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2013数学高考题分类选编解三角形(1)


正弦定理和余弦定理
一、选择题 1.(2013·北京高考文科·T5)在△ ABC 中,a=3,b=5,sinA= ,则 sinB=( A.
1 5

1 3

) B.
5 9

C.

5 3

D.1

2.(2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T4) ?ABC 的内角 A, B, C 的对边 分别为 a, b, c ,已知 b ? 2 , B ? A. 2 3 ? 2 B. 3 ? 1
? ? , C ? ,则 ?ABC 的面积为( 6 4



C. 2 3 ? 2

D. 3 ?1

【解题指南】利用正弦定理和三角形的面积公式可得 【解析】 选 B.因为 B ? , C ?
6

?

?
4

,所以 A ?

7? .由正弦定理得 12

b sin

?
6

?

c sin

?
4



1 1 7? 解得 c ? 2 2 。所以三角形的面积为 bc sin A ? ? 2 ? 2 2 sin . 2 2 12

因为 sin
1 2

7? ? ? 3 2 2 1 2 3 1 ? sin( ? ) ? ? ? ? ? ( ? ), 12 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 ( ? ) ? 3 ? 1 ,选 B. 2 2 2

所以 bc sin A ? 2 2 ?

3.(2013·新课标Ⅰ高考文科·T10)已知锐角△ABC 的内角 A,B,
b, a ? 7, 23cos2 A ? cos2 A ? 0 , C 的对边分别为 a , c=6, 则b ? ( c,



A.10

B.9

C.8

D.5

【解题指南】由 23cos2 A ? cos2 A ? 0 ,利用倍角公式求出 cos A 的值,然 后利用正弦定理或余弦定理求得 b 的值. 【解析】选 D.因为 23cos2 A ? cos 2 A ? 0 ,所以 23cos2 A ? 2 cos2 A ? 1 ? 0 , 解得 cos 2 A ?
1 , 25

方法一:因为△ABC 为锐角三角形,所以 cos A ? , sin A ? 由正弦定理
a c 7 6 ? ? 得, . sin A sin C 2 6 sin C 5

1 5

2 6 . 5

sin C ?

19 12 6 , cos C ? .又 B ? ? ? ( A ? C ) , 35 35

所以 sin B ? sin(A ? C) ? sin A cosC ? cos A sin C ,
sin B ?
7 2 6 5 ?
a b 2 6 19 1 12 6 50 6 ? .由正弦定理 得, ? ? ? ? sin A sin B 5 35 5 35 175

b 50 6 175

,解得 b ? 5 .
1 5

方法二:由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , cos A ? ,则
b 2 ? 36 ? 12b ? 1 ? 49 ,解得 b ? 5 5

4.(2013·陕西高考文科·T9) 【备注: (2013·陕西高考理科·T7) 与之题干相同】 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为 ( A. 直角三角形 ) C. 钝角三角形 D. 不确定

B. 锐角三角形

【解题指南】在含有边角关系式的三角函数恒等变形中,利用正弦定 理将边的关系式化为角的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的 关系式,这是判断三角形形状的两个转化方向. 【解析】选 A.因为 bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以 sin(B+C)=sin2A, sinA=sin2A, sinA=1,所以三角形 ABC 是直角三角形.

5.(2013·安徽高考文科·T9) 【备注: (2013·安徽高考理科·T 12)与之题干相同】 设 △ ABC 的 内 角 A,B,C 所 对 边 的 长 分 别 为 a,b,c. 若 b+c=2a, 则 3sinA=5sinB,则角 C= A.
π 3

(
3π 4

) D.
5π 6

B.

2π 3

C.

【解题指南】 根据正弦定理、余弦定理进行解三角形计算。
5 ? a? b ? ?b ? c ? 2a ? 3 ?? 【解析】选 B.由题设条件可得 ? ,由余弦定理得 ?3a ? 5b ?c ? 7 b ? 3 ?

5 7 ( b) 2 ? b 2 ? ( b) 2 2π a 2 ? b2 ? c 2 1 3 。 cos ?C ? ? 3 ? ? ,所以∠C = 5 2 3 2ab 2 2? b 3

6. (2013·山东高考文科·T7) ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是
a、b、c ,若 B ? 2 A , a ? 1 , b ? 3 ,则 c ? (



A. 2 3

B. 2

C. 2

D.1
a b ? ,即 sin A sin B

【解析】选 B.由 B ? 2 A ,则 sin B ? sin 2 A ,由正弦定理知

? 3 1 3 3 3 ? ? ? ,所以 cosA= ,所以 A= , 6 2 sin A sin B sin 2 A 2 sin A cos A
B ? 2A ?

?
3

,所以 C ? ? ? B ? A ?

?
2

,所以 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 1 ? 3 ? 4 ,c=2.

7.(2013·湖南高考理科·T3)在锐角 ?ABC 中,角 A, B 所对的边长 分别为 a , b .若 2a sin B ? 3b, 则角A等于( A.
? 12


? 4

B.

? 6

C.

D.

? 3

【解题指南】本题先利用正弦定理 件“锐角三角形” .

a b ? 化简条件等式,注意条 sin A sin B

【解析】选 D.由 2asinB= 3 b 得 2sinAsinB= 3 sinB,得 sinA= 锐角 A= . 8. (2013·天津高考理科·T6)在△ ABC 中, 则 sin?BAC = ( A.
10 10

3 ,所以 2

? 3

?ABC ?

?
4

, AB ? 2, BC ? 3,

) B.
10 5

C.

3 10 10

D.

5 5

【解题指南】先由余弦定理求 AC 边长,然后根据正弦定理求值. 【解析】选 C. 在△ ABC 中,由余弦定理得,
AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos

?
4

? 2 ? 9 ? 2? 2 ? 3?

2 2

? 5, 所以 AC ? 5, 由正弦定理得

5 3 AC BC ? , 所以 ? ,即 ? sin A sin B sin A sin 4

sin?BAC ?

3 10 10

.

9. (2013·湖南高考文科·T5)在锐角 ? ABC 中,角 A,B 所对的 边长分别为 a,b. 若 2asinB= 3 b,则角 A 等于( ) A.
? 3

B.

? 4

C.

? 6

D.

? 12

【解题指南】本题先利用正弦定理 件“锐角三角形” .

a b ? 化简条件等式,注意条 sin A sin B

【解析】选 A.由 2asinB= 3 b 得 2sinAsinB= 3 sinB,得 sinA= 锐角 A= . 二、填空题
? 3

3 ,所以 2

10.(2013·浙江高考理科·T16)在△ABC 中,∠C=90°,M 是 BC 的中 点.若 sin ?BAM ? ,则 sin∠BAC=
1 3

.

【解题指南】 分别在 Rt△ABC 和△ABM 中应用勾股定理和正弦定理. 【解析】设 AC=b,AB=c,BC=a,在△ABM 中由正弦定理得
1 a c 2 ①, ? sin ?BAM sin ?BMA

因为 sin ?BMA ? sin ?CMA ?
2 2

AC , AM
2

1 3 又 AC ? b ? c ? a , AM ? b ? a 2 ? c2 ? a 2 ,所以 sin ?BMA ? 4 4
1 a 2 ? 又由①得 1 3

c2 ? a2 . 3 2 2 c ? a 4

c c ?a 3 c2 ? a2 4
2 2

,两边平方化简得 4c4-12a2c2+9a4=0,所以

2c2-3a2=0, 所以 sin ?BAC ? ? 【答案】
6 3 a c 6 . 3

11.(2013·上海高考理科·T4)已知△ABC 的内角 A,B,C 所对应边 分别为 a,b,c,若 3a2+2ab+3b2-3c2=0,则角 C 的大小是 反三角函数值表示). 【解析】3a2+2ab+3b2-3c2=0?c2=a2+b2+错误!未找到引用源。ab,故
1 1 cos C ? ? , C ? ? ? arccos . 3 3 1 【答案】 ? ? arccos 3

(结果用

12.(2013·上海高考文科·T5)已知 ? ABC 的内角 A、B、C 所对的 边分别是 a、b、c.若 a2+ab+b2-c2=0,则角 C 的大小是 .

【解析】 a 2 ? ab ? b 2 - c 2 ? 0 ? cosC ? 【答案】
2 ? 3

a2 ? b2 - c2 ?1 2 ? ?C ? ? 2ab 2 3

三、解答题 13. (2013·大纲版全国卷高考文科·T18)与(2013·大纲版全国 卷高考理科·T18)相同 设 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac (I)求 B ; (II)若 sin A sin C ?
3 ?1 ,求 C . 4

【解题指南】 (I)由条件 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac 确定求 B 应采用余弦定 理. (II)应用三角恒等变换求出 A ? C 及 A ? C 的值,列出方程组确定 C 的 值. 【解析】 (I)因为 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ?ac .所以 a 2 ? c 2 ? b 2 ? ?ac .
a2 ? c2 ? b2 1 ? ? ,因此 B ? 120? . 由余弦定理得 cos B ? 2ac 2

(II)由(I)知 A ? C ? 60? ,所以 cos(A ? C) ? cos A cosC ? sin Asin C
? cos A cos C ? sin A sin C + 2sin A sin C
? cos(A ? C) ? 2 sin Asin C

?

3 1 3 ?1 ? ? 2? . 2 2 4

故 A ? C ? 30? 或 A ? C ? ?30? ,因此 C ? 15? 或 C ? 45? 14. (2013· 新课标Ⅰ高考理科· T17) 如图, 在 ?ABC 中,?ABC ? 90? ,

AB ? 3 , BC ? 1 , P 为 ?ABC 内一点, ?BPC ? 90? .

(Ⅰ)若 PB ? ,求 PA ; (Ⅱ)若 ?APB ? 150? ,求 tan ?PBA . 【解析】由已知得, ?PBC ? 60? , 所以 ?PBA ? 30? . 在 ?PBA ,由余弦定理得
PA 2 ? 3 ? 1 1 7 7 ? 2 ? 3 ? cos 30 ? ? ,故 PA ? . 4 2 4 2

1 2

(Ⅱ)设 ?PBA ? ? ,由已知得 PB ? sin ? , 在 ?PBA 中, 由正弦定理得 所以 tan? ?
3 sin ? , 化简得 3 cos? ? 4 sin ? , ? ? sin 150 sin(30? ? ? )

3 3 ,即 tan?PBA ? . 4 4

15. (2013·天津高考文科·T16)在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对 的边分别是 a, b, c. 已知 b sin A ? 3c sin B , a = 3, (Ⅰ) 求 b 的值;
?? (Ⅱ) 求 sin ? ? 2 B ? ? 的值.
? 3?

cos B ?

2 . 3

【解题指南】(Ⅰ)根据正弦定理及 b sin A ? 3c sin B , a = 3 求出 a,c 的值, 再由余弦定理求 b 的值; (Ⅱ)根据同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求出 cos 2 B , sin 2 B ,

再由两角差的正弦公式求值. 【解析】(Ⅰ) 在△ABC 中,由正弦定理得
a b ,即 b sin A ?asin B ? sin A sin B
a 2 c c o s B,



又由 b sin A ? 3c sin B ,可得,a ? 3c ,又 a = 3,故 c=1,由 b2 ?a2 ?c2 ? 且 cos B ? 2 , 可得 b ?
3 3
6.
5 3

(Ⅱ)由 cos B ? 2 ,得 sin B ?

,进而得到

4 5 1 . cos 2B ? 2cos2 B ? 1 ? ? , sin 2 B ? 2sin B cos B ? 9 9

?? ? 所以 sin ? ? 2 B ? ? ? sin 2 B cos
? 3?

3

? cos 2 B sin

?
3

?

4 5? 3 . 18

16.(2013·浙江高考文科·T18)与(2013·浙江高考理科·T18)相同 在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= 3 b. (1)求角 A 的大小. (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. 【解题指南】 (1)由正弦定理易求角 A 的大小;(2)根据余弦定理,借助三 角形的面积公式求解. 【解析】 (1)由 2asinB=错误! 未找到引用源。 b 及正弦定理 得 sinA=错误!未找到引用源。, 因为 A 是锐角,所以 A ?
?
3

a b ? , sin A sin B

.

(2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,得 b2+c2-bc=36,又 b+c=8,所以 bc ?
28 , 3

由三角形面积公式 S=错误!未找到引用源。bcsinA,得△ABC 的面积 为错误!未找到引用源。. 17.(2013·江西高考理科·T16)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的 边分别为 a,b,c,已知错误!未找到引用源。.

(1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 1 ,求 b 的取值范围. 【解题指南】(1)借助三角形内角和为 ? ,结合三角恒等变换将条件中 的等式转化为只含 B 的方程,求出 B 的三角函数值,进而可求出角 B.(2)根据(1)求出的 B 与 a ? c ? 1 ,由余弦定理可得 b2 关于 a 的 函数,注意到 a ? c ? 1 可知 0 ? a ? 1 ,进而可求出 b 的范围. 【解析】 (1)由已知得 ? cos(A ? B) ? cos Acos B ? 3sin Acos B ? 0 ,即
sin Asin B ? 3sin Acos B ? 0 .因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 3 cos B ? 0 ,又
cos B ? 0 ,所以 tan B ? 3 ,又 0 ? B ? ? ,所以 B ?

? . 3 1 2

(2)由余弦定理,有 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,因为 a ? c ? 1 , cos B ? ,所 以 b 2 ? 3(a ? ) 2 ? ,又因为 0 ? a ? 1 ,所以 ? b 2 ? 1 ,即 ? b ? 1 . 18. (2013·江西高考文科·T17)在△ABC 中,角 A,B,C 的对 边分别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若 C= 2? 错误!未找到引用源。 ,求错误!未找到引用源。 a 的
3
b

1 2

1 4

1 4

1 2

值. 【解题指南】 (1)先利用二倍角公式把角 2B 化为角 B,再进行角化 边的处理; (2)借助第(1)问的结果结合余弦定理进行求解. 【解析】(1)由已知得 sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,因为 sinB ? 0 ,所以 sinA+sinC=2sinB,由正弦定理可知 a+c=2b,即 a,b,c 成等差数列. (2) 由 C= 2? , c=2b-a 及余弦定理得 (2b ? a)2 ? a 2 ? b2 ? ab , 即有 5ab ? 3b2 ? 0 ,
3

所以 a ? 3 . b 5

19.(2013·北京高考理科·T15)在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠ B=2∠A. (I)求 cosA 的值, (II)求 c 的值 【解题指南】 (1)由条件可以看出,已知两角关系求角,可以利用正 弦定理解决问题; (2)由已知两边和角求第三边,所以应用余弦定理 求解。 【解析】 (1)由正弦定理得
3 2 6 , ? sin A 2sin A cos A
a b 3 2 6 ,所以 , ? ? sin A sin B sin A sin 2 A

即 cos A ?

6 . 3

(2)由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,所以
32 ? (2 6) 2 ? c 2 ? 2 ? 2 6c ? 6 , 3

即 c 2 ? 8c ? 15 ? 0 ,解得 c ? 5 或 c ? 3 (舍) 。 20.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T17)△ABC 的内角 A,B,C 的对边 分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB. (1)求 B. (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 【解题指南】(1)将 a=bcosC+csinB“边化角”,化简求得 B. (2)利用角 B、 边 b 将△ABC 面积表示出来,借助均值不等式求最大值. 【解析】(1)因为 a=bcosC+csinB,所以由正弦定理

得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以 sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即 cosBsinC=sinCsinB,因为 sinC≠0, 所以 tanB=1,解得 B=错误!未找到引用源。 (2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos 错误!未找到引用源。,即 4=a2+c2错误!未找到引用源。ac,由不等式得 a2+c2≥2ac,当且仅当 a=c 时,取 等号,所以 4≥(2-错误!未找到引用源。)ac,解得 ac≤4+2 错误!未找 到引用源。,所以△ABC 的面积为错误!未找到引用源。acsin 错误!未
找到引用源。≤错误!未找到引用源。×(4+2 错误!未找到引用源。)=错误!未找到引用 源。+1.所以△ABC 面积的最大值为错误!未找到引用源。+1.

解三角形应用举例
一、填空题 1. (2013·福建高考理科·T13)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边 上,AD⊥AC, sin∠BAC=错误!未找到引用源。,AB= 3 2 ,AD=3,则 BD

的长为

.
?

【解题指南】显然,sin∠BAC=cos∠BAD,用余弦定理. 【解析】 sin∠BAC=错误! 未找到引用源。= sin( ? ?BAD) =cos∠BAD,
2

在△BAD 中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=18+9-2× 3 2 ×3 ×
2 2 =3, 3

所以 BD=错误!未找到引用源。. 【答案】错误!未找到引用源。

二、解答题 2.(2013·重庆高考理科·T20)在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对 边分别是 a 、 b 、 c ,且 a2 ? b2 ? 2ab ? c2 . (Ⅰ)求 C ; (Ⅱ)设 cos A cos B ?
3 2 cos(? ? A) cos(? ? B) 2 , ,求 tan ? 的值. ? 2 5 cos ? 5

【解题指南】直接利用余弦定理可求出 C 的值,由和差公式及 C 的值 通过化简可求出 tan ? 的值. 【解析】 (Ⅰ)因为 a2 ? b2 ? 2ab ? c2 由余弦定理有 cosC ? (Ⅱ)由题意得
3? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab 2 ? ?? .故C ? . 4 2ab 2ab 2

(sin? sin A ? cos? cos A)(sin? sin B ? cos? cos B) 2 ? . 2 5 cos ? 2 . 5

因此 (tan? sin A ? cos A)(tan? sin B ? cos B) ?
(tan? sin A ? cos A)(tan? sin B ? cos B) ? 2 . 5

tan2 ? sin A sin B ? tan? sin( A ? B) ? cos A cos B ?
3? ? 2 A ? B ? , 所以 sin( A ? B) ? , 4 4 2

2 .① 5

因为 C ?

因为 cos(A ? B) ? cos A cosB ? sin Asin B, 即 解得 sin A sin B ?
3 2 2 2 ? ? . 5 2 10

3 2 2 ? sin A sin B ? , 5 2

由①得 tan2 ? ? 5 tan? ? 4 ? 0 , 解得 tan ? ? 1 或 tan ? ? 4 .

3. (2013·重庆高考文科·T18)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分 别是 a,b,c,且 a2=b2+c2+ 3 ab. (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ) 设 a=错误! 未找到引用源。 ,S 为△ABC 的面积,求 S+3cosBcosC 的最大值,并指出此时 B 的值. 【解题指南】直接利用余弦定理可求出 A 的值,再利用正弦定理求解
S+3cosBcosC 的最大值,并指出此时 B 的值.

【解析】 (Ⅰ)由余弦定理得 cos A ? 又因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc ? 3 ? ? . 2bc 2bc 2

5? . 6 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin A ? , 又有正弦定理及 a ? 3 得 2 1 1 a sin B S ? bc sin A ? ? ? a sin C ? 3 sin B sin C , 2 2 sin A

因此, S ? 3 cosB cosC ? 3(sin B sin C ? cosB cosC) ? 3 cos(B ? C). 所以,当 B ? C ,即 B ?
??A
12 ?

?
12

时, S ? 3cos B cos C 取最大值 3 .

4. (2013·山东高考理科·T17)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的 边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cosB= . (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 【解题指南】 (1)先由余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 可得到 ac 的关系 式 , 再 和 已 知 a+c=6 联 立 方 程 , 可 得 a , c 的 值 ; (2)由
7 9

? A ? B? ? s i nA c o s sin B?c o s As i n B 知, 需先求出 sinA,sinB,cosA,cosB 的值,
可先利用同角三角函数基本关系式求出 sinB, 然后由正弦定理求出 sinA,进而求得 cosA,从而本题得解.

【 解 析 】( 1 ) 由 与 余 弦 定 理 得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , 得
b2 ? ?a ? c? ? 2ac?1 ? cos B?
2

又 a+c=6,b=2,cosB= ,所以 ac=9,解得 a=3,c=3. (2)在△ABC 中, sin B ? 1 ? cos2 B ? 由正弦定理得 sin A ?
a sin B 2 2 . ? b 3 4 2 , 9

7 9

因为 a=c,所以 A 为锐角. 所以 cos A ? 1 ? sin 2 A ? . 因此 sin? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B ?
2 2 7 1 4 2 10 2 . ? ? ? ? 3 9 3 9 27
1 3

5. (2013· 福建高考文科· T21) 如图,在等腰直角 ?OPQ 中, ?POQ ? 90 ,
OP ? 2 2 ,点 M 在线段 PQ 上.

(I)若 OM ? 5 ,求 PM 的长; (II)若点 N 在线段 MQ 上,且 ?MON ? 30 ,问:当 ?POM 取何值时, ?OMN 的面积最小?并求出面积的最小值. 【解题指南】由等腰知 ?P ? 45 ,此时, ?OPM 可解;第(II)问,按“求 什么设什么”列式求解,将面积表达式写出,利用三角函数计算公式 求解。 【解析】 (Ⅰ )在 ?OMP 中, ?OPM ? 45? , OM ? 5 , OP ? 2 2 ,

由 余 弦 定 理 得 , OM 2 ? OP2 ? MP2 ? 2 ? OP ? MP ? cos 45? , 得
M 2 P? 4 M? P 3 , ? 0解得 MP ? 1或 MP ? 3 .

(Ⅱ )设 ?POM ? ? , 0? ? ? ? 60? , 在 ?OMP 中,由正弦定理,得 所以 OM ? 同理 ON ?
OP sin 45? , sin ? 45? ? ? ?
OM OP ? , sin ?OPM sin ?OMP

OP sin 45? , sin ? 75? ? ? ?
1 2

故 S?OMN ? ? OM ? ON ? sin ?MON
1 OP2 sin 2 45? ? ? 4 sin ? 45? ? ? ? sin ? 75? ? ? ?

?
?

1 sin ? 45? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? 30? ?
1 ? 3 ? 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? ? cos ? 45? ? ? ?? 2 ? 2 ?
1 3 2 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? cos ? 45? ? ? ? 2 2 1 3 1 1 ? cos ? 90? ? 2? ? ? ? sin ? 90? ? 2? ? ? ? ? 4 4
1 3 3 1 ? sin 2? ? cos 2? 4 4 4 1 3 1 ? sin ? 2? ? 30? ? 4 2

?

?

?

?

因为 0? ? ? ? 60? , 30? ? 2? ? 30? ? 150? ,所以当 ? ? 30? 时, sin ? 2? ? 30?? 的

最大值为1,此时 ?OMN 的面积取到最小值.即 ?POM ? 30? 时,?OMN 的面积的最小值为 8 ? 4 3 . 6.(2013·江苏高考数学科·T18)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处 下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50m/min.在甲出发 2min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速 直线运动的速度为 130m/min,山路 AC 长为 1260m,经测量, cos A ?
cos C ? 3 . 5 12 , 13

(1)求索道 AB 的长. (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度 应控制在什么范围内? 【解题指南】(1)利用正弦定理确定出 AB 的长.(2)先设再建立时间 t 与甲、乙间距离 d 的函数关系式,利用关系式求最值.(3)利用条件“使 两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟”建立不等式求解. 【解析】(1)在△ABC 中,因为 cosA=错误!未找到引用源。,cosC=错 误!未找到引用源。,所以 sinA=错误!未找到引用源。,sinC=错误! 未找到引用源。.

从而 sinB=sin[π-(A+C)] =sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC =
5 3 12 4 63 ? ? ? ? , 13 5 13 5 65

AB AC 由正弦定理sinC =sinB ,得 AC 1260 4 AB=sinB ×sinC= =1040(m). ? 63 5
65

所以索道 AB 的长为 1040m. (2) 假设乙出发 t 分钟后 , 甲、乙两游客距离为 d, 此时 , 甲行走了 (100+50t)m, 乙 距 离 A 处 130tm, 所 以 由 余 弦 定 理 得

12 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×错误! 未找到引用源。 13 =200(37t2-70t+50), 1040 因 0≤t≤ 130 错误!未找到引用源。,即 0≤t≤8, 35 故当 t=37 (min)时,甲、乙两游客距离最短. BC AC (3)由正弦定理sinA 错误!未找到引用源。=sinB 错误!未找到引用 AC 1260 5 源。,得 BC=sinB ×sinA= ? =500(m).
63 65 13

乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 vm/min,由题意得-3≤
500 710 ? ≤3,解得 v 50

1250 625 ?v? , 43 14

所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速 1250 625 度应控制在[ 43 , 14 ] (单位:m/min)范围内.


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