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理科周测(四)答案


2014 学年第一学期高三数学(理)第四次周测答案
一、选择题 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题 号 答 案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 B 7 C 8 C 9 B 10 D

座位号:

二、填空题 (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

11.

/>
?
57? 2 64



12.

80 ? 10?



13.

-5

; 14 .

4



15 .



16 .

-1



17.

?1 ? ? , ?? ? ?2 ?

.

三、解答题 (本大题共 5 小题,满分 72 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 学号:
2 2 18 已 知 三 角 形 ABC 中 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , a ? b ? 6ab cos C , 且

s i n2 C ? 2 s i n A s iB n。
(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ) 设函数 f ( x) ? sin(? x ? 为 ? ,求 f ( A) 的值。

?
6

) ? cos ? x(? ? 0) ,且 f ( x) 图象上相邻两最高点间的距离

姓名:

解: (Ⅰ) C ?

?
3

(Ⅱ)

3?3 5 8

班级:

高三周测四数学答案第 1 页 (共 4 页)

19 在等差数列 {a n } 和等比数列 {bn } 中, a 1 ? 1 , b1 ? 2 , bn ? 0 ( n ? N* ),且 b1 , a2 , b2 成等 差数列, a2 , b2 , a3 ? 2 成等比数列. (Ⅰ) 求数列 {a n } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ? a bn ,数列 {c n } 的前 n 和为 S n ,若 值范围. 解: (Ⅰ)设等差数列 {a n } 的公差为 d ,等比数列 {bn } 的公比为 q( q ? 0) .
?2(1 ? d ) ? 2 ? 2q 由题意,得 ? ,解得 d ? q ? 3 . 2 ? ( 2q ) ? (1 ? d )( 3 ? 2d )
S 2 n ? 4n ? a n ? t 恒成立,求常数 t 的 取 S n ? 2n

…3 分

∴ a n ? 3n ? 2 , bn ? 2 ? 3 n?1 . (Ⅱ) c n ? 3 ? bn ? 2 ? 2 ? 3 n ? 2 . ∴ S n ? c1 ? c 2 ? ? ? c n ? 2(31 ? 3 2 ? ? ? 3 n ) ? 2n ? 3 n?1 ? 2n ? 3 . ∴
S 2 n ? 4n 3 2 n ? 1 ? 3 ? n?1 ? 3n ? 1 . S n ? 2n 3 ?3

…7 分 …9 分 …11 分 …12 分

∴ 3 n ? 1 ? 3n ? 2 ? t 恒成立,即 t ? (3 n ? 3n ? 3) min . 令 f (n) ? 3 n ? 3n ? 3 ,则 f (n ? 1) ? f (n) ? 2 ? 3 n ? 3 ? 0 ,所以 f ( n) 单调递增. 故 t ? f (1) ? 3 ,即常数 t 的取值范围是 ( ??,3) . …14 分

高三周测四数学答案第 2 页 (共 4 页)

20 如图, ?PAB 是边长为 2 的正三角形,平面 PAB 外一动点 C 满足下面条件: PC ? PA , AC ? AB . (Ⅰ)若 M 为 BC 的中点,求证:PM⊥平面 ABC ; (Ⅱ)若二面角 A ? PC ? B 与二面角 P ? AB ? C 互余,求三棱锥 P ? ABC 的体积. 解: (Ⅰ)证明一:取 AB 的中点 N ,连接 PM 、 MN 。

由已知 PC ? PA ? PB ,? PM ? BC 、PN ? AB , 又 MN 为 ?ABC 的中位线,且 ?BAC ? Rt ? , ? MN ? AB ,
? AB ? 平面PMN ,
? AB ? PM
y C

z

P

M A N B x

? PM ? 平面ABC
(Ⅱ)解:如图,以 AB 所在的直线为 x 轴、 AC 所在的直线为 y 轴建立空间直角

坐标系,则 A(0,0,0) 、 B(2,0,0) ,设 C (0,2t ,0) ?t ? 0? , 则? PN ? 3,MN ? t ,? PM ? 3 ? t 2 ? P(1, t , 3 ? t 2 ) 由(1)可知二面角 P ? AB ? C 的平面角为 ?PNM , sin ?PNM ? 设平面 PAC 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则
2 ? ?n1 ? AP ? x1 ? ty1 ? 3 ? t z1 ? 0 ? ? ?n1 ? AC ? 2ty1 ? 0

3?t2 3



令 z1 ? ?1 得 n1 ? ( 3 ? t 2 ,0,?1) , 设平面 PBC 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,则

? ?n2 ? BC ? ?2 x2 ? 2ty 2 ? 0 , ? 2 ? n ? BP ? ? x ? ty ? 3 ? t z ? 0 2 2 2 ? 2
令 y 2 ? 1 得 n2 ? (t,1,0) , 由已知得 cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 ? n2

?

t 3?t2 4 ? t2 ? t2 ?1

?

3?t2 3



1 2 2 解得 t ? 2 ,此时, VP ? ABC ? S ?ABC ? PM ? 。 3 3

高三周测四数学答案第 3 页 (共 4 页)

21 已知斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 交椭圆 C :

x2 + y 2 = 1 于 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 两点。 4

(I)记直线 OM , ON 的斜率分别为 k1 , k2 ,当 3(k1 + k2 ) = 8k 时,证明:直线 l 过定点; (II)若直线 l 过点 D(1, 0) ,设 ?OMD 与 ?OND 的面积比为 t ,当 k ?
2

5 时,求 t 的取 12

值范围。

k? 0。 解: (1) 设直线 l 的方程为 y = kx + n , 代入椭: (1+ 4k 2 ) x2 + 8knx + 4n2 - 4 = 0 ,
x + 则有 ? ? ? 1 ? í ? ? ? ? ? ? ì ? 8kn 1 + 4k 2 4n 2 - 4 x1 x2 = 1 + 4k 2 x2 = -



则 k1 + k2 = y1 + y2 = y1 x2 + y2 x1 = x2 (kx1 + n) + x1 (kx2 + n) = 2kx1 x2 + n( x1 + x2 ) = x1 x2 x1 x2 x1 x2
x1 x2

8k …5 分 4n2 - 4

24k 1 = 8k ,而 k ? 0 ,则有 n = , 2 4n - 4 2 1 1 1 m ,从而直线 l 过定点 (0, ) 或 (0, ? ) 。……………8 分 则直线 l 的方程为 x = my 2 2 2
由条件有 (Ⅱ)依题意可设直线 l 的方程为 y = k ( x - 1) ,其中 k ? 0 。 代入椭圆方程得: (1+ 4k 2 ) x2 - 8k 2 x + 4k 2 - 4 = 0 , 则有 ì?? x + x
8k 2 ? 2 = ? 1 1 + 4k 2 ? í ? 4k 2 - 4 ? x1 x2 = ? ? 1 + 4k 2 ? ?

。……………9 分 从而有 y + y = k ( x + x - 2) = 1 2 1 2

2k …………① 1 + 4k 2

y1 y2 = k 2 ( x1 - 1)( x2 - 1) = k 2 [x1 x2 - ( x1 + x2 ) + 1]= 2 由①②得 ( y1 + y2 ) = -

3k 2 …………② 1 + 4k 2

y1 y2

4 ,……………11 分 3(1+ 4k 2 )

由0 ? k ?
2

5 4 4 1 << - 。……………13 分 ,得 2 12 3 3(1 + 4k ) 2

又t ?

y y S?OMD ? 1 ,因 y1 y2 < 0 ,故 t = - 1 ,又 y2 S?OND y2

( y1 + y2 )2 y y 1 = 1 + 2 + 2= - t- + 2, y1 y2 y2 y1 t

?3t 2 ? 10t ? 3 ? 0 4 1 1 < - t - + 2 < - ,得 ? 2 从而有 , 3 t 2 ? 2t ? 5t ? 2 ? 0
解得 2 ? t ? 3 或

1 1 ? t ? 。……………15 分 3 2

高三周测四数学答案第 4 页 (共 4 页)

22 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ?

4 ? a,a?R, x

(1)若 a ? 1 ,试判断并用定义证明函数 f ( x) 在 [1,4] 上的单调性; (2)当 x ? [1,4] 时,求函数 f ( x) 的最大值的表达式 M (a) ; (3)是否存在实数 a ,使得 f ( x) ? 3 有且仅有 3 个不等实根,且它们成等差数列,若存在, 求出所有 a 的值,若不存在,说明理由. 解: (2)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ?

4 , M (a) ? f (4) ? 3 , x 4 ? 2 a ? x ? , x ? [1, a ] ? ? x 当 1 ? a ? 4 时, f ( x ) ? ? , 4 ? x ? , x ? ( a , 4] ? x ? 4 a
; 若 2?a?4 ,

( i ) 当 x ? [1, a] 时 , 若 1 ? a ? 2 , M ( a ) ? f ( a ) ? a ?

M (a) ? f (2) ? 2a ? 4 (ii)当 x ? [a,4] 时, M (a) ? f (4) ? 3 7 4 7 故当 1 ? a ? ,由 a ? ? 3 , 2a ? 4 ? 3 , M (a) ? 3 ,当 ? a ? 4 时, M (a) ? 2a ? 4 2 a 2 4 当 a ? 4 时, f ( x ) ? 2a ? x ? , M (a) ? f (2) ? 2a ? 4 x 7 ? 3, a ? ? ? 2 综上: M (a ) ? ? . 7 ?2a ? 4, a ? ? 2 ? 4 ? 2a ? x ? , x ? (??, a], x ? 0 ? ? x (3) f ( x) ? ? , ? x ? 4 , x ? (a,??) ? x ? 4 4 当 ? 1 ? a ? 4 时, x ? ? 3 有 一根为 4 , 2a ? x ? ? 3 在 (??, a], x ? 0 上必有两 根 x x 7 1 x1 ? x 2 ,得到 ? a ? 4 或 ? 1 ? a ? ? ,于是 x1 ? x2 ? x4 ? 4 ,于是 2 x2 ? 4 ? x1 ,解 2 2 3 3 3 ,因为 a ? 1 ? 3 ? ?1 舍去; 得 a ? 1? 2 2 4 4 x ? ? 3 有两根为-1 和 4, 当 a ? ?1 时, 故令 2a ? x ? ? 3 在 ( ??, a ] 上有且仅有一根 x1 , x x 得到 a ? ?1 , 11 于是 x1 ? x2 ? ?1 ? x3 ? 4 ,于是 ? 2 ? 4 ? x1 ,得到 a ? ? . 6 3 11 3 或? . 综上: a ? 1 ? 2 6
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