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江苏省数学竞赛提优教案:第29讲


第 10 讲 等差数列与等比数列 本节主要内容有等差数列、等比数列的基本知识,a1、an、d 或 q、n、Sn 的基本关系 1.理解等差、等比数列的概念,掌握等差数列定义的多种表达形式,能判断一个数列是不是 等差数列. 2.掌握等差、等比数列的常规简单性质,并能应用于解题,能灵活应用等差、等比中项的性 质. 3.求公差、公比.首项.项数时的基本量思想,方程思想,巧用设而不求的方法进行整体代 换的思想,从特殊到一般探索推广结论的创新意识. A 类例题 例 1 给定公比为 q(q?1)的等比数列{an}, 设 b1=a1+a2+a3, b2=a4+a5+a6,?, bn=a3n-2+a3n-1+a3n,?, 则数列{bn}( A.是等差数列 C.是公比为 q 的等比数列 (1999 年全国高中数学联赛) 分析 利用等比数列的推广的通项公式 an= am q 解 故 由题设, an= a1q n-1 3 n-m 3 ) B.是公比为 q 的等比数列 D.既非等差数列也非等比数列 . 3 3 ,则 a3n+3= a3n q 、 a3n+2= a3n-1 q 、a3n+1= a3n-2 q . bn+1 a3n+1+a3n+2+a3n+3 q3(a3n-2+a3n-1+a3n) 3 = = =q . bn a3n-2+a3n-1+a3n a3n-2+a3n-1+a3n 2 例 2 设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 97 ,则这样的 数列共有( A.2 个 ) B.3 个 C.4 个 D.5 个 (1997 年全国高中数学联赛) 分析 利用等差数列的求和公式及分类讨论思想. 解 : 由 S n ? na1 ? n(n ? 1) d ? 97 2 即 2na1+(n-1)d=2×972, 2 2 2 则 n[2al+(n-1)d]= 2×97 ,且 2a1+(n-1)d 是非负整数.故 n 是 2 ×97 的正 因数,且 n≥3,于是 n=97、97 、2 ×97 或 2 ×97 . (1)若 n=97,则 2al+96d=2 ×97,且 al 与 d 是非负整数,由 2 al = 2 ×97-96d≥0 可得 0 ≤d≤, 且 d∈Z,所以 d=0,1,2,代人 2 al +96d= 2 ×97 得 2 2 ?d ? 0 ?d ? 1 ?d ? 2 或? 或? , 故当 n=97 时,符合题意的等差数列有 3 个. ? ?a1 ? 97 ?a1 ? 49 ?a1 ? 1 (2)若 n=97 ,则 2 al +(97 -1)d=2,由 2al =2-(97 -1)d≥0 得 0≤d≤ 故 d=0.此时 al =1 即 n=97 时,符合题意的等差数列只有 1 个. (3)若 n=2×97,则 2 al +(2×97-1)d=97,即 0≤d<1.所以 d=0,此时 al = 意. (4)若 n= 2×97 ,则 2 al +(2×97 -1)d=1,即 0≤d<1.所以 d=0,此时 al= ,不合题意. 故当 n=2×97 或 2×97 时,符合题意的等差数列不存在. 综上所述,符合题意的等差数列共有 3+1=4 个故选( C ) 2 2 2 2 2 2 2 2 97 ? 1 2 97 ,不台题 2 1 2 情景再现 1.(2005 年全国高考题)在等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 0 , a2 是 a1 与 a4 的等比中项,已知 数列 a1、a3、 ak1、 ak2 ...、akn

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