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江西省上饶市横峰中学、戈阳一中、铅山一中、德兴一中四校2014-2015学年高一数学6月月考试题 理


2014-2015 学年度下学期四校联考 高一数学(理科)
时间:120 分钟 满分:150 分

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的)

sin ? ?
1.已知

5 13 , ?

是第一象限角,则 cos( π ? ? ) 的值为( 5 B、 13 12 C、 13 ?



5 A、 13 ?

12 D、 13

2.以下给出了 4 个命题: (1)两个长度相等的向量一定相等;

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3)若 a ? b ? a ? c ,且 a ? 0 ,则 b ? c ; (4)若向量 a 的模小于 b 的模,则 a ? b .
其中正确命题的个数共有 A、3 个 B、2 个 ( ) C、1 个 D、0 个 )

(2)相等的向量起点必相同;

3.设数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1, an ? 1 ?

1 (n ? 1) ,则 a3 ? ( an ?1
3 C、 2

8 A、 5

5 B、 3

D、 2 )

4.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,则这个圆心角所对的弧长是( 2 sin A、2 B、 1 C、 2 sin 1 D、 sin 2 5.已知向量 a =(1,k), b =(2,2),且 a + b 与 a 共线,那么 a · b 的值为( A、4 B、3 C、2 ) D、1
1 1 sin 2? ? tan? ? tan? 等于( 2 ,则 6.若

?

?

?

?

?

?

?

)

1 A、 4

B、1

C、2

D、4 ) .

7.在等差数列{an}中,若 A、 45 B、 75

a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450, 则 a2 ? a8 ? (
C、 180

D、 300 a8 ? 12 ? sin( ?? ) 2 { a } S ? n 2 3 的值为( 8.设数列 n 的前 n 项和为 n ,则



?
A、

1 2

1 B、 2

?
C、

3 2

3 D、 2
1

1 ? 2? f ( x) ? A sin( x ? ? ) ? ? 0, ? ? C ( ,4) 2 2 )的部分图象如图所示.设点 3 9.已知函数 , x ? R (其中
是图象上 y 轴右侧的第一个最高点, CD ? DB ,则 ?BDC 的面积是( A、 3 B、 4? C、 6? D、 12? 10.由正数组成的等比数列 O -4 y C D B x )

{an } 中,若 a3 a4 a5 ? 3? ,则 sin(log 3 a1 ? log3 a 2 ? ? ? log3 a7 ) 的值为(
?
C、1 D、



1 A、 2

3 B、 2

3 2

S?AOB ? ??? ? ??? ? ??? ? ? S OA ? 2 OB ? 4 OC ? 0 ? AOC 11.已知 O 是三角形 AB C 内部一点,满足 ,则 (
3 C、 2
5 D、 3



A、2

B、 5

12 . 对 于 一 个 有 限 数 列

p ? ( p1, p2 , ???, pn ) , 定 义 p 的 蔡 查 罗 和 ( 蔡 查 罗 是 一 位 数 学 家 ) 为

1 ( S1 ? S 2 ? ??? ? S n ) S ? p1 ? p2 ???? ? pk (1≤ k ≤ n, k ? N ) . 若 一 个 99 项 的 数 列 n , 其中 k


p1 , p2 , ???, p99 ) 的蔡查罗和为 1000,那么 100 项数列 (5, P 1, P 2 ,..., P 99 ) 的蔡查罗和为(
B、995 C、997 D、999

)

A、993

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知五个数 1, a, b, c,16 成等比数列,则 b = .

14.若 e1 , e2 是夹角为 60°的两个单位向量,若 a =2 e1 + e2 , b =-3 e1 +2 e2 , 则 a 与 b 的夹角 为 .

?

?

?

?

S 2014 S 2012 ? ?2 S {a } 15 . 已 知 数 列 n 是 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 n , 首 项 a1 ? ?2 0 1,5且 2014 2012 ,则

S 2015 ?

.
2

1 ? x , x ? ( ,1] ? ?x ? 2 2 f ( x) ? ? ?? 1 x ? 1 , x ? [0, 1 ] g ( x) ? a sin( ? x ? 3? ) ? 2a ? 2(a ? 0) ? 2 4 2 , ? 3 2 16.已知函数 ,给出下列结论:
1 [ 0, ] 3 ; ①函数 f ( x) 的值域为
②函数 g ( x) 在[0,1]上是增函数; ③对任意 a >0,方程 f ( x) ? g ( x) 在[0,1]内恒有解;

5 4 ?a? 5。 ④若存在 x1 , x2 ? [0,1] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取 值范围是 9
其中所有正确结论的序号是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 17、 (本小题满分 10 分)

? ? a ? ( 1 , 2 ) b 已知向量 , ? (2,?2) .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ( b ? c ) a a ? ? b 与a垂直 ,求 ? 的值. c ? 4 a ? b (1)设 ,求 ;(2)若
18. (本小题满分 12 分)

sin(2? ? ? ) tan( ? ? ? ) cos(?? ? ? ) ? 4 3? ? ?? ?? sin(? ? ? ) ? sin( ? ? ) cos( ? ? ) 5 ,求 2 2 (1)已知 2 ,且 的值.
1 ? sin 2? ? cos 2? P (cos ? ,sin ? ) y ? ? 2 x (2)已知点 在直线 上,求 1 ? sin 2? ? cos 2? 的值. cos ? ?
19. (本题满分 12 分)已知

1 13 ? , cos( ? ? ? ) ? 0? ? ?? ? 7 14 ,且 2,

(Ⅰ)求 tan 2? 的值。 (Ⅱ)求 ? 。 20. (本小题满分 12 分) 已知 a ? ?

? 3 3? ?x ?x ? ? 2 ,? 2 ? , b ? (sin 4 , cos 4 ) , f ( x) ? a ? b ? ? ?

(1)求 f ( x) 的单调递减区间? (2)若函数 g ( x)=f (2 ? x) ,求当 x ? [0, ] 时, y ? g ( x) 的最大值?

4 3

3

21.(本小题满分 12 分)已知数列

?an ?

的前 n 项和为

Sn ,且

Sn ?

3 2 1 n ? n 2 2 ,递增的等比数列 {bn } 满足:

b1 ? b4 ? 18 , b2 ? b3 ? 32 .
(1)求数列 (2)若

?an ?、 ?bn ? 的通项公式;

cn ? an ? bn , n ? N* ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .
n

22. (本题满分 12 分)
2 n f (?1) ? (?1) n , n ? N * . 已知数列 ?a n ?及 f n ( x) ? a1 x ? a2 x ? ? ? an x , n

(Ⅰ)求 (Ⅱ)设

a1 , a2 , a3 的值,并求数列 ?an ? 的通项公式;

bn ? an ? 10,求数列 {| bn |} 的前 n 项和 Tn ;

1 1 3 ( ) n ? an ? m 2 ? m ? 1 4 2 (Ⅲ)若 2 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。

4

高一数学(理)答案 一、选择题 题号 选项 1 C 2 D 3 C 4 B 5 A 6 D 7 C 8 A 9 C 10 B 11 A 12 B

二、填空题 13、 4 ;14、 120°;15、 ? 2015 ;16、 ①②④ .

三、解答题 17、解:(1)∵a=(1,2),b=(2,-2), ∴c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6). ∴b·c=2×6-2×6= 0 , ∴(b·c)a=0a= 0 .

?

………… …………………………5 分

(2)a+λ b=(1,2)+ λ (2,-2)=(2λ +1,2-2λ ), 由于 a+λ b 与 a 垂直, 5 ∴2λ +1+2(2-2λ )=0,∴λ = . 2 5 ∴λ 的值为 . 2 18、 (1)∵ ∴cosα = (Ⅰ)由诱导公式可得 ……………………………………10 分 <α <π ,sin(π ﹣α )=sinα = ,………………………………………1 分 =﹣ ,故 tanα = = , ……………………………3 分

=

= tanα = — ;………………………………6 分

sin ? ? ?2 .……………………………7 分 cos ? 1 ? sin 2? ? cos 2? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2sin ? cos ? ? (cos 2 ? ? sin 2 ? ) ∴ ……………9 分 ? 1 ? sin 2? ? cos 2? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2sin ? cos ? ? (cos 2 ? ? sin 2 ? )
(2)由题意得 sin ? ? ?2 cos ? ,? tan ? ?

? ?

2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? 2cos 2 ? ? 2sin ? cos ? tan 2 ? ? tan ? 1 ? tan ?
……………………………………………11 分

? tan ? ? ?2 .……………………………………………………………12 分 1 ? 19、解: (Ⅰ)由 cos ? ? ,0 ? ? ? , 7 2
5

得 sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? ( ) 2 ?

1 4 3 7 7 sin ? 4 3 7 ? tan? ? ? ? ?4 3, cos? 7 1 2 tan? 2? 4 3 8 3 于是 tan 2? ? ? ?? 2 2 47 1 ? tan ? 1 ? (4 3 ) ? 0? ? ?? ? 2 ,得 0 ? ? ? ? ? ? (Ⅱ)由 2 13 又? cos( ? ? ? ) ? , 14 13 3 3 ? sin(? ? ? ) ? 1 ? cos2 (? ? ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? 14 14 由 ? ? ? ? (? ? ? ) 得: cos ? ? cos[? ? (? ? ? )]
? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ?

……………………2 分 ……………………4 分 ……………………6 分

…………………… 8 分

?? ?

?
3

1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? 7 14 7 14 2
……………………12 分

20、解:(1) f ( x) ? ∴当

3 ?x 3 ?x ?x ? sin ? cos ? 3 sin( ? ) 2 4 2 4 4 3

……………………3 分

?x
4

3 2 10 22 ? 8k ] , (k ? Z ) 时, f ( x) 单调递减? 解得: x ? [ ? 8k , 3 3 ?x ? ? ) (2)由(1)可知 f ( x) ? 3 sin( 4 3
∴ g ( x) ? f ( 2 ? x) ?

?

?

?[

?

? 2k? ,

3? ? 2k? ] 时, f ( x) 单调递减 2

……………………6 分

? ? ( 2 ? x) ? ? 3 sin ? ? ? 3? ? 4
……………………8 分

? ? ?x ? ? ? ?x ? ? ? 3 sin ? ? ? ? ? 3 cos? ? ? ?2 4 3? ? 4 3?
∵ x ? [0, ] ∴

4 3

?x
4

?

?

? ? 2? ? ?? , ? 3 ?3 3 ? 3 2

∴ cos?

1 1 ? ?x ? ? ? ? ? [? , ] ………………10 分 2 2 ? 4 3?
…………………… 12 分

∴ x ? 0 时, g max ( x) ?

21、解析 : (1)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

3 2 1 1 2 ?3 ? n ? n ? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? 3n ? 1 2 2 2 ?2 ?
……………………3 分

又 Q n ? 1时, a1 ? S1 ? 2符合 ,所以 an ? 3n ? 1

Q b2b3 ? b1b4 ,?b1 , b4 方程 x2 ? 18x ? 32 ? 0 的两根,
6

又 Q b4 ? b1 ,所以解得 b1 ? 2, b4 ? 16 ? q3 ?

b4 ? 8? q ? 2 b1
…………………… 6 分

?bn ? b1 ? qn?1 ? 2n
(2) Q an ? 3n ?1, bn ? 2n ,则 Cn ? (3n ?1) ? 2n

?Tn ? 2 ? 21 ? 5 ? 22 ? 8 ? 23 ? 11? 24 ? L ? (3n ?1) ? 2n 2Tn ? 2 ? 22 ? 5 ? 23 ? 8 ? 24 ? 11? 25 ? L ? (3n ?1) ? 2n?1
将两式相减得: -Tn =2 ? 21 +3 (22 +23 +24 +L 2n ) ? (3n ?1) ? 2n?1 -------------------------------------------8分

? 22 (1 ? 2n?1 ) ? ? 4 ? 3? ? (3n ? 1) ? 2n?1 ? ? 1? 2 ?
? (?3n ? 4) ? 2n?1 ? 8
-------------------------------------------------------------------------------- 10 分 所以 Tn =(3n ? 4) ? 2n?1 ? 8 . ------------------------------------------------------------------------- 12 分 22、解: (Ⅰ)由已知 f1 ?? 1? ? ?a1 ? ?1 ,所以 a1 ? 1 .

f 2 ?? 1? ? ?a1 ? a2 ? 2 ,所以 a2 ? 3 .

f 3 ?? 1? ? ?a1 ? a2 ? a3 ? ?3 ,所以 a3 ? 5 .
因为 (?1)
n?1

…………………………1 分 ……………2 分 …………………………3 分 ………………………4 分

? an?1 ? fn?1 ? ?1? ? fn ? ?1? ? (?1)n?1 ? ? n ?1? ? (?1)n ? n ,

所以 an?1 ? (n ? 1) ? n ,即 an?1 ? 2n ? 1. 所以 an ? 2n ? 1 . 注意:若根据 a1 , a 2 , a 3 猜想出通项公式,给 1 分。

(Ⅱ)由(Ⅰ) 知, bn ? an ? 10 ? 2n ? 11,故数列 {bn } 的前 n 项和:

n(?9 ? 2n ? 11) ? n 2 ? 10 n , 2 11 由 bn ? 0 得 n ? , 2 Sn ?

…………………………5 分

* 则当 1 ? n ? 5 , (n ? N ) 时, Tn ?| b1 | ? | b2 | ??? | bn |? ?(b1 ? b2 ? ? ? bn )

= ? S n ? ?n 2 ? 10n ;

…………………6 分

* 当 n ? 6 , (n ? N ) 时, Tn ?| b1 | ? | b2 | ??? | bn |? ?(b1 ? b2 ? ? ? b5 ) ? b6 ? ? ? bn

7

= S n ? 2S5 ? n 2 ? 10n ? 2(52 ? 10? 5) ? n 2 ? 10n ? 50 ;…………………………7 分

?? n 2 ? 10 (1 ? n ? 5, n ? N * ) ? 综上, Tn ? ? ?n 2 ? 10n ? 50 (n ? 6, n ? N * ) ?
(Ⅲ)令 cn ? ( ) (2n ? 1) ,
n

…………………8 分

1 2

1 1 1 cn ?1 ? cn ? ( ) n ?1 (2n ? 1) ? ( ) n (2n ? 1) ? ( ) n ?1 (3 ? 2n) ……………………9 分 2 2 2 1 ∴当 n=1 时, c1 ? ; 2 3 当 n=2 时, c2 ? ; 4
当 n ? 2时,cn?1 ? cn . ∴当 n=2 时, cn 取最大值 又 ( ) ? an ?
n

3 4

…………………10 分

1 2 3 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,………………………11 分 4 2 1 2 3 3 即 m ? m ?1 ? 对一切正整数 n 恒成立,得 m ? 1或m ? ?7 …………12 分 4 2 4

1 2

8

学校

姓名

班级

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15. 13. 答案 题号

-------------------得分 题号

1

17.(10 分)

18. (12 分) 一 2 3 二 16. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14. 17 18 高一数学 答题卷 19 三 20 21 22 总分 座位号

三、解答题(70 分)

二、填空题(20 分,每小题 4 分)

一、选择题(60 分,每小题 5 分)

9

19. (12 分)

20. (12 分)

10

21. (12 分)

22. (12 分)

11


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