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江苏省响水中学高中数学 第二章《函数零点的应用》导学案 苏教版必修1


江苏省响水中学高中数学 第二章 《函数零点的应用》 导学案 苏教版 必修 1

1.会利用零点的分布求参数的取值范围. 2.能通过构造函数解决有关的零点问题. 3.根据一元二次方程根的分布条件讨论参数的取值范围.

前面我们学习了零点的概念、 零点存在性定理等.注意掌握零点的求法,利用数形结合的 思想判断零点的个数问题,利用零点存在性定理判

定零点所在区间的问题等. 零点的应用是本部分考查的重点和热点,这一讲我们就来探讨零点的应用问题 .思考并 回答以下几个问题.

问题 1:求方程 f(x)=g(x)的根所在的范围或者根的个数的一般方法: (1)转化为研究函数 φ (x)=f(x)-g(x)在相应定义域内 的情况,方程的根就是 函数 φ (x)的 . (2)转化为研究函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象的交点问题,两个函数图象的 的横 坐标所在的范围或个数,就是方程的根的范围或个数. 问题 2:已知含参数 m 的连续函数 y=f(x)在区间[a,b]上存在零点,求参数 m 的取值范围 的一般方法: (1)若 y=f(x)在区间[a,b]上是单调函数,则只需解关于 m 的不等式 即可. (2)若 y=f(x)在区间[a,b]上不是单调函数,则需先求出 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值 M(m)和最小值 N(m),再解关于 m 的不等式组 即可. 2 问题 3:判断一元二次方程 ax +bx+c=0(a>0)的根的分布的一般方法: 2 2 一元二次方程 ax +bx+c=0(a>0)根的分布问 题可以转化二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的 零点问题,结合图象和性质进行转化; (1)若方程的两根中的一根大于 m ,另一根小于 m,则 ; 当 m=0,即方程的根一正一负时, . (2)若方程的两根都大于 m,则 ;若方程的两根都小于 m,则 . (3)若方程的两根在区间(m,n)的两侧,则 . (4)若方程的两异根都在区间(m,n)内,则 . (5)若方程的两根中的一根在区间(m,n)内,另一根在(p,q)内,则 .

1

1.函数 f(x)=e +3x 的零点个数为
x

x

. . .

2.函数 f(x)=2 - -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是 3.若方程 x -2mx+2=0 的两个不同的根都小于 1,则实数 m 的取值范围是 x 4.求函数 f(x)=2 +lg(x+1)-2 的零点个数.
2

利用零点的分布求参数的取值范围 2 关于 x 的方程 3x -5x+a=0 的一个根大于-2 小于 0,另一个根大于 1 小于 3,求实数 a 的取 值范围.

合理构造函数,解决零点问题 已知 f(x)= (x-a)(x-b)-2(a<b),若 α ,β (α <β )是方程 f(x)=0 的两个根,则 a,b,α ,β 的大小关系为 .

数学思想在零点问题中的综合应用 2 试讨论函数 f(x)=x -2|x|-a-1(a∈R)的零点个数.

(1)已知方程 2x -(m+1)x+m=0 有一正一负实根,求实数 m 的取值范围. 2 (2)关 于 x 的方程 mx +2(m+3)x+2m+14=0 有两个实根,且一个大于 4,一个小于 4,求实数 m 的取值范围.

2

若 x0 是方程( ) = 的解,则 x0 属于下列区间中的

x

.

①( ,1);②( , );③( , );④(0, ).

已知函数 f(x)=|x -2x|-a,分别求满足下列条件的实数 a 的取值范围.

2

2

(1)函数 f(x)没有零点; (2)函数 f(x)有两个零点; (3)函数 f(x)有三个零点; (4)函数 f(x)有四个零点.

1.设 a,b,k 是实数,二次函数 f(x)=x +ax+b 满足:f(k-1)与 f(k)异号,f(k+1)与 f(k)异号.在 以下关于 f(x)的零点的说法中,正确的是 . ①该二次函数的零点都小于 k; ②该二次函数的零点都大于 k; ③该二次函数的两个零点之差一定大于 2; ④该二次函数的零点均在区间(k-1,k+1)内. 2.若方程 f(x)-2=0 在(-∞,0)内有解,则 y=f(x)的图象可能是 .

2

3.函数 f(x)=ax+1-2a 在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数 a 的取值范围是 2 4.求函数 y=-x -2x+3 的零点,并分别指出当 y>0 和 y<0 时 x 的取值范围.

.

(2013 年·天津卷)函数 f(x)=2 |log0.5x|-1 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 考题变式(我来改编):

x

). D.4

3

第 10 课时 函数零点的应用 知识体系梳理 问题 1 :(1)零点 零点 (2)交点 问题 2:(1)f(a)f(b)≤0 (2) 问题 3:(1)f(m)<0 c<0 (2)

(3)

(4)

(5) 基础学习交流 1.1 显然函数 f(x)为单调增函数,由 f(-1)<0,f(1)>0,得函数 f(x)仅有一个零点. 2.(0,3) 由已知得 f(1)f(2)<0,即 a(a-3)<0,解得 0< a <3. 3.(-∞,) 依题意有 解得 m<-

.

4.解:(法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,

f(2)=4+lg 3-2>0, ∴f(x)在(0,2)上必定存在零点,
又 f(x)=2 +lg(x+1)-2 在(-1,+∞)上为增函数,
x

4

故 f(x)有且只有一个零点. (法二)在同一坐标系下作出 h(x)=2-2 和 g(x)=lg(x+1)的大致图象.由图象知 g(x)=lg(x+1) 的图象和 h(x)=2-2 的图象有且只有一个交点, 即 f (x)=2 +lg(x+1)-2 有且只有一个零点. 重点难点探究 探究一:【解析】设 f(x)=3x -5x+a,其大致图象如图所示:
2

x

x

x

则由图象结合函数零点的性质 可知 f(x)满足 围是(-12,0).

解得-12<a<0.故实数 a 的取值范

【小结】 本题已知方程根(即函数的零点)的分布情况,要求参数的取值范围,解决此类问 题的关键是利用函数的图象结合零点的性质将方程根 (即函数的零点)的分布情况转化为参 数所满足的条件.这里利用了函数在特殊点处的函数值符号来对参数进行限定. 探究二:【解析】设 g(x)=(x-a)(x-b),则 f(x)的图象是由 g(x)的图象向下平移 2 个单 位得到的,显然 g(x)的两个零点分别为 a,b,f(x)的两个零点分别为 α ,β ,结合图象可得 α <a<b<β .

【答案】α <a<b<β 【小结】本题先将方程根的问题转化为函数零点的问题,再结合新构造函数的图象和零 点情况,直观形象地找到四个量的大小关系. 探究三:【解析】f(x)=0?x -2|x|=a+1, 令 g(x)=x -2|x|,h(x)=a+1,
2 2

5

则有 g(x)=

g(x)、h(x)图象如图所示.

g(-2)=g(0)=g(2)=0, g(-1)=g(1)=-1,
当 a+1<-1,即 a<-2 时,g(x)与 h(x)无交点; 当 a+1=-1 或 a+1>0,即 a=-2 或 a>-1 时,g(x)与 h(x)有两个交点; 当-1<a+1<0,即-2<a<-1 时,g(x)与 h(x)有四个交点; 当 a+1=0,即 a=-1 时,g(x)与 h(x)有三个交点. 故当 a<-2 时,函数 f(x)无零点; 当 a=-2 或 a>-1 时,函数 f(x)有两个零点; 当-2<a<-1 时,函数 f(x)有四个零点; 当 a=-1 时,函数 f(x)有三个零点. 【小结】 在解决有关函数零点的问题时,往往要综合运用多种思想方法,一般有函数与方 程、化归与转化、数形结合、分类讨论思想等. 思维拓展应用 应用一:(1)设 f(x)=2x -(m+1)x+m, 则实数 f(x)的图象是一条开口向上的抛物线, 依题意得 f(0)<0,即 m<0, 故实数 m 的取值范围是(-∞,0). (2)令 f(x)=mx +2(m+3)x+2m+14. 依题意得 或
2 2





解得- <m <0.

故实数 m 的取值范围是(- ,0).

应 用 二 :③

令 f(x)=( ) -

x

, 则 f( )=(

-(

,∵ > ,∴(

>(

,即

6

f( )>0;f( )=(

-(

,∵ > ,∴(

<(

,即 f( )<0.

即 f( )·f( )<0,显然函数 f(x)在 R 上单调递减,

故方程( ) = 的解 x0 在区间( , )内. 应用三:求函数 f(x)=|x -2x|-a 的零点个数可以转化为求方程 a=|x -2x|的根的个数,进 一步转化为求函数 g(x)=|x -2x|的图象与函数 h(x)=a 的图象的交点个数. 函数 g(x)=|x -2x|和函数 h(x)=a 的图象如图所示.
2 2 2 2

x

(1)当 a<0 时,两个函数图象无交点,此时函数 f(x)没有零点; (2)当 a=0 或 a>1 时,直线 y=h(x)与 y=g(x)的图象有两个 交点,即函数 f(x)有两个零点; (3)当 a=1 时,直线 y=h(x)与 y=g(x)的图象有三个交点,即函数 f(x)有三个零点; (4)当 0<a<1 时,直线 y=h(x)与 y=g(x)的图象有四个交点,即函数 f(x)有四个零点. 基础智能检测 1.④ 由 题 意 , 得 f(k-1)f(k)<0,f(k)f(k+1)<0, 由 零 点 存 在 性 定 理 可 知 区 间 (k-1,k),(k,k+1)内各有一个零点,零点可能是区间内的任何一个值,故④正确. 2.④ 根据题意只需函数 y=f(x)与 y=2 在(-∞,0)上有交点即可. 3.( ,1) 当 a=0 时,函数 f(x)=1 在(-1,1)上没有零点,所以 a≠0,所以根据根的存在性定理

可知 f(-1)f(1)<0,即(-3a+1)(1-a)<0,解得 <a<1.所以实数 a 的取值范 围是( ,1). 4.解:解方程-x -2x+3=0 得 x1=-3,x2=1,即函数 y=-x -2x+3 的零点为-3,1. 画出函数的大致图象,如图所示:
2 2

由图象可以看出:当-3<x<1 时,y>0;当 x<-3 或 x>1 时,y<0. 综上,函数 y=-x -2x+3 的零点为-3,1;当 y>0 时,x 的取值范围为(-3,1);当 y<0 时,x 的取值 范围为(-∞,-3)∪(1,+∞).
7
2

全新视角拓展 B 令 f(x)=0,则有 2 |lo x|-1=0,即|lo x|=( ) ,所以要求 y=f(x)的零点个数,即求函
x x

数 h(x)=|lo x|与函数 g(x)=( ) 的图象的交点个数,画图观察可得 y=h(x)与 y=g(x)有两个 交点,所以 y=f(x)有两个零点.

x

思维导图构建

y=f(x) y=g(x)

8


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