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数学: 2.2.1《直线与平面平行的判定》 课件(新人教必修2)


2.2.1直线与平面平行的判定

鹿邑三高 史琳

(1)

直线和平面有哪些位置关系?
a

a
A

a

α
直线在平面α 内a ? α 有无数个交点

α

α
直线与平面α 平行 a∥α无交点

直线与平面α相交 a ∩ α= A 有且只有一个交点

【复习与思考】
2.如何判断直线在平面内这一位置关系?
(1)定义 (2)公理1
?
l

3.如何判断直线与平面平行这一位置关系?
(1)定义 (2)?
?
l

定义:一条直线和一个平面没有公共点, 叫做直线与平面平行.

【数学源于生活】

?
a
b

感受校园生活中线面平行的例子:
天花板平面

1.线面平行判定的建构
(1)创设情境—感知概念

思考:如何判断一条直线与一个平面平行?

1.线面平行判定的建构
(2)观察归纳—形成概念
b

αa

a

讨论:能否用平面外一条直线平行于平 面内直线,来判断这条直线与这个平面 平行呢?

【抽象概括】
定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行。

a ? ?? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

a
b

?

直线与平面平行的判定定理:
A:判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条 直线平行,则该直线与此平面平行.

l ?? ? ? m ? ? ? ? l // ? ? m // l ?

l c m

?

P

B:定理说明

1、线面平行的判定定理的数学 符号表示,其中三个条件缺一不 可.
2、线线平行 线面平行 线线平行是条件的核心. 3、注意定理中文字叙述、符号语言、图 形表示的相互转换。 4、判定线面平行的三种方法:

(1)定义法( 2)判定定理 (3)反证法

(3)辨析讨论—深化理解
判断正误: (1)直线在平面外是指直线和平面最多有一个 公共点. (2)若直线 l 平行于平面 ? 内的无数条直线, 则 l // ? (3)如果a、b是两条直线,且 a // b,那么a平 行于经过b的任何平面.
b a

(4)若直线a与平面 ? 内的一条直线平行 ,则 a 与平面 ? 平行

(5)若直线a//b , a//c ,且 b、c ? ? ,则 a // ?
(6)若两条平行直线中的一条与 平面 ? 平行,则

另一条也与平面 ? 平行

练习:
(1)直线 a∥平面α,平面α内有 n 条互相平行的直线, 那么这 n 条直线和直线 a ( C ) (A)全平行 (C)全平行或全异面 (B)全异面 (D)不全平行也不全异面

(2)直线 a∥平面α,平面α内有无数条直线 交于 一点,那 么这无数条直线中与直线 a 平行的( B ) (A)至少有一条 (C)有且只有一条 (B)至多有一条 (D)不可能有

定理的应用
例1. 如图,空间四边形ABCD中,
E、F分别是 AB,AD的中点.
E B

A
F D C

求证:EF∥平面BCD.

分析:要证明线面平行只需证明线线平行, 即在平面BCD内找一条直线 平行于EF,由已 知的条件怎样找这条直线?

定理的应用
例1. 如图,空间四边形ABCD中,
E、F分别是 AB,AD的中点.
E B

A
F D

求证:EF∥平面BCD.

证明:连结BD.

∵AE=EB,AF=FD
∴EF∥BD(三角形中位线性质) EF ? 平面BCD ? ? BD ? 平面BCD ? ? EF// 平面BCD ? FE//BD ?

变式1:
1.如图,在空间四边形ABCD中,E、F分
AE AF 别为AB、AD上的点,若 EB ? FD ,则EF

EF//平面BCD 与平面BCD的位置关系是_____________.
A
F E B D C

2.如图,四棱锥A—DBCE中,O 为底面正方形DBCE对角线的交 点,F为AE的中点. 求证:AB//平面 DCF.(04年天津高考)
B

变式2:

A

F
D

E O
C

分析:连结OF, 可知OF为 △ABE的中位线,所以得到AB//OF.

2.如图,四棱锥A—DBCE中,O 为底面正方形DBCE对角线的交 点,F为AE的中点. 求证:AB//平面 DCF.
证明:连结OF, ∵ O为正方形DBCE 对角线的交点, ∴BO=OE, 又AF=FE, ∴AB//OF, B

变式2:

A

F
D

E
O
C

AB ? 平面DC F? ? O F ? 平面DC F? ? AB //平面DC F ? AB //O F ?

反思~领悟:
1.线面平行,通常可以转化为线线平行来处理.
2.寻找平行直线可以通过三角形的中位线、 梯形的中位线、平行线的判定等来完成。 3、证明的书写三个条件“内”、“外”、“平 行”,缺一不可。

巩固练习:
1.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1平行

平面BC 、平面 CD 1 的平面是___________________. 1
D A
1
1

C B

1

1

D A B

C

巩固练习:
2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中 点,求证:BD1//平面AEC. 分析:要证BD1//平面 AEC即要在平面AEC内找 一条直线与BD1平行.根据 已知条件应该怎样考虑辅 助线?
D1 A1 B1 E D C O B C1

A

巩固练习:
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点, 求证:BD1//平面AEC.
证明:连结BD交AC于O,连结EO. ∵O 为矩形ABCD对角线的交点, ∴DO=OB,
又∵DE=ED1, A1 B1 E D O B C D1 C1

∴BD1//EO. A BD1 ? 平面 AEC ? ? EO ? 平面 AEC ? ? BD1 // 平面 AEC ? BD1 // EO ?

归纳小结,理清知识体系
1.判定直线与平面平行的方法:
(1)定义法:直线与平面没有公共点则线面平行; (2)判定定理:(线线平行

? 线面平行);

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

2.用定理证明线面平行时,在寻找平行直线可
以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平 行线的判定等来完成。

练习. 如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1的 六个表面中,

平面A1C1 平面CD1 ; (1)与AB平行的平面是_____________________ 平面BC 1 平面CD1 ; (2)与AA1平行的平面是____________________ 平面BC 1 平面A1C1 ; (3)与AD平行的平面是_____________________ D1 C1

A1

B1

D

C

A

B

例题.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,(1)若E、F

分别为A1D1、AB的中点,求证:EF//平面BB1D1D.

E

D1 B1

C1

A1

平行四边形法
A

D
F

C

B

例题.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,(1)若E、F 分别为A1D1、AB的中点,求证:EF//平面BB1D1D; (2)若G为DD1中点,试判断BD1与平面AGC位置关系. 解: BD1//平面AGC.

证明:连接BD交 AC于H,连接GH. ∵四边形ABCD是正方形,∴DH=HB . 又∵DG=GD1, ∴GH//BD1.

D1 A1

C1 B1

? BD1 ? 平面AGC, GH ? 平面AGC,
∴BD1//平面AGC.

G
D
H

H
B

C

中位线法

A

D:能力提高
例2:一木块如图所示,点P在平面VAC 内,过点P将木块锯开,使截面平行于直 线VB和AC,应该怎样画线? V
E P . F C H G A

作法: 1)过点P作EF//AC 分 别交V C 、VA于E、F点;
2 )分别过E作EH//VB交BC 于H点,过F点作FG//VB交 AB于G点;

3)最后连接GH;

B

平面EFGH即为所求的截面.

【本课小结】
a ? ?? (1)线面平行的判定定理: b ? ? ? ? ? a // ? a // b ? ?
(2)线面平行的判定方法;

平行四边形法
平行移动法 中位线法

?线线平行 ?线面平行
(将空间问题转化为平面问题)

知识小结

1.证明直线与平面平行的方法: (1)利用定义;直线与平面没有公共点 (2)利用判定定理. 线线平行 线面平行

2.数学思想方法:转化的思想 空间问题 平面问题

【思考】
如图,已知直线a,b是异面直线,你能作
一个平面 ? ,使得 a ? ?,且b // ? 吗?
b b1

?

a P

课后练习
1、如果两个相交平面分别经过两条平行直线 中的一条,那么它们的交线和这两条直线平行.

l

a

b

α

β

课堂作业:P56 T2 ,P62 T3

谢谢观看

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