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2015全国卷2数学试卷及答案(文科)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国卷Ⅱ) 绝密★启封并使用完毕前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国卷Ⅱ)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 6 页。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 6

0 分 1.已知集合 A ? ? x | ?1 ? x ? 2? , B ? ? x | 0 ? x ? 3? ,则 A A. ? ?1,3? B. ? ?1, 0 ? C. ? 0, 2 ? D. ? 2,3?

B?

2.若为 a 实数,且

A. ?4 B. ?3 3.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的 是

2 ? ai ? 3 ? i ,则 a ? 1? i C. 3 D. 4

A.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4.已知 a ? ? 0, ?1? , b ? ? ?1, 2 ? ,则 (2a ? b) a ? A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2

5.设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 ? A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比 值为

A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

7.已知三点 A(1, 0), B (0, 3), C (2, 3) ,则 ?ABC 外接圆的圆心到原点的距离为

A.

5 3

B.

21 3

C.

2 5 3

D.

4 3
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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国卷Ⅱ) 8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术” ,执行该程序框图, 若输入的 a, b 分别为 14,18,则输出的 a 为( )

D.14 1 9.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? , a3 a5 ? 4 ? a4 ? 1? ,则 a2 ? 4 1 1 A.2 B.1 C. D. 2 8
10.已知 A, B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90? , C 为该球面上的动点。若三棱锥 O ? ABC 体积的最大 值为 36,则球 O 的表面积为 A、 36? B、 64? C、 144? D、 256? 11.如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,∠BOP=x。将 动点 P 到 AB 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x) ,则 f(x)的图像大致为

A.0

B.2

C.4

12.设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ? A. ? ,1?

1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围是 1 ? x2
C. ? ? , ?

?1 ? ?3 ?

B. ? ??, ?

? ?

1? 3?

?1, ?? ?

? 1 1? ? 3 3?

D. ? ??, ? ?

? ?

1? ?1 ? ? , ?? ? 3? ?3 ?

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.已知函数 f ? x ? ? ax ? 2 x 的图像过点(-1,4),则 a=
3



? x ? y ?5 ? 0 ? 14.若 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=2x+y 的最大值为 ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?
15.已知双曲线过点 4, 3 ,且渐近线方程为 y ? ?



?

?

1 x ,则该双曲线的标准方程为 2
2

. .

16.已知曲线 y ? x ? ln x 在点 ?1,1? 处的切线与曲线 y ? ax ? ? a ? 2 ? x ? 1 相切,则 a=

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国卷Ⅱ) 三、解答题 17(本小题满分 12 分)△ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分 ? PAC,BD=2DC. (I)求

sin ?B ; (II)若 ?BAC ? 60 ,求 ?B . sin ?C

18. (本小题满分 12 分)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A ,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率 分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表.

(I)在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值 及分散程度,(不要求计算出具体值,给出结论即可)

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(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.

19. (本小题满分 12 分)如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 AB=16,BC=10, AA1 ? 8 ,点 E,F 分别在

A1 B1 , D1C1 上, A1 E ? D1 F ? 4. 过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由) ; (II)求平面 ? 把该长方体分成的两部分体积的比值.

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x2 y 2 2 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,点 2, 2 在 C 上. a b 2
(I)求 C 的方程; (II)直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明:直线 OM 的斜 率与直线 l 的斜率乘积为定值.

?

?

21. (本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? ln x ? a ?1 ? x ? . (I)讨论 f ? x ? 的单调性; (II)当 f ? x ? 有最大值,且最大值为 2a ? 2 时,求 a 的取值范围.

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国卷Ⅱ) 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点. (I)证明 EF

BC ;

(II)若 AG 等于圆 O 半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EDCF 的面积.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , (t 为参数,且 t ? 0 ),其中 0 ? ? ? ? ,在以 O 为极点,x 轴正半 ? y ? t sin ? ,

轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos ? . (I)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (II)若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 最大值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式证明选讲 设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d .证明: (I)若 ab ? cd ,则 a ? b ? (II) a ? b ?

c? d;

c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.

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