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2012-2013海淀区高三上学期期末练习


北京市海淀区高三上学期期末练习 数 学 (理科) 2013.1

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项.
1.

复数

2 化简的结果为 1? i
B. ?1 ? i C. 1 ? i D. ?1 ? i

A. 1 ? i 2.已知直线 l : ?

? x ? 2 ? t, ? x ? 2cos? ? 1, ( t 为参数)与圆 C : ? ( ? 为参数) ,则直线 l 的倾斜 ? y ? ?2 ? t ? y ? 2sin ?

角及圆心 C 的直角坐标分别是 A. ,(1,0)

3.向量 a ? (3,4), b ? ( x,2) , 若 a ? b ?| a | ,则实数 x 的值为 A. ?1 B. ?

π 4

B. ,( ?1,0)

π 4

C.

3π ,(1,0) 4
1 3

D.

3π ,( ?1,0) 4

1 2

C. ?

D. 1

开始 输入 p

4.某程序的框图如图所示, 执行该程序,若输入的 p 为 24 ,则输出 的 n , S 的值分别为 A. n ? 4, S ? 30 C. n ? 4, S ? 45 B. n ? 5, S ? 30 D. n ? 5, S ? 45
C

n ? 1,S ? 0
S?p
是 否

S = S + 3n n ? n ?1

输出 n ,S 结束

5.如图, PC 与圆 O 相切于点 C ,直线 PO 交圆 O 于 A, B 两点, 弦 CD 垂直 AB 于 E . 则下面结论中,错误的结论是 .. A. ?BEC ∽ ?DEA C. DE 2 ? OE ? EP B. ?ACE ? ?ACP D. PC 2 ? PA ? AB

B

O

E D

A

P

* 6.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? r ? an ? r( n ? N , r ? R 且 r ? 0 ) 则 r ? 1 ” “数列 ?an ? , “ 是

成等差数列”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 用数字 0,1, 2,3 组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数 的个数为 A. 144 B. 120 C. 108 D. 72

高三数学(理科)试题第 1 页(共 4 页)

8. 椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的 a 2 b2

点 P ,使得 ?F1 F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 A. ( , )

1 2 3 3

B. ( ,1)

1 2

C. ( ,1)

2 3

D. ( , ) ? ( ,1)

1 1 3 2

1 2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 以 y ? ? x 为渐近线且经过点 (2, 0) 的双曲线方程为______. 10.数列 {an } 满足 a1 ? 2, 且对任意的 m, n ? N* , 都有 和 Sn ? _____. 11. 在 ( ? 3x 2 )6 的展开式中,常数项为______.(用数字作答) 12. 三棱锥 D ? ABC 及其三视图中的主视图和左视图如图 所示,则棱 BD 的长为_________.
D

an ? m ? an , a3 ? _____; {an } 的前 n 项 则 am

1 x

4

? x ? 0, ? 13. 点 P ( x, y ) 在不等式组 ? x ? y ? 3, 表示的平面区域内, ? y ? x ?1 ?
若点 P ( x, y ) 到直线 y ? kx ? 1 的最大距离为 2 2 ,则 k ? ___.

A

C
2 主视图 2

2 3 左视图

B

14. 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1 ,动点 P 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 表面上运
1 动,且 PA ? r ( 0 ? r ? 3 ) ,记点 P 的轨迹的长度为 f (r ) ,则 f ( ) ? ______________;关 2 于 r 的方程 f ( r ) ? k 的解的个数可以为________.(填上所有可能的值).

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明 过程.
15. (本小题满分 13 分)

x x x 1 已知函数 f ( x) ? 3sin cos ? cos 2 ? , ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边分别 2 2 2 2
为 a , b, c . (I)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 f ( B ? C ) ? 1, a ? 3, b ? 1 ,求角 C 的大小.

高三数学(理科)试题第 2 页(共 4 页)

16.(本小题满分 13 分) 汽车租赁公司为了调查 A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各 100 辆汽 车,分别统计了每辆车某个星期内的出租天数,统计数据如下表: A 型车 出租天数 车辆数 出租天数 车辆数 1 5 1 14 2 10 2 20 3 30 3 20 B 型车 4 16 5 15 6 10 7 5 4 35 5 15 6 3 7 2

(I)从出租天数为 3 天的汽车(仅限 A,B 两种车型)中随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好 是 A 型车的概率; (Ⅱ)根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数 恰好为 4 天的概率; (Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要从 A,B 两种车型中购买 一辆,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.

17. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90? ,
B1 A1 C1

AB ? AC ? AA1 ? 2, E 是 BC 中点.
(I)求证: A1B / / 平面 AEC1 ; (II)若棱 AA1 上存在一点 M ,满足 B1M ? C1E ,求 AM 的长; (Ⅲ)求平面 AEC1 与平面 ABB1 A1 所成锐二面角的余弦值.
B A E C

18. (本小题满分 13 分)

e ax . x ?1 (I) 当 a ? 1 时,求曲线 f ( x ) 在 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间.
已知函数 f ( x ) ?

高三数学(理科)试题第 3 页(共 4 页)

19. (本小题满分 14 分) 已知 E ? 2,2 ? 是抛物线 C : y 2 ? 2 px 上一点,经过点 (2,0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点(不同于点 E ) ,直线 EA, EB 分别交直线 x ? ?2 于点 M , N . (Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标; (Ⅱ)已知 O 为原点,求证: ?MON 为定值.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,若 y ? “一阶比增函数” ;若 y ?

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为 x

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“二阶比增函数”. x2

我们把所有 “一阶比增函数” 组成的集合记为 ?1 , “二阶比增函数” 所有 组成的集合记为 ? 2 . (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x ? 2hx ? hx ,若 f ( x) ??1 , 且 f ( x) ??2 ,求实数 h 的取值范围;
3 2

(Ⅱ)已知 0 ? a ? b ? c , f ( x) ??1 且 f ( x ) 的部分函数值由下表给出,

x
f ( x)
求证: d (2d ? t ? 4) ? 0 ;

a
d

b
d

c

a?b?c
4

t

(Ⅲ)定义集合 ? ? f ( x) | f ( x) ??2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x) ? k ,

?

?

请问: 是否存在常数 M , 使得 ?f ( x) ? ? ,?x ? (0, ??) , f ( x ) ? M 成立? 有 若存在,求出 M 的最小值;若不存在,说明理由.

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