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高二级数学理科试卷(选修2-2综合)[1]


高中数学选修 2-2 综合卷 一、选择题 1.“凡自然数是整数, 4 是自然数,所以 4 是整数.”以上三段推理( ) A.完全正确 B.推理形式不正确 C.不正确,因为两个“自然数”概念不一致 D.不正确,因为两个“整数”概念不一致 2 . 如 图 是 导 函 数 y ? f ( x ) 的 图 象 , 那 么 函 数 y ? f ( x) 在 下 面 哪 个 区 间 是 减 函 数
/

A. ( x1 , x3 ) 3.设 a, b, c, d ? R ,若

B. ( x2 , x4 )

( ) C. ( x4 , x6 )

D. ( x5 , x6 )

a ? bi 为实数,则( ) c ? di A. bc ? ad ? 0 B. bc ? ad ? 0 C. bc ? ad ? 0 D. bc ? ad ? 0 ??? ??? ? ? ??? ? 4. O 是原点, 设 向量 OA, OB 对应的复数分别为 2 ? 3i, ?3 ? 2i, 那么向量 BA 对应的复数是( ) A. ?5 ? 5i B. ?5 ? 5i C. 5 ? 5i D. 5 ? 5i 2 5.质量为 5 千克的物体按规律 S ? 2t ? 3t 作直线运动,其中 S 以厘米为单位,t 以秒为单位,
则物体受到的作用力为( ) D. 6 牛 ) A. 30 牛 B. 6 ?10?5 牛 C. 0.3 牛 6. 函数 f ( x) 的图象如图所示,下列数值排序正确的是(

A. 0 ? f (2) ? f (3) ? f (3) ? f (2)
/ /

B. 0 ? f (3) ? f (3) ? f (2) ? f (2)
/ /

C. 0 ? f (3) ? f (2) ? f (3) ? f (2)
/ /

D. 0 ? f (3) ? f (2) ? f (2) ? f (3)
/ /

? e dx 与 ? e dx 相比有关系式( A. ? e dx ? ? e dx B. ? e dx ? ? e
7.
x

1

1

x2

)
x2

0

0

1

x

1

x2

1

x

1

0

0

0

0

dx C. (? e x dx)2 ? ? e x dx
2

1

1

0

0

D. ( e dx) x ?
x 0

?

1

?

1

0

e x dx

2

8.函数 f ( x) ? cos x ? sin x ? cos x, 在 [0, 2? ) 上是的最大值为(
3 2

)

A.

4 27

B.

8 27

C.

9.设 ? ,? ? ? 均不等于 k? ?

?
2

16 27

D.

32 27

, k ? Z ,则 3sin ? ? sin(2? ? ? ) 是 tan(? ? ? ) ? 2 tan ? 的 )
/ /

A.充要条件 B.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D.既不充分又不必要条件 10.设 f ( x) 、 g ( x) 是定义域为 R 的恒大于零的可导函数,且 f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x) ? 0 ,则 当 a ? x ? b 时有( ) A. f ( x) g ( x) ? f (b) g (b) C. f ( x) g (b) ? f (b) g ( x) 二、填空题 11.设 x ? R ,且 x ? 0, 若 x ? x
?1

B. f ( x) g (a) ? f (a) g ( x) D. f ( x) g ( x) ? f (a) g (a)
n n

? 3, 猜想 x 2 ? x ?2 (n ? N * ) 的个位数字是________ 12.函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? a, x ? b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f ( x) 在 [a , b] ? 2 上 的 面 积 , 已 知 函 数 y ? sin nx 在 [0 , ] 上 的 面 积 为 (n ? N * ) , 则 函 数 y ? sin 3x 在 n n 2? [0 , ] 上的面积为_____________ 3 3 13.有一质量非均匀分布的细棒,已知其线密度为 ? ( x) ? x (取细棒所在的直线为 x 轴,细棒
的一端为原点),棒长为 1,试用定积分表示细棒的质量 M = ... 14.函数 y ? x ? ax ? bx ? c 有与 y 轴垂直的切线,则 a, b 满足的关系式是
3 2

3?i ,其中 z 是 z 的共轭复数,求复数 z . 2?i 3 2 16.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,当 x ? ?1 时, f ( x) 的极大值为 7;当 x ? 3 时, f ( x) 有极小值.求(1) a, b, c 的值;(2)函数 f ( x) 的极小值. 2 17.求由 y ? 4 x 与直线 y ? 2 x ? 4 所围成图形的面积. 2 3 18.某厂生产某种产品 x 件的总成本 c( x) ? 1200 ? x (万元),已知产品单价的平方与产品 75
三、解答题 15.已知 | z | ?( z ? z )i ?
2

件数 x 成反比,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,产量定为多少时总利润最大? 19. 已知 a ? 0 , 函数 f ( x) ?

1 ? ax 2 记曲线在 x ? x1 处的切线为 l . , x ? (0, ??) .设 0 ? x1 ? , x a (1)求 l 的方程;(2)设 l 与 x 轴交点为 ( x2 , 0) . 1 1 1 证明:① 0 ? x2 ? ;②若 x1 ? ,则 x1 ? x2 ? . a a a 20.已知数列 { xn } 满足下列条件: x1 ? a, x2 ? b, xn ?1 ? (? ? 1) xn ? ? xn ?1 ? 0
(n ? N ? , n ? 2) ,其中 a, b 为常数,且 a ? b , ? 为非零常数. (1)当 ? ? 0 时,用数学归纳法证明:对 n ? 1,总有 xn ?1 ? xn ; .....
(2)猜想 xn 的表达式,并用数学归纳法证明. .....

(选修 2-2)综合卷参考答案
一、选择题(每小题 3 分,满分 30 分) 题号 1 2 3 4 答案 A B C D 5 C 6 B 7 B 8 D 9 A 10 C

二、填空题(每小题 4 分,满分 16 分) 11、7 12、

4 3

13、

? x dx
3 0
2

1

14、 a ? 3b
2

三、解答题(6 小题,满分 54 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15、解:由已知得

| z |2 ?( z ? z )i ? 1 ? i
2

设 z ? x ? yi,( x, y ? R) ,代入上式得 x ? y ? 2 xi ? 1 ? i

1 ? ?x ? ? 2 ?x ? y ? 1 ? ?? ,解得 ? ? 2 x ? ?1 ?y ? ? 3 ? ? 2
2 2

故复数 z 为 ?

1 3 ? i 2 2



? f / (?1) ? 0 ?3 ? 2a ? b ? 0 ?a ? ?3 ? / ? ? / 2 16、解:(1)由已知得 f ( x) ? 3x ? 2ax ? b ? ? f (3) ? 0 ? ?27 ? 6a ? b ? 0 ? ?b ? ?9 ? f (?1) ? 7 ??1 ? a ? b ? c ? 7 ?c ? 2 ? ? ? / (2)由(1), f ( x) ? 3( x ? 1)( x ? 3)
当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 3 时, f ( x) ? 0
/

/

故 x ? 3 时, f ( x) 取得极小值,极小值为 f (3) ? ?25 17、解:由 ?

? y2 ? 4x ? y ? 2x ? 4

得交点坐标为 (1, ?2),(4, 4) ,如图

(或答横坐标) 方法一:阴影部分的面积

y
B ( 4,4 ) C(2,0 )

S ? 2? 2 xdx ? ? [2 x ? (2 x ? 4)]dx
0

1

4

4 3 4 4 ? 2( x 2 ) |1 ?( x ? x 2 ? 4 x) |1 0 3 3 ?9
方法二:阴影部分的面积 S ?

1 3 2

0
2

y?4 y ? )dy 2 4 1 1 ? ( y 2 ? 2 y ? y 3 ) |42 = 9 ? 4 12

?

4

A(1, ?2)

x

?2

(

方法三:直线与 x 轴交点为(2,0)所以阴影部分的面积

S ? ? 2 xdx ? ? (2 x ? 4)dx ? ? (?2 x )dx ? ? (2 x ? 4)dx
0 2 0 1

4

4

1

2

4 4 4 2 ? ( x ) |0 ?( x 2 ? 4 x) |4 ?( x ) |1 ?( x 2 ? 4 x) |1 = 9 2 0 3 3 k 18、解:设单价为 a , 总利润为 y , 由已知得 a 2 ? , x 500 把 x = 100, a = 50 代入前式得 k = 250000,即 a ? x 500 x 2 所以 y ? ax ? c( x) ? ? 1200 ? x3 75 x 250 2 2 / 令y ? ? x ? 0 ,得 x = 25 x 25 易知 x = 25 是极大值点,也是最大值点。
答:产量定为 25 件时总利润最大。 19、(1)求 f ( x) 的导数为: f ( x) ? ?
/

3 2

3 2

1 ? ax1 1 ? ? 2 ( x ? x1 ) x1 x1 (2)在 l 的方程中令 y ? 0 ,得 x2 ? x1 (1 ? ax1 ) ? x1 ? x1 (2 ? ax1 ) 2 ①? 0 ? x1 ? , a ? 0 ? 0 ? ax1 ? 2 , a 1 1 1 故 x2 ? 0 ? x2 ? x1 (2 ? ax1 ) ? ?a( x1 ? )2 ? ,? x2 ? 。 a a a 1 1 当且仅当 x1 ? 时, x2 ? a a 1 故 0 ? x2 ? (或用比较法) a 1 1 ②? 0 ? x1 ? , a ? 0 ? ax1 ? 1 ? x2 ? x1 (1 ? ax1 ) ? x1 且由① x2 ? a a 1 故 x1 ? x2 ? a
由此得 l 的方程为: y ? 20(1)证明: ①当 n ? 1时,由 b ? a 可知 x2 ? x1 ,不等式成立。 ②假设 n ? k (k ? N ) 时,不等式成立,即 xk ?1 ? xk ,则 xk ?1 ? xk ? 0 ,又因为 ? ? 0 ,故
*

1 x2

? ( xk ?1 ? xk ) ? 0 于是 xk ? 2 ? (? ? 1) xk ?1 ? ? xk ? ? ( xk ?1 ? xk ) ? xk ?1 ? xk ?1 ,即 x( k ?1)?1 ? xk ?1 所以,当 n ? k ? 1时,不等式也成立。 根据①②,当 ? ? 0 时,对 n ? 1 ,总有 xn ?1 ? xn 成立。

(2)由 xn ?1 ? (? ? 1) xn ? ? xn ?1 ? 0, x1 ? a, x2 ? b, 得 x3 ? (? ? 1) x2 ? ? x1 ? (? ? 1)b ? ? a ? b ? (b ? a)? ,

x4 ? (? ? 1) x3 ? ? x2 ? (? ? 1)[b ? (b ? a)? ] ? ?b ? b ? (b ? a)(? ? ? 2 ), x5 ? (? ? 1) x4 ? ? x3 ? b ? (b ? a)(? ? ? 2 ? ? 3 ), b?a 猜想: xn ? b ? (b ? a)(? ? ? 2 ? ... ? ? n ?2 ) ? b ? (? ? ? n?1 ) 。 1? ?
下面用数学归纳法证明猜想的正确。

b?a (? ? 1) ? a ? x1 , 1? ? b?a 当 n ? 2 时, b ? (? ? ? ) ? b ? x2 ,猜想正确。 1? ? * ②假设 n ? k (k ? N 且 k ? 2) 时,猜想正确。 b?a b?a 即 xk ? b ? (? ? ? k ?1 ), xk ?1 ? b ? (? ? ? k ? 2 ) 1? ? 1? ? xk ?1 ? (? ? 1) xk ? ? xk ?1
①当 n ? 1时, b ?



b?a b?a (? ? ? k ?1 )] ? ?[b ? (? ? ? k ? 2 )] 1? ? 1? ? b?a b?a =b ? (? ? ? k )=b ? (? ? ? ( k ?1) ?1 ) 1? ? 1? ? 所以,当 n ? k ? 1时,猜想也成立。 b?a * 根据①②,对 n ? N , xn ? b ? (? ? ? n?1 ) 都成立。 1? ? =(? ? 1)[b ?


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