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《抛物线及其标准方程》参考课件2


2.3.1 抛物线及其标准方程

1.问题情景:

?

某抛物线形拱桥跨度是20米,拱高4米,在建 桥时每隔4米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱 长.

2.学生活动:
? 如何定义抛物线? ? 回忆前面我们如何求椭圆双曲
线的标准方程的

? 探讨:建立

平面直角坐标系的方案 l H
P

想 一 想 ?

· · F

3.数学建构
1)抛物线标准方程的推导
解:过F做直线FN ? l ,

l
H

y
P

垂足为N 以直线NF为x轴,线段NF的垂直平分线为y轴 N o 建立直角坐标系xOy,如右图.
又设P(x,y),作PH ? l ,垂足为H, 则由定义可知,PF=PH,得

· · F

p 设焦点F 到准线 l 的距离为p,则F ( ,0) 2

x

p ? (x? ) y 2

2

2

? x?

p 2

将上述两边平方并化简得

y ? 2 px( p ? 0)
2

2) 抛物线的标准方程
对称轴 为 x轴 顶 点 在 原 点 对称轴 为y轴 标准方程为 开口与x轴同向:

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)

y 2 ? ?2 px

开口与x轴反向: y 2 ? ?2 px

标准方程为

开口与y轴同向:

x ? ?2 py ( p ? 0)
2

x ? ?2 py
2

开口与y轴反向:

x 2 ? ?2 py

总体印象:简洁、对称

3)完成下列图表
图形 焦 点 准 线 标准方程

y

o
? ?

?

x

y

o x
y x
)

o
?

o

y

x

)

4.数学应用
2 y ? 4 x 的焦点坐标和准线方程 例1. (1)求抛物线

1 2 (2)求抛物线 y ? ? x 的焦点坐标和准线方程 2 解: (1)由题意2p=4,p=2,
则此抛物线的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1 1 (2) y ? ? x 2 可化为 x 2 ? ?2 y, 则2p=-2, p=-1, 2 则此抛物线的焦点坐标为(1,0)准线方程为x=-1

点 拨 先 定 位 , 后 定 量

2 x ? ay 变题1:求抛物线 的焦点坐标和准线方程

y2 ?
2p ?

1 x, a
1 a

提示:分类讨论 a ? 0时;a ? 0时

变题2:根据下列条件求抛物线的标准方程.
(1)焦点为(-2,0)

y ? ?8 x
2

(2)焦点到准线的距离为4

y

2

? 8x 或

x2 ? 8 y 或

y 2 ? ?8 x 2 x ? ?8 y

(3)过点A(-3,2)的抛物线的标准方程

解(3) : 设所求的抛物线方程为
2

y 2 ? ?2 px 或

x ? 2 py( p ? 0), 由过点(-3,2)知 4 ? ?2 p ? (?3) 或 9 ? 2 p ? 2,
2 9 p ? p ? 故所求的抛物线的方程为 得 或 4, 3 2 4 9 或 2 ? ? x x ? y y
2
3

变题2:根据下列条件求抛物线的标准方程.
(1)焦点为(-2,0) (2)焦点到准线的距离为4 (3)过点A(-3,2)的抛物线的标准方程

(4)焦点在直线x+3y+15=0上
解:(4)抛物线的焦点可能在x轴也可能在y轴上 当抛物线的焦点在x轴上时,又焦点也在直线 p ? ?15,? p ? ?30 焦点坐标为 (?15,0) 即 2 所求抛物线的方程为 y 2 ? ?60x

x ? 3 y ? 15 ? 0时

当抛物线的焦点在y轴上时,同理可得抛物线的方程为

x 2 ? ?20y

变题3: 设抛物线

y ? mx 的准线与直线x=1的距离为3,
2

p m ? 解:当m ? 0 时,由2p=m,得 2 4 m 这时抛物线的标准方程是 x ? ? m ?1 ? ( ? ) ? 3 解得 m ? 8 4 2 y ? 8x 这时抛物线的方程是

求抛物线方程

?抛物线的准线与直线

x ? 1 的距离为3

4

m ? 0 时,抛物线的方程是 y ? ?16x 点拨:求抛物线的标准方程关键是知道标准方 程的类型和p的值
2

例2:某抛物线形拱桥跨度是20米,拱高4米,在建桥时每隔 4米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱长.

A

C

D

E

F

解:以拱顶为原点,

D'
C
'

y
o

E

'

水平线为x轴,建立 平面直角坐标系 如图所示: A 由题意,得

F
F

'

x

C

D

M E

B

AB ? 20, OM ? 4, 点A,B的坐标分别 为(?10 , ? 4), (10 , 4).
设抛物线的方程为 将点A的坐标代入,得

x ? ?2 py( p ? 0),
2
2

100 ? ?2 p(?4), 解得p ? 12.5,

?抛物线的方程为 x ? ?25y(1)

C,D,E,F是线段AB的五等分点,E点坐标应为(2,-4),

E 点的横坐标也是2,代入(1)得y=-0.16 所以 EE' ? (?0.16) ? (?4) ? 3.84.

'

因此最长的长柱长应为3.84米 点拨:本题属于应用性问题,解决应用性问题的关键 是建立符合题意的数学模型,该题的数学模型较为明显, 就是建立平面直角坐标系,设出抛物线方程的类型, 求出抛物线的方程,从而得到支柱的长

5.课堂练习
1)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程

(1) y 2 ? 20x
(3)2 y 2 ? 5x ? 0
(4) x 2 ? 8 y ? 0
2)根据下列条件,写出抛物线的标准方程 (1) 焦点F(3,0) (2) 准线方程是x=-0.25 (3) 焦点到准线的距离为2

( 2) x

2

1 ? y 2

探究与拓展:已知点M与点F(4,0)的距离比直线 l : x ? 5 ? 0
的距离小1,求点M的轨迹方程

6.回顾小结: 1).抛物线定义,标准方程和它的焦点,准线方程 2).抛物线定义,标准方程类型与图象的对应关系 3).注重数形结合的思想
7.布置作业: 课本P59 1 2 4


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