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高一数学直线与平面垂直的判定与性质


王新敞
奎屯

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复习引入: 1.直线和平面的位置关系是什么? (1)直线在平面内(无数个公共点); (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点); (3)直线和平面平行(没有

公共点) 2.线面平行的判定定理的内容是什么? 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一 条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. 3.线面平行的性质定理的内容是什么? 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的 平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.
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实例研探,定义新知 探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面 垂直时,此直线与平面内的所有直线的关系又怎 样呢? 生活中线面垂直的实例:
A

在阳光下观察直立于地面的 旗杆及它在地面的影子,随 着时间的变化,尽管影子的 位置在移动,但是旗杆所在 的直线始终与影子所在的直 线垂直(如图),事实上, 旗杆AB所在直线与地面内 任意一条不过点B的直线也 α 是垂直的。

C C1

B
B1

直线与平面垂直的定义: 如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线 都垂直,我们就说直线l 和平面α互相垂直. 记作:l ⊥α l 叫做α 的垂线, α 叫做l 的垂面, l 与α 的唯一公共点P叫做垂足。 画直线与平面平行时,通 常把直线画成与表示平面 的平行四边形的一边垂直。
l P

α

问题探讨:

(1)“任何”表示所有(提问:若直线与平面内 的无数条直线垂直,则直线垂直与平面吗?如不 是,直线与平面的位置关系如何?) (2)a⊥α等价于对任意的直线m?α,都有a⊥m.

利用定义,我们得到了判定线面垂直的最 基本方法,同时也得到了线面垂直的最基 本的性质: 线线垂直 线面垂直

探究一
提出问题:有没有比较方便可行的方法来判断直 线和平面垂直呢? 师生活动:请同学们准备一 块三角形的纸片,我们一起 来做如图所示的试验:过 △ABC的顶点A翻折纸片, A 得到折痕AD,将翻折后的 A 纸片竖起放置在桌面上 (BD、DC与桌面接触), B ? D 问:折痕AD与桌面垂直吗? 如何翻折才能保证折痕 C B D AD C 与桌面所在平面垂直?

直线与平面垂直的判定定理:
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直,则这条直线垂直于这个平面.

m ?? ? ? n ?? ? ? m?n ? P ??l ?? α ? l ? m ? l ?n ? 线线垂直 ?

l m

P

n

线面垂直

问题探讨: (1)去掉“相交”两个字,定理是否 还成立? (2)过空间一点和已知平面垂直的直 线有且只有一条。 (3)过空间一点和一条直线垂直的平 面有且只有一个。 (4)如果两条平行线中的一条和一个 平面垂直,那么另一条直线也和这个平 面垂直。

如图,已知a∥b,a⊥α 。 求证:b⊥α 。 分析:要证b与α 垂直,根据线面垂直 ? 的判定定理,只需证明α 内的两条相交 直线都垂直就可以了。 在平面内作两条相交直线m、n,由 直线与平面垂直的定义可知,直线a与 这两条相交直线是垂直的,又由b平行a, 可证b与这两条相交直线也垂直,从而 可证直线与平面垂直。

a

b

阅读P66页的证明过程.

证明:同垂直于一个平面的两条直线互相平行(线面 垂直的性质定理) b a? a 已知:a⊥ , b ⊥ 求证:a//b.

?

?

,

α

A

证明:假设a // \ b 因为a ⊥ α,则设a ? α=A,过 点A a?//b,因为b 作 ⊥ α,所以,a?⊥α,又a⊥α,这就 是说过一点A,有两条直线与α垂直,这与过一点有 且只有一条直线与已知平面垂直矛盾,所以a// b.

概念辨析:若将定理中的“一个平面”改为“一条 直线”结果将会是怎样的? “即垂直于同一条直线的两直线互相平行”这是 一个假命题!事实上,如果直线a,b都垂直于同 一条直线l,那么直线a,b的位置关系有三种情况: b l l

l

a

b

a b

a

相交 异面 平行 命题:如果一条直线和一个平面垂直,过垂足且 和垂线垂直的直线在平面内。

应用举例 例1、一旗杆高8m,在它的顶点处系两条长10m的 绳子,拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的 两点(与旗杆脚不在同一条直线上)。如果这两 点与旗杆脚距6m,那么旗杆就与地面垂直,为什 么? 解:如图,旗杆PO=8,两绳子长PA= PB=10,OA=OB=6,A,O,B三点不 共线 因此A,O,B三点确定平面α , 因为PO2+AO2=PA2,PO2+BO2=PB2, 所以 PO⊥OA,PO⊥OB 又OA∩OB=O 所以OP⊥α ,因此旗杆与地面垂直。

a ? b, b ? ? , a ? ? .

例2 如图,已知 a ? b, b ? ? , a ? ? . a // ? . 求证:
β

b
l

A

a

α

B

巩固练习
2.过?ABC所在平面?外一点P, 作PO ? ? , 垂足 为O, 连接PA, PB, PC. 1).若PA ? PB ? PC, ?C ? 900 , 则O是AB边的中 __ 点. 外 2).若PA ? PB ? PC, 则O是?ABC的 _____ 心. 3).若PA ? PB, PB ? PC, PC ? PA, 则O是?ABC V 垂 心. 的 _____ V
C 2) 3)图 H A B A

H
C

B 1)图

归纳小结

今天这节课,我们学习了直线和平面垂直的定义, 这个定义最初用在判定定理的证明上,但用得较 多的则是,如果直线l垂直于平面?,那么l就垂 直于?内的任何一条直线;对于判定定理,判定 线、面垂直,实质是转化成线、线垂直,从中不 难发现立体几何问题解决的一般思路
王新敞
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作业布置: 层次一: P51练习A: 1、2、3、4、5、6、, 练习B: 1、2、3; 层次二: A案

附:

l

P

α

注:画直线与水平平面垂直时,要把直线画 成和表 示平面的平行四边形横边垂直。
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二、直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直,那 么这条直线垂直于这个平面。

三、线面垂直判定定理的证明
已知:m ? α,n ? α,m ∩ n = B,l ⊥ m, l ⊥ n。 求证: l ⊥α。

l

B m n

α

l

l

B m n

α

l

B m n

α

l

B m n g

α

l

B m g n

g

α

l

A

AB=A’B
B m g n

α
A’

l

A

AB=A’B
B m g n

α
A’

l

A

AB=A’B
B m g n

α
A’

l

A

B m g n

α
A’

l

A

B m g n D

α

C

E

A’

l

A

B m g n D

α

C

E

A’

l

A

l ⊥m
B m g n D

α

C

E

A’

l

A

l ⊥m
B m

α

C

A’

l⊥ ?m

l

A

AC=A’C
B m

α

C

A’

l

A

AD=A’D
B m g n D

α

C

E

A’

l

A

B m g n D

α

C

E

CD=CD
A’

l

A

△ACD≌△A’CD
B m g n D

α

C

E

A’

l

A

∠ACE=∠A’CE
m g

B n D

α

C

E

A’

l

AC=A’C CE=CE

A

B m g n D

α

C

E

A’

l

A

B m g n D

α

C

E

△ACE≌△A’CE

A’

l

A

AE=A’E

B m g n D

α

C

E

A’

l

A

AE=A’E AB=A’B
B

m

g

n D

α

C

E

A’

l

A

AE=A’E AB=A’B
B

g

α

E

A’

l

A

AE=A’E AB=A ? ’B
B

l ⊥g

E

g

α
A’

直线和平面垂直的判定定理

如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直,那 么这条直线垂直于这个平面。
注:m ? α n?α m∩n=B l⊥m l⊥n

?

l ⊥α

小结
这个定理还说明这样一个事实,的确 存在着和一个平面内一切直线都垂直的直 线,从而得证了直线和平面垂直的合理性。 这个定理不仅提供了判定直线和平面 垂值得一种方法,而且还是证明直线和直 线互相垂直的一种常用的方法,即要想证 明a⊥b,只需证a与b所在平面内的两条相 交直线垂直(或证b与a所在平面内的两条 相交直线垂直)。

思考2:设a,b为直线,α 为平面, 若a⊥α ,b//α ,则a与b的位置关 系如何?为什么?
b
l

a

α

思考3:设l为直线,α ,β 为平面, 若l⊥α ,α //β ,则l与β 的位置关 系如何?为什么?
l
b α β a

思考4:设l为直线,α 、β 为平面, 若l⊥α ,l⊥β ,则平面α 、β 的位 置关系如何?为什么?

l α

β

理论迁移

例1 如图,已知 ? ? ? l , CA ? ? , a ? ? , a ? AB, 于点A,CB ? ? 于点B, 求证:a // l .
β B α l A a

C

例3 如图,已知 PA ? 矩形ABCD所 在平面,M、N分别是AB、PC的中点 求证: (1) MN ? CD; (2)若 ?PDA ? 45,求证:MN ? 面PCD
P E N A M B D

PA ?

C


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