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广东省佛山市第一中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题(新)


2015—2016 学年佛山市第一中学高一下学期期中考试数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知向量, a ? (?5, ), b ? (10, ? ) ,则 a 与 b ( A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向 2. 若 a>b>0,c<d<0,则一定有 ( )

?

3 5

?

6 5

?

?



a b a b a b C. D. ? ? ? d c c d c d 1 3.等差数列 {an } 中,已知 a1 = , a2 ? a5 ? 4 , an =33,则 n 为( 3
A. B. A.50 B.49 C.48 D. 47 ) 4. 若等比数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 2 n ? r ,则 r ? ( A. 2 的值为( A.80 B. 1 ) B.40 C.20 D.1 C. 0

a b ? d c



D. ?15.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? n ? 1? ,则 a5

6. 己知函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ? R) , 先将 y ? f ( x) 的图象上所有点的横坐标缩短到

1 倍(纵坐标不变) ,再将得到的图象上所有点向右平行移动 ? ( ? ? 0 )个单位长度, 2 3? 得到的图象关于直线 x= 对称, 则 ? 的最小值为( ) 4 ? ? 5? 2? A. B. C. D. 6 3 12 3
原来的 7. 若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的是( A. ab ? 1 ;B. ).

a ? b ? 2 C. a3 ? b3 ? 3

D.

1 1 ? ? 2. a b
)

?x ? y ?1 ? 0 ? 8. 设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?

A.8 B.7 C.2 D.1 A 、 C 9.如图,为了测量 两点间的距离,选取同一平面上 B、D 两点,测出四边形 ABCD 各 边的长度(单位: km ) :A B ?B 5 ,C 为( ) km .

? C 8 ,D

D 3 ,? A

5?

,且 ?B 与 ?D 互补,则 AC 的长

-1-

A.7

B.8

C.9

D.6

10. 在 ?ABC 中有, sin B ? A.

16 65

B.

56 65

11.函数 f ( x) ? sin(

?
6

12 3 , cos A ? ,则 sin C 为 ( 13 5 63 16 56 C. D. 或 65 65 65




? x) sin x 的最大值是(
C.

A.

1 2

B. 1

1 3 ? 2 4

D.

1 3 ? 2 4

12. 已知正项数列 ?an ? 满足:

a1 ? 3, ? 2n ? 1? an ? 2 ? ? 2n ? 1? an ?1 ? 8n 2 ? n ? 1, n ? N * ? ,设 bn ? 1 , 数列 ?bn ?的前 n 项的
an
和 S n ,则 S n 的取值范围为 ( A. ? 0, 1 ?
? ? ? 2?


1 1? C. ? ? , ? ?3 2?

B. ? 1 , 1 ? ?
? ?3 2 ?

D. ? 1 , 1 ?
? ?3 2? ?

二、填空题:本答题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知点 A(?1,1)、B(0,3)、C (3,4) ,则向量 AB 在 AC 方向上的投影为_________. 14. 若 a , b 是函数 f ( x) ? x ? px ? q( p ? 0, q ? 0) 的两个不同的零点,且 a,b,-2 这三个
2

??? ?

????

数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于________. 15.设 x, y 为实数,若 4 x 2 ? y 2 ? xy ? 1则 2 x ? y 的最大值是
? ?



16. 如图所示,在 ?ABC 中,D 为边 AC 的中点, BC ? 3BE , 其中 AE 与 BD 交于 O 点, 延 长 CO 交 边 AB 于 F 点 , 则 = .

FO OC

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,有 6 题共 70 分. 17. (本小题满分 10 分) ? ? ? ? ? ? 已知向量 a , b 满足| a |=1,| b |=2, a 与 b 的夹角为 120°.

? ? ? ? (1) 求 a ? b 及 | a + b | ;

-2-

? ? ? ? (2)设向量 a + b 与 a - b 的夹角为 ? ,求 cos ? 的值.
18.(本小题满分 12 分)化简并计算: (1) sin 50? (1 ? 3 tan10? )

?? (2) 已知 cos(

?
2

)? ?

1 ? ? 6 ? ? , ? ( ? , , ) sin( ? ? ) ? , ? ? (0, ), 求 cos(? ? ? ) 的 3 2 2 3 2

值. 19.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 , 内 角 A 、 B 、

C 对应的边长分别为 a 、 b 、 c , 已知

a c o sB?

1 a 2 b s i nB . b ? ? 2 c s iC n

(1)求角 A ; (2)若 a ? 3 ,求 b ? c 的取值范围. 20.(本小题满分 12 分) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 10 , an?1 ? 9S n ? 10 . ⑴求证:数列 {lg a n } 是等差数列. ⑵设 T n 是数列 {

1 2 3 } 的前 n 项和, 求使 Tn ? ( m ? 5m ) 对所有的 n ? N ? 都成立 4 (lg an )(lg an ?1 )

的最大正整数 m 的值.

21.(本小题满分 12 分) 设 f ? k ? 是满足不等式 log 2 x ? log 2 ? 5 ? 2 k ?1 ? x ? ≥ 2k ? k ? N ? ? 的自然数 x 的个数. (1)求 f ? k ? 的函数解析式; (2) Sn ? f ?1? ? 2 f ? 2? ????? nf ? n? ,求 S n ; 22.(本小题满分 12 分) 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在 2016 年巴西奥运会期间进行一系 列促销活 动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量 x 万件与年促销 费 t 万元之间满足 3 ? x 与 t ? 1 成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是 1 万件,已知 2016 年生产化妆 品的设备折旧, 维修等固定费用为 3 万元, 每生产 1 万件化妆品需再投入 32 万元的生产费用, 若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150% 与平均每件促销费的一半的和,则当年生产的 化妆品正好能销完。 (1) 将 2016 年的利润 y (万元)表示为促销费 t 万元的函数.
-3-

(2) 该企业 2016 年的促销费投入多少时,企业的年利润最大? (注:利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用 )

2015-201 6 学年度下学期高一数学期中考试题答卷 二、填空题: (共 20 分,每小题 5 分) 13. 15. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分 17. 14. 16.

试室号:



姓名:



班级:

18、

线

考号:

19 、

-4-

20、

21.

-5-

22.

-6-

2015-2016 学年 度下学期高一期中数学试题答案 一、 选择题: 本大题共 12 小题每小题 5 分,满分 60 分. 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 D 5 C 6 A 7 D 8 B 9 A 10 B 11 C 12 B

二、填空题:本大题共 4 小题每小题 5 分,满分 20 分. 13. 2 14. 9 15.

2 10 5

16.

1 3
1 ) = - 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分 ? ? ? ? 17. 解 : (1) a ? b = | a || b |cos

120°θ

= 1×2×( -

1..........................................2 分 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ? 2 2 所 以 | a + b | = ( a + b ) = a + b + 2 a ? b = 1 + 2 + 2×( - 1) = 3.............................4 分 所 以 |

? a



? b

|



3 .............................................................. ..............

...............................5 分 (2) 同 理 可 求 得 |

? a



? b

|



7 .............................................................................

..........6 分 因 为 (

? ? ? ? ? a + b ) ? ( a - b ) = a

2

? - b

2

= 1

2

- 2

2

= -

3...................................................................7 分 ? ? ? ? ?3 (a ? b ) ? (a ? b ) 所 以 cosθ = = = ? ? ? ? | a ? b |?| a ? b | 3? 7



21 .............................................................9 分 7 ? ? ? ? 所 以 向 量 a + b 与 a - b 的 夹 角 的 余 弦 值 21 ....................................................10 分 7
18.解: (1)课本 P146,5(4) 解





-7-

? sin10? ? ? sin50 ( 1 ? 3tan10?) ? sin50? ?1 ? 3 cos10? ? ? ? ? sin50? ? cos10? ? 3sin10? / cos10? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin50 ? ? 2 sin ? 30 ? 10 ? / cos10 ?

?

?

? ? 2 sin50? sin 40? ? / cos10? 2cos 40? * sin 40? cos10? sin80? ? cos10? cos10? ? ?1 cos10? ?

.......................................

........................5 分 (2)

?? ? ( , ? ), ? ? (0, ) 2 2

?

?

?? ?

?

? ? 1 2 2 ............... ...................... ? ( , ? ),?sin(? ? ) ? 1 ? ? 2 4 2 9 3
? ? ? 6 3 ..................................... , ),? cos( -? ) ? 1 ? ? 4 2 2 9 3

.........................7 分



?
2

-? ? (?

........................9 分

? cos[(? ?
..11 分

?

? ? ?? 1 3 2 2 6 3 ) ? ( -? )] ? cos( ) ? (? ) ? ? .................... 2 2 2 3 3 3 3 3
? ??
2 ) ?1 ? ?


? cos(? ? ? ) ? 2 cos 2 (

1 ............................................. 3
由 正 弦 定 理 得 :

.................12 分 19.解 : ( 1

1 a b a cos B ? b ? ? 2 c c


2

2

........................................1 分 弦
2 2


2 2 2





?a

a ?c ?b 1 a ?b ? b? ,................................................... 2ac 2 c

.......2 分 得

a 2 ? c 2 ? b2 ? bc ? 2a 2 ? 2b2 , a 2 ? b2 ? c 2 ? bc .................................. ...
.....................3 分

-8-

∵ a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,∴ cos A ? ..............4 分

1 ............................................ 2

∵ A ? ? 0, π ? ,..........................................................5 分

π ..........................................................6 分 3 a b c ? ? ? 2 ,∴ b ? 2 sin B , c ? 2 sin C (2)由正弦定理得 sin A sin B sin C
∴A? (3)∴ b ? c ? 2sin B ? 2sin C ? 2sin B ? 2sin ? A ? B ? .............................. ...........7 分

? 2sin B ? 2sin A cos B ? 2 cos A sin B
? 2sin B ? 2 ? 3 1 cos B ? 2 ? sin B 2 2

π? ? ? 3sin B ? 3 cos B ? 2 3 sin ? B ? ? ; ........................................... 6? ?
......... ......9 分 ∵ B ? ? 0,

? ?

2π ? π ? π 5π ? ? ,∴ B ? ? ? , ? , ............................................... 3 ? 6 ?6 6 ?

......10 分

π? ?1 ? ? sin ? B ? ? ? ? ,1? . .....................................................11 分 6? ?2 ? ?
所以 b ? c ?

?

3, 2 3 ? ? .....................................................12 分
a2 ? 10 ,………………………………. (2 分) a1

20.解:⑴依题意, a2 ? 9a1 ? 10 ? 100 ,故 当 n ? 2 时, an ? 9S n?1 ? 10 ①

又 an?1 ? 9S n ? 10 ② ………………….…………. (4 分) a ②―①整理得: n ?1 ? 10 ,故 {an } n ? N ? 为等比数列, an 且 an ? a1q n?1 ? 10 n ,? lg an ? n . ? lg an?1 ? lg an ? (n ? 1) ? n ? 1 , 即 {lg a n } 是首项为 1,公差为 1 等差数列. ⑵由⑴知, Tn ? 3( ……………. (6 分)

1 1 1 ? ??? ) 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 1 1 1 1 1 3 = 3(1 ? ? ? ? ? ? ? .……………………. (9 分) ) ? 3? 2 2 3 n n ?1 n ?1

-9-

?Tn ?

故所求最大正整数 m 的值为 5

3 3 1 ,依题意有 ? (m 2 ? 5m) ,解得 ? 1 ? m ? 6 ,…………… (11 分) 2 2 4
…………………. (12 分)

k ?1 2 21.解:(1)由原不等式得 log 2 5 ? 2 x ? x ≥ 2k ? log 2 22 k ,

?

?

则 x ? 5? 2
2
k ?1 故 x?2

k ?1

x ? 22 k ≤0,
k ?1

…………………………………………………(2 分)
k ?1

?

?? x ? 4 ? 2 ? ≤0,得 2

≤ x ≤ 4?2

k ?1

…………………….(4 分)

f ? k ? ? 4 ? 2k ?1 ? 2k ?1 ? 1 ? 3 ? 2k ?1 ? 1? k ? N ? ?
k ?1 ? (2) kf ? k ? ? 3k ? 2 ? k k ? N ……………………… (7 分)

?

?

sn ? f ?1? ? 2 f ? 2 ? ? ??? ? nf ? n ? ? 3 ?1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ?1 ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
……………………… (8 分) 设 t ? 1? 2 ? 2 ? 3? 2 ??? n ? 2
2 n ?1

(1)

2t ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n (2)
(1)式减(2)式得. ?t ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 n ?1

? n ? 2n ………(10 分)

?t ? (n ?1) ? 2n ? 1
sn ? 3(n ? 1) ? 2n ?

………………………(11 分)

n(n ? 1) ? 3 ………………………(12 分) 2 k 22.解: (1)由题意可设 3 ? x ? ,将 t ? 0, x ? 1 代入,得 k ? 2 ……….1 分 t ?1 2 ?x ? 3? .……….2 分 t ?1
当年生产 x 万件时,因为年生产成本=年生产费用+固定费用 ?年生产成本为 32 x ? 3 ? 32 ? (3 ?

2 ) ? 3 ……….3 分 t ?1

当年销售 x 万件时,年销售收入 为 150% ? ?32 ? ? 3 ?

? ?

? ?

2 ? ? t ? ? 3 ? ……….4 分 t ?1 ? ? ? 2

由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,由年利润=销售收入—生产成本—促销费, 得年利润 y ?

?t 2 ? 98t ? 35 2(t ? 1)

(t ? 0) .……….6 分(其中定义域 1 分)

(2)

y?

?t 2 ? 98t ? 35 t ? 1 32 ? t ? 1 32 ? ? 50 ? ? ? ? ? 50 ? 8 ? 42 ? ? 50 ? 2 2(t ? 1) 2 t ?1 ? 2 t ?1 ?

(



- 10 -

元), .……….9 分 当且仅当

t ? 1 32 ? 即 t ? 7 万元时 ……….10 分 2 t ?1

利润最大值为 42 万元……….11 分 所以当促销价这为 7 万元时,年利润最大。……….12 分

- 11 -


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