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学案39 双曲线


学案 39 双曲线 导学目标: 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质.2. 理解数形结合的思想.

自主梳理 1.双曲线的概念 平面内动点 P 与两个定点 F1、F2(|F1F2|=2c>0)的距离之差的绝对值为常数 2a(2a<2c), 则点 P 的轨迹叫________.这两个定点叫双曲线的________,两焦点间

的距离叫________. 集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a、c 为常数且 a>0,c>0; (1)当________时,P 点的轨迹是________; (2)当________时,P 点的轨迹是________; (3)当________时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 x2 y2 y2 x2 标准方程 - =1(a>0,b>0) 2- 2=1(a>0,b>0) a b a2 b2

图形

x≥a 或 x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a 或 y≥a 对称轴:坐标轴 对称轴:坐标轴 对称性 对称中心:原点 对称中心:原点 顶点坐标: 顶点坐标: 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) b a 性质 渐近线 y=± x y=± x a b c 离心率 e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 a 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫 实虚轴 做双曲线的虚轴, 它的长|B1B2|=2b; a 叫做双曲线的实半轴长, b 叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系 c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0) 3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________,其渐近线方程为________,离心 率为________. 自我检测 x2 y2 1. .[2014· 重庆卷] 设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲 a b 线上存在一点 P 使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 15 C.4 D. 17 x2 y2 x2 y2 2. [2014· 广东卷] 若实数 k 满足 0<k<5, 则曲线 - =1 与曲线 - =1 的( ) 16 5-k 16-k 5 A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等

范围

x2 y2 3.[2014· 江西卷] 过双曲线 C: 2- 2=1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线 a b 相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲 线 C 的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 4 12 7 9 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 8 8 12 4 x2 y2 .4、 [2014· 全国卷] 双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到渐近线的 a b 距离为 3,则 C 的焦距等于( A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 )

x2 y2 5.[2014· 山东卷] 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛物线 a b x2=2py(p>0)的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c,且|FA|=c,则双曲线的 渐近线方程为________.

探究点一 双曲线的定义及应用 例 1 已知定点 A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以 C 为一个焦点作过 A,B 的椭圆,求 另一焦点 F 的轨迹方程.

变式迁移 1 已知动圆 M 与圆 C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆 C2:(x-4)2+y2=2 内切, 求动圆圆心 M 的轨迹方程.

x2 y2 [2014· 天津卷] 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y a b =2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 5 20 20 5 3x2 3y2 3x2 3y2 C. - =1 D. - =1 25 100 100 25 例2

探究点二 求双曲线的标准方程

变式迁移 2

x2 y2 (2011· 安庆模拟)已知双曲线与椭圆 + =1 的焦点相同,且它们的离心 9 25

14 率之和等于 ,则双曲线的方程为____________. 5 探究点三 双曲线几何性质的应用 例 3 已知双曲线的方程是 16x2-9y2=144. (1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程; (2)设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点,点 P 在双曲线上,且|PF1|· |PF2|=32,求∠F1PF2 的大小.

x2 变式迁移 3 已知双曲线 C: -y2=1. 2 (1)求双曲线 C 的渐近线方程; (2)已知 M 点坐标为(0,1),设 P 是双曲线 C 上的点,Q 是点 P 关于原点的对称点.记 λ → → =MP· MQ,求 λ 的取值范围.

1.已知 M(-2,0)、N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点 P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.双曲线右边一支 D.一条射线 x2 y2 2.设点 P 在双曲线 - =1 上,若 F1、F2 为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶ 9 16 3,则△F1PF2 的周长等于( ) A.22 B.16 C.14 D.12 3. 、[2014· 湖北卷] 设 a,b 是关于 t 的方程 t2cos θ +tsin θ =0 的两个不等实根,则 x2 y2 过 A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线 2 - 2 =1 的公共点的个数为( ) cos θ sin θ A.0 B.1 C.2 D.3 x2 y2 4.[2014· 浙江卷] 设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐 a b 近线分别交于点 A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________. 5.2012 四川文)(本小题满分 12 分)

如图,动点 M 与两定点 A(?1, 0) 、 B(1,0) 构成 ?MAB ,且直线 MA、MB 的斜率之 积为 4,设动点 M 的轨迹为 C. (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? x ? m(m ? 0) 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交 于点 Q、R ,且 | PQ |?| PR | ,求
| PR | 的取值范围. | PQ |

学案 39 双曲线 自主梳理 1.双曲线 焦点 焦距 y=± x e= 2 自我检测 1.D (1)a<c 双曲线 (2)a=c 两条射线 (3)a>c 3.等轴双曲线

2.D b [解析] 由直线方程 x=a 和渐近线方程 y= x 联立解得 A(a,b). a 由以 C 的右焦点为圆心,4 为半径的圆过原点 O 可得 c=4,即右焦点 F(4,0). 由该圆过 A 点可得|FA|2=(a-4)2+b2=a2+b2-8a+16=c2-8a+16=c2, x2 y2 所以 8a=16,则 a=2,所以 b2=c2-a2=16-4=12.故双曲线 C 的方程为 - =1 4 12 4.C 5.y=± x 课堂活动区 例 1 解题导引 求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型, 从而再用待定系数法求出轨迹的方程,这样可以减少运算量,提高解题速度与质量.在运用 双曲线的定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是整条双曲线, 还是双曲线的一支,若是一支,是哪一支,以确保轨迹的纯粹性和完备性. 解 设 F(x,y)为轨迹上的任意一点, 因为 A,B 两点在以 C,F 为焦点的椭圆上, 所以|FA|+|CA|=2a,|FB|+|CB|=2a (其中 a 表示椭圆的长半轴). 所以|FA|+|CA|=|FB|+|CB|. 所以|FA|-|FB|=|CB|-|CA|= 122+92- 122+52=2. 所以|FA|-|FB|=2. 由双曲线的定义知,F 点在以 A,B 为焦点,2 为实轴长的双曲线的下半支上. x2 所以点 F 的轨迹方程是 y2- =1 (y≤-1). 48 变式迁移 1 解 3.A

设动圆 M 的半径为 r,则由已知得,|MC1|=r+ 2, |MC2|=r- 2, ∴|MC1|-|MC2|=2 2, 又 C1(-4,0),C2(4,0), ∴|C1C2|=8.∴2 2<|C1C2|. 根据双曲线定义知,点 M 的轨迹是以 C1(-4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支. ∵a= 2,c=4,∴b2=c2-a2=14. x2 y2 ∴点 M 的轨迹方程是 - =1 (x≥ 2). 2 14 y2 x2 例2 A 变式迁移 2 - =1 4 12 2 2 x y 解析 由于在椭圆 + =1 中,a2=25,b2=9,所以 c2=16,c=4,又椭圆的焦点在 9 25 4 y 轴上,所以其焦点坐标为(0,± 4),离心率 e= .根据题意知,双曲线的焦点也应在 y 轴上, 5 14 4 y2 x2 坐标为(0,± 4),且其离心率等于 - =2.故设双曲线的方程为 2- 2=1 (a>0,b>0),且 c 5 5 a b 1 y2 x2 =4,所以 a= c=2,a2=4,b2=c2-a2=12,于是双曲线的方程为 - =1. 2 4 12 例 3 解题导引 双曲线问题与椭圆问题类似,因而研究方法也有许多相似之处,如 利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等.

x2 y2 (1)由 16x2-9y2=144,得 - =1, 9 16 ∴a=3,b=4,c=5.焦点坐标 F1(-5,0), 5 F2(5,0),离心率 e= , 3 4 渐近线方程为 y=± x. 3 (2)||PF1|-|PF2||=6, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos∠F1PF2= 2|PF1||PF2| ?|PF1|-|PF2|?2+2|PF1||PF2|-|F1F2|2 = 2|PF1||PF2| 36+64-100 = =0, 64 ∴∠F1PF2=90° . 解 变式迁移 3 解 (1)因为 a= 2,b=1,且焦点在 x 轴上,所以渐近线方程为 y- =0,y+ 2 x=0. 2 (2)设 P 点坐标为(x0,y0),则 Q 的坐标为(-x0,-y0), → → λ=MP· MQ=(x0,y0-1)· (-x0,-y0-1) 3 2 2 2 =-x0-y0+1=- x0+2. 2 ∵|x0|≥ 2,∴λ 的取值范围是(-∞,-1]. 课后练习区 1.C 2.A 3.A 4. 5 2 2 x 2

5.解: (Ⅰ)设 M 的坐标为 ( x, y ) ,当 x ? ?1 时,直线 MA 的斜率不存在;当 x ? 1 时,

直线 MB 的斜率不存在, 于是 x ? ?1 . 此时, MA 的斜率为 由题意,有

y , MB 的斜率为 y . x ?1 x ?1

y y ? ? 4 ,化简可得, 4 x2 ? y 2 ? 4 ? 0 . x ?1 x ?1

故动点 M 的轨迹为 C 的方程为 4 x2 ? y 2 ? 4 ? 0 ( x ? ?1 ) . (Ⅱ)联立 ?
? y ? x ? m, ?4 x ? y ? 4 ? 0
2 2

消去 y,可得 3x2 ? 2mx ? m2 ? 4 ? 0 . (*)

对于方程(*) ,其判别式 ? ? (?2m)2 ? 12(?m2 ? 4) ? 16m2 ? 48 ? 0 , 而当-1 或 1 为方程(*)的根时,m 的值为-1 或 1. 结合题设( m ? 0 )可知, m ? 0 且 m ? 1 . 设 Q、R 的坐标分别为 ( xQ , yQ ) 、 ( xR , yR ) ,则 xQ 、 xR 为方程(*)的两根.

因为 | PQ |?| PR | ,所以 | xQ |?| xR | , xQ ?
2 1?

m ? 2 m2 ? 3 m ? 2 m2 ? 3 , xR ? . 3 3

| PR | | xR | ? ? 所以 | PQ | | xQ |

3 ?1 2 m2 ?1? , 3 3 2 1? 2 ?1 2 1? 2 ?1 m m
1? 3 ? 2 , 所 以 1? 1? m2 2

此 时
2 2 1?

1?

3 ?1 , 且 m2

2 3 ? 1 2 ? m 1

?3 , 且

1?

3 ?1 m2

?

5 , 3

所以 1 ?

| PR | | xR | | PR | | xR | 5 ? ? 3 ,且 ? ? . | PQ | | xQ | | PQ | | xQ | 3
| PR | 5 的取值范围是 (1, ) | PQ | 3

综上所述,

5 ( ,3) . 3


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