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函数单调性


函数单调性的应用

一、利用单调性比较大小
? 例1:已知函数f(x)是定义在R上增函数, 2 比较 f (a ? 2) 与 f (2a) 的大小。

1 ? 练习1:f(x)在R上为减函数试比较 f ( x ? x ? 1) 与 f ( ) 2 的大小关系。
2

? 变式: f (a ) 与 f (a ? 1) 关系呢?
2

二:利用单调性解不等式或方程
方法:f[g(x)]>g[h(x)],利用单调性,去掉“f” ,转化为具体的 不等式(组),此时要注意g(x)与f(x)的取值应在外层函 数之内。

例2:已知函数f(x)在R上是减函数, f (a) ? f (1 ? 2a) 若 ,求实数 的取值范围. a

? ? ? 上的增函数, 例3:f(x)是定义在 ?0, 若 f ( x) ? f (2 ? x) ,求 x 的取值范围。

f ( x) 在R上是减函数,若 f ? 练习2: 的取值范围。
?1? ? ? ? 变式:改成 f ? x ? ? f (1) 呢? ? ?

( x ) ? f (1) ,求

x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 ? 变式:f ( x) 中 任意x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 , 都有 x1 ? x2 成立,……

? 练习3:f ( x) 是定义在?- 1,2 ? 的增函数, 若 f ( x ? 1) ? f (2 ? x) , 求 x 的取值范围

三、利用函数单调性,求参数 取值范围。
? 一次函数型: ? 例1:已知函数 y ? (?k ? 1) x ? 3 在R上是增函 数,求K的取值范围

? 二次函数型: ? 例2:(1)f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1在?? ?,4? 上单调 递减,求a的取值范围。 2 f ( x ) ? x ? 2ax ? 2在?- 5,5? 上是单调 ? (2) 函数,求a的取值范围。

? 反比例函数型
ax ? 1 在?- ?, - 1? 上为减函数,求a的取值范 ? 例3: f ( x) ? x ?1 围。

? 分段函数型
?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 f ( x) ? ? ? 例4: 在定义在R上的减函数,求 ?? ax, x ? 1

a的取值范围。

? x 2 ? 1, x ? 1 f ( x) ? ? ? 例5: 在定义在R上的增函数 ,求a ax ? 1 , x ? 1 ? 的取值范围。

? 练习: 2 ? 1、f ( x) ? ? x ? m 在 x ? ?m,??? 为单调减函数,则m 的取值范围。
2 f ( x ) ? x ? 2ax ? 2在?m, m ? 3? 上单调,求m的取值 2、

范围。

ax ? 1 在?0, ? ? ? 上为单调增函数,求a的取值 3、 f ( x) ? x?2
范围。
2 f ( x ) ? ax ? 2x ? 3在?? ?,4?上单调递增, 4、如果函数

则实数a的取 值范围。

? 5、若函数

? a 2 ? a x ? 1, x ? 0 f ( x) ? ? ?(a ? 3) x ? 4a, x ? 0

?

?



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立, 对 任意x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 , 都有 x1 ? x2 求a的取值范围。

a 在?1,5?上都是减函数 6、若函数 f ( x) ? ? x ? 2ax与g ( x) ? x?2
2

求实数a的取值范围。


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