an ? pn ? q 的图象是直线 y=px+q 上的均匀排开的一群孤立的点。阅读作 m?n
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业:通读教材,复习巩固,等差数列的通项公式的求法。 (二)书面作业:课本 45 页习题 2.2 组 A1,2,3,4 题。 (三) 弹性作业:模仿等差数列的定义,思考有没有“等和数列”.如果有,请探究它的定义、通项公式和相关的性质。 一、复 习引入:上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图 象法和前 n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点 下面我们看这样一些例子
王新敞
奎屯 新疆

·共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)(误:每相邻两项的差相等——应指明 ; 作差的顺序是后项减前项) ,我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 现在我们再来观察下面的数列,找出它们的共性: 生:应该说从第 2 项起,每一项与前一项的差都为同一常数 师:那么我们可以轻松填出以下空格了。对于数列①:,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于_____1___; 对于数列②:,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于_____5___;对于数列③:,从第 2 项起,每一项与前一项的 差都等于____5____;对于数列④:,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于___-2.5____; 三、如果让我们给上述 6 个数列下个定义,我们给它一个什么称谓最恰当呢?同学们:等差数列 师:定义一下吧!一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等 差数列请同学们查英语字典,并请英语课代表把它们读出来)。这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示, 数列的第一项叫首项。 师:上面的六个数列的公差分别是多少 ?生:分别为 1,5,5,-2.5,36,36 师:大家发现公差有正有负,公差为正时数列有什么变化趋势?是递增的还是递减的呢?公差为负时呢?公差是不是 可以为 0 呢?此时数列又如何变化呢? 生:公差为正时,数列是递增的,公差为负时,数列是递减的。生:公差为 0 时,数列是常数列,如 5,5,5,5,…… 三、现在我们一起来探寻求等差数列通项公式的方法 师:a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,……。所以 a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a3+d=a1+3d ……,我们可以探寻等差数列的通项公式吗?生:an=a1+(n-1)d 师:这个公式大家通过前几项类推出来了,但这是我们的猜想,我们是否能给出这个公式严格证明呢?

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师:a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,……,an-an-1=d 我们把上述 n-1 个式子累加起来,得到 an=a1+(n-1)d.这是我们通过迭加 法得到的,这种证法是严格的。这种方法以后我们还会经常用到。 师:要构成等差数列至少有几项组成呢?生:三项。 师:由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时,A 叫做 a 与 b 的等差中项。 师:由上面的式子中,变量有哪些?我们可以求哪些量?大家可以从正向看,也可以逆向去看这个公式。 生:在 an,a1,d,n 中已知其中三个量可以求第四个量。 四、我们来应用我们学习的等差数列知识,求解一些问题吧! 例 2、某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价为 10 元,即最初的 4km(不含 4km)计费 10 元。如果某人乘坐 该市的出租车去往 14km 处的目的地,且一路畅通,等候时间为 0,需要支付多少车费?(不足 1m 的按 1m 计算) 师: 如果出租车行 4km, 支付 11.2 元, 5km 需付车费 12.4 元, 6km 需付 13.6 元, 行 行 出租车的行程大于或等于 4km 时,每增加 1km,乘客需要支付 1.2 元。所以,我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费。 这个数列的首项和公差 各是多少呢? 生:令 a1=11.2,表示 4km 处的车费,公差 d=1.2 ,那么当出租车行至 14km 处的车费,n=11,此时需要支付车费 a11=11.2+(11-1)*1.2=23.2(元)。答:需要支付车费 23.2 元。师:出租车收费问题,是一个实际问题,但我们把这个生 活问题抽象、转化成数学中的数列问题,使问题易于解决。 (二) 新课探究 1、等差数列的定义 如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数,这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等 差数列的公差,通常用字母 d 来表示。思考:(1)定义中的关健词有哪些?(2)公差 d 是哪两个数的差? 强调:① “从第二项起”满足条件; ②公差 d 一定是由后项减前项所得;③每一项与它的前一项的差必须是同一个常

数(强调“同一个常数” );(在理解概念的基础上,由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言)等差数列定义的 数学表达式: an ? a1 ? ?n ? 1?d (d ? R, N ? N )
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练习:判断是否为等差数列,是等差数列的找出公差。 (1) 9 ,8,7,6,5,4,……;√ d=-1 (2)1,0,1,0,1,……×
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(3)0.70,0.71,0.72,0.73,0.74……;√ d=0.01 (4)0,0,0,0,0,0,…….; √ d=0 (5)1,2,3,2,3,4,……;×

其中第一个数列公差<0, 第二个数列公差>0,第三个数列公差=0 由此强调:公差可以是正数、负数,也可以是 0 2、等差数列的通项公式 在归纳等差数列通项公式中,我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项 a1 ,公差 d,由学生研究分组讨论

a4 的通项公式。通过总结 a4 的通项公式由学生猜想 a40 的通项公式,进而归纳 an 的通项公式。整个过程由学生完成,
通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。 探究 1:等差数列的通项公式(求法一)此时指出:这种求通项公式的办法叫不完全归纳法,这种导出公式的方法不够 严密,为了培养学生严谨的学习态度,在这里向学生介绍另一种求数列通项公式办法----迭加法: 探究 2:等差数列的通项公式(求法二) (在迭加法的证明过程中,我采用启发式教学方法。利用等差数列概念启发学生写出 n-1 个等式。对照已归纳出的通项 公式启发学生想出将 n-1 个等式相加,证出通项公式。在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想,逐步达到“注重 方法,凸现思想” 的教学要求) (三)应用举例 这一环节是使学生通过例题和练习,增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用,提高解决 实际问题的能力。设置目的:1.加强同学们对应用题的综合分析能力, 2.通过数学实际问题引出等差数列问题,激发了学生的兴趣; 3.再者通过数学实例展示了“从实际问题出发经抽象概括建立数学模型,最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学 思想方法 (四)反馈练习 目的: 使学生熟悉通项公式, 对学生进行基本技能训练。 对学生加强建模思想训练。

三、教学反思 本节教科书用积木游戏导入新课,虽然贴近生活,但需要学生构建数学模型,这对职专学生来说是个难点,新课 导入的台阶偏高。采用低起点的规律填空导入新课,台阶低,学生抬脚即上,便于激发学生的上课热情,提高参与程 度;开门见山的提问,激活学生思维,为学生指明思考的方向,明确学习的课题。
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循序渐进的启发诱导学生,看似不经意的名词解释,实则诠释了概念的内涵。开放式的尝试举例,不禁锢学生思 维,便于调动学生的积极性;问题的导引,为通项公式的尝试推导做好铺垫。 公式的推导是本节的难点,打破传统的教师讲授,采用尝试方式,让学生自主探究,学生便于体察公式推导的过 程,记忆深刻,对下一环节的尝试具有促进作用。 打破以往的教师出题,学生做题,给学生一个完全开放的做题环境,让学生自由发挥,充分调动起学生的积极性、 主动性和创造性,使学生真正成为学习的主人;同时这种合作式学习,使得学生之间相互帮扶,不同层次的学生各取 所需,较好的达成教学目标。

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