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必修4三角函数的图像与性质1.4-1.6


三角函数的图像与性质 1.4-1.6
一:知识点 1.基本性质 函数 定义域 值域 最 值 周期 奇 偶 性 对称轴 对称中心 单调性

Y=sinx

增区间 减区间 增区间 减区间 增区间

Y=cosx

Y=tanx 2: y ? A sin ??x ? ? ? ? k 图像的变化类

型 ⑴:平移变换

(1 ) :左右平移 y ? sin x ------------------------------------------------- y ? sin ?x ? ? ? (2 ) :上下平移 y ? sin x ------------------------------------------------- y ? sin x ? k ⑵:伸缩变化 (1 ) :左右伸缩 y ? sin x -------------------------------------------------- y ? sin ?x (2 ) :上下伸缩 y ? sin x -------------------------------------------------- y ? A sin x 3. y ? A sin ??x ? ? ? ? k 图像的一般变化顺序

y ? sin x
下平移

左右平移

y ? s i nx(? ? ) 左右伸缩 y ? sin ??x ? ? ? 上下伸缩

??x ? ? ? 上 y ? As i n

y ? A sin ??x ? ? ? ? k

二:例题讲解
π 1.函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的最小正周期为( 3

) D.
π 4

A. 2π 2.函数 y ? sin ?

B. π

C.

π 2

?? ? ? 2 x ? , x ? R 是( ) ?2 ?

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 ? 的偶函数

? 的奇函数 2 ? D.最小正周期为 的偶函数 2
B.最小正周期为 )

3.要得到函数 y=cos(2x+1)的图像,只要将函数 y=cos 2x 的图像( A.向左平移 1 个单位 B.向右平移 1 个单位

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1 个单位 2 π 4. 将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3
C.向左平移 D.向右平移 2 倍(纵坐标不变)得到函数 f(x)的图象,则 f(-π )等于( A. )

1 个单位 2

3 2

B. ?

3 2 ? ?

C.

1 2

D.-

1 2


5.要得到函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ?

??

?? ? ? 的图象,只需将函数 g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 的图象( 3? 3? ?
B.向右平移

A.向左平移

? 个单位长度 2 ? 个单位长度 4

? 个单位长度 2 ? 个单位长度 4

C.向左平移

D.向右平移

6.如图所示是函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图像,则 f ( x ) 的 解析式为 .

7.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 得到 y ? sin 2 x 的图象,只需将 f ( x ) 的图象(

?
2

) 的部分图象如图所示,为了
y 1
?

)

? 个单位 3 ? C.向左平移 个单位 3
A.向右平移 8 . 已 知 函 数

B.向右平移

? 个单位 6 ? D.向左平移 个单位 6
f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? b

? O
6

?
3

x

( A、? ? 0,0 ? ? ? ? , b 为常数)一段图像如图所示. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再将所得图像上各点的横 12

坐标扩大为原来的 4 倍,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 g ( x) 的单调递 增区间. 9 .已知函数 f ( x) ? sin? x ? 3 cos? x ( ? ? 0)的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于

y ? f ( x) 的图象向左平移
A. ( ?

?
3

, 0)

? 个单位得到函数 y ? g ( x) 的图象,则 y ? g ( x) 是减函数的区间为( 6 ? ? ? ? ? B. ( ? , ) C. (0, ) D. ( , ) 4 4 4 3 3

? ,若将函数 2


? ? 1 10. 若将函数 y=2sin (x+ 4 ) 的图像上各点的横坐标缩短为原来的 2 倍 (纵坐标不变) , 再向右平移 4
个单位,则所得图像的一条对称轴的方程为: ( )

试卷第 2 页,总 7 页

? A.x=- 8

? B.x=- 4

? C.x= 8

? D.x= 4

11.已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) . 3 4 4

?

?

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图像的对称轴方程; (2)求函数 f ( x ) 在区间 [? 12.设函数 f ?x ? ?

, ] 上的值域. 12 2

? ?

?? ? 2 sin? 2 x ? ?, x ? R 。 4? ?

(1)求函数 f ?x ? 的最小正周期和单调递增区间; (2)求函数 f ?x ? 在区间 ?

? ? 3? ? , ? 上的最小值和最大值,并求出取最值时 x 的值。 ?8 4 ?
2

13.已知函数 f(x)= 3 sin ω x·cos ω x+cos ω x- (1)求 f(x)的解析式. (2)将函数 f(x)的图象向右平移

1 ? (ω >0),其最小正周期为 . 2 2

? 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得 8
? ?? 上有且只有一个实数解,求实数 k 的 ? 2? ?

到函数 y=g(x)的图象,若关于 x 的方程 g(x)+k=0,在区间 ? 0, 取值范围. 三:习题 1. 函数 y ? 1 ? 2cos (2 x) 的最小正周期是
2

.

2.函数 y ? cos(4 x ? ) 图象的两条相邻对称轴间的距离为

?

3

A.

π 8

B.

π 4

C.

π 2

D. π .

3.把函数 y=3sin2x 的图象向左平移 4.要得到函数 y ? sin(2 x ?

? 个单位得到图像的函数解析是 6

? ) 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x 的图象 4
C.向左平移

(

)

A.向左平移

? ? 单位 B.向右平移 单位 4 4
?
2 ) 的图象向右平移
) B. y ? sin(10 x ?

? ? 单位 D.向右平移 单位 8 8

5. 把函数 y ? sin(5 x ? 所得的函数解析式为( A. y ? sin(10 x ?

? 1 个单位, 再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的 , 4 2
7? ) 2
C. y ? sin(10 x ?

3? ) 4

7? ) 4
)

D. y ? sin(10 x ?

3? ) 2

6.要得到函数 y=cos2x 的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象沿 x 轴( A.向右平移

? 个单位 4

B.向左平移

? 个单位 4

C.向右平移

? 个单位 8

D.向左平移

? 个单位 8

第 3 页,总 7 页

7.为了得到函数 y ? A. 向左平移

? 1 3 sin 3x ? cos3x 的图象,只需把函数 y ? sin(3 x ? ) 的图象( 6 2 2
B. 向右平移 D. 向右平移



? ? 个单位 C. 向左平移 个单位 3 6 ? 8.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ) 的部分图象如图所示, ? 个单位 3
则 ? 的值为

? 个单位 6

2

9.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 则 将 y ? f ( x) 的 图 象 向 右 平 移 ( ).

?
2

) 的部分图像如图所示,

?
6

个单位后,得到的图像解析式为

A. y ? sin( 2 x ? C. y ? sin 2 x

?
6

)

B. y ? sin( 2 x ? D. y ? sin( 2 x ?

? ?
6

) )

3

10. 已知函数 f ( x) ? Asin ??x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 图所示,则函数 y ? f ( x) 的表达式是( A. f ( x) ? 2sin(2 x ? )

?
2

) 的部分图象如

?

3 2? ) C. f ( x) ? 2sin(2 x ? 3

)

B. f ( x) ? 2sin(2 x ? D. f ( x) ? 2sin( x ?

?
3

)

?

12

)

11.设函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) ? 3 sin(? x ? ? ), (? ? 0, ? ? 图像相邻的两条对称轴为 x ? 0, x ?

?
2

) ,且其

?
2

,则

A. y ? f ( x) 的最小正周期为 2? ,且在 (0, ? ) 上为增函数 B. y ? f ( x) 的最小正周期为 C. y ? f ( x) 的最小正周期为 D. y ? f ( x) 的最小正周期为

? ,且在 (0, ? ) 上为减函数 ? ,且在 (0, ) 上为增函数
2

?

? ,且在 (0, ) 上为减函数
2
2

?

2 12.已知函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? ? 2 cos x.

(1)求 f ?

?? ? ? 的值; ? 12 ?

(2)求 f ? x ? 的递减区间.

13.已知函数 f ( x) ? ?2sin 2 x ? 2 3sin x cos x ?1

试卷第 4 页,总 7 页

⑴求 f ( x ) 的最小正周期及对称中心; ⑵若 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的最大值和最小值. 6 3

14.已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 [ ?

?

6

) ?1 .

? ?

, ] 上的最大值与最小值. 6 4

15.已知函数

1 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) ? . 2

(1)若 0 ? ? (2)求函数

?

?
2

,且 sin ?

?

2 ,求 f (? ) 的值; 2

f ( x) 的最小正周期及单调递增区间.
2 sin 2 x ? 2 cos 2 x , x ? R .

16.已知函数 f ? x ? ? (1)求 f ?

? 3? ? 8

? ? 的值; ?

(2)求 f ? x ? 的最大值和最小正周期; (3)若 f ?

3 ?? ? ? , ? 是第二象限的角,求 sin 2? . ? ?? ?2 8? 2

17.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? (1)求 f (

? ? ) ? cos(2x ? ) ? 2cos2 x . 6 3

? ) 的值; 12

(2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)函数 f ( x) 的图像可由

y ? sin x 的图像如何变换得来,请详细说明.
?
4 ).

18.已知函数 f ( x) ? sin(3 x ?

(1)求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)若 ? 是第二象限角, f ( ) ?

?

3

4 ? cos(? ? ) cos 2? ,求 cos ? ? sin ? 的值. 5 4

19.已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ,其中 a ? R, ? ? (? (1)当 a ?

? ?

2, ? ?

?
4

, ) 2 2

时,求 f ( x ) 在区间 [0, ? ] 上的最大值与最小值;

第 5 页,总 7 页

(2)若 f ( ) ? 0, f (? ) ? 1 ,求 a, ? 的值.

?

2

20.已知函数 f(x)=sin ω x+ 3 sinω xsin ? ? x ?
2

? ?

??

? ? (ω >0)的最小正周期为 2 . 2?

(1)写出函数 f(x)的单调递增区间; (2)求函数 f(x)在区间 ? 0,

? ?? 上的取值范围. ? 3? ?
2

21.已知函数 f(x)=2sin ω x·cos ω x+2 3 cos ω x- 3 (其中 ω >0),且函数 f(x)的周期为 π . (1)求 ω 的值; (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移

? 1 个单位长度, 再将所得图象各点的横坐标缩小到原来的 倍(纵坐标 2 4
? ? ? ? 上的单调区间. , ? 6 24 ? ?

不变)得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在 ? ?

?? ?? ? ? 22.已知函数 f ? x ? =2 3 sin ? x ? ? ? cos ? x ? ? ? sin ? 2 x ? 3? ? . 4? 4? ? ?
(1)求 f ? x ? 的最小正周期; (2)若将 f ? x ? 的图像向左平移

? 个单位,得到函数 g ? x ? 的图像, 4

求函数 g ? x ? 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值. 2
2 23.已知 f ( x) ? 2sin ? x ? 2 3 sin ? x sin(

?

?
2

? ? x)(? ? 0) 最小正周期为 ?

(1).求函数 f ( x) 的单调递增区间及对称中心坐标 (2).求函数 f ( x) 在区间 ?0,

? 2? ? 上的取值范围。 ? 3 ? ?

24.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), (? ? 0, A ? 0, ? ? (0, 的一个最高点. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ? ? (

?
2

)) . 的部分图象如图所示,其中点 P 是图象

?
2

, ? ) 且 sin ? ?

5 ? ,求 f ( ) . 13 2

y 25.下图为三角函数 f ( x) ? Asin ??x ? ? ? (A>0,ω >0, ? ?

? )图象的一段. 2

2

O

试卷第 6 页,总 7 页

? 3

7? 12

x

-2

(1)求函数的解析式及 f (

3? ) 的值; 16

(2)如果函数 y=f (x)-m 在( ?

?
8

,

3? )内有且仅有一个零点,求实数 m 的取值范围. 16

26.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ?

?
2

) 的图象在 y 轴上的截距为1 ,它在 y 轴右侧的第

一个最大值点和最小值点分别为 ( x0 , 2) 和 ( x0 ? 3? , ?2) , (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 f ( x ) 的单调减区间。

27.函数 f ( x) ? A cos(?x ? ?) (其中 A ? 0, ? ? 0, ? ? 平移

? )的图象如图所示,把函数 f ( x) 的图象向右 2

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象. 6

(1)求函数 y ? g ( x) 的表达式; (2)若 x ? ? , ? 时,函数 y ? g ( x) 的图象与直线 y ? m 有两个 6 3 不同的交点,求实数 m 的取值范围.

?? ?? ? ?

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