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正弦函数余弦函数的图像(优质课)


(第一课时)

一、复习活动,动动脑
对边 a 1.正弦 sinA= = 斜边 c 邻边 b 余弦 cosA= = 斜边 c
A

B

c
b

a
C

2、任意角的三角函数定义


? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P( x, y ) x y 那么 sin ? ? cos? ? ? x ?y r r
y

P ? x, y ?

其中

r? x ?y
2

2

?
O

A?1,0? x

3、三角函数线
回忆sinα的几何意义
想一想?

设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y) y
1 P(x,y)

函数值的正负跟正余弦线的方向有 关,大小跟有向线段的长度相等
x

0

M

1

有向线段

正弦线 MP=sin α; 余弦线 OM=cos α

想一想?

二、新课引入
抖动绳子、潮汐、舞动的彩带等都展现 了波浪形的图形,这些图形和数学中正 余弦函数图像非常相似!

正弦余弦函数的解析式是怎样的?

正弦函数y ? sin x, x ? R的图像是怎样的?

三、沙海淘金
问题:如何画函数y=sinx,x∈[0,2π ]的图象
步骤: 列表、描点、连线 ?? ?? 思考:如何描点c ? ,sin ? 3? ?3

关键:是利用单位圆中角的正弦线,平移到直角坐标系中

y
P

MP ? sin

?

3

M
单位圆

o

我们把这种精 确作图的方法 x 称为几何法。

几何法作图操作演示
B
y

连线:用光滑 曲线将这些正 弦线的终点连 y=sinx,x?[0, 2?] 结起来

1

O1

A O
-1

? 3

2? 3

?

4? 3

5? 3

2?

x

注意图形特征: 上凸,下凹;

柔顺,光滑; 上面就是函数y=sinx,在x∈[0,2π]的图象,

思考:我们作正弦函数y=sinx ,x∈[0,2 π]
的图象时,描出了13个点,但其中起关键作 用的点是哪些?分别说出它们的坐标。 y

1
P 1

/ p1

o1

M1

-1A

0 -1
-

y

o

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

2?
5? 3 11? 6

3? ( , -1 ) ( , 1) (2? , 0) (0, 0) 五点: ( ? ,0 ) 2 2

-

-

-

-

2?

x

?

思考 ?
在精确度要求不太高时,如何快速地作 出正弦函数的图象呢?

在作出正弦函数的图象时,应抓住哪些

关键点?

五点作图法
y
1-

图象的最高点 ( 与x轴的交点

?

2 (0, 0)
(2? , 0)

,1)

(? , 0)
? 6

-1

o
-1 -

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

五点作图法步骤:
(1)列表(列出关键五点) (2)描点(描出五个关键点) (3)连线(用光滑曲线顺次连五个点)

上面就是函数y=sinx,在x∈[0,2π]的图象

-

图象的最低点 3?

( 2 , ?1)

思考 如何由y=sinx ,x?[0,2?] 的图象得到 y y=sinx ,x?R的图象?
1P 1
/ p1

o1

y

y=sinx x?[0,2?]
终边相同的角的三角函数值相等,所以y=sinx的图象在… [-4π,-2π] ,[2π,0] ,[0,2π] ,[2π,4π]…上的图象与y=sinx,x∈[0,2π]的图象的形 y 状完全一致.

y=sinx x?R
-4? -3? -2? -?

y=sinx x?[0,2?]

-

-

M1

-1A

-

-

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

正弦曲线
4? 5?

1

o
-1

?

2?

3?

6?

x

利用图象平移

y=sinx x?R

余弦函数的图像
探究 你能根据诱导公式,以正弦函数的图象为基础, y 通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗?
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦函数的图象

? y=sin(x+ ) =cosx, x?R ? 2 形状完全一样 向左平移 个单位 y
2

正弦曲线

余弦函数的图象
-4? -3? -2? -?

只是位置不同
1

余弦曲线
4? 5? 6?

o
-1

?

2?

3?

3? , 0) (2? ,1) 余弦函数五点 (0,1) ( , 0) (? , ?1) ( 2 2

?

x

四、小试牛刀
例1 画出下列函数的简图:
(1)y=sinx+1,x?[0, 2?]

解:由题意列表如下
x

sinx Sinx+1

0 0 1
y 2

?
2

1 2

? 0 1

3? 2

-1 0

2? 0 1

向上平移1个单位 1
?

? 2

0
-1

? 2

?

y=sinx+1,x?[0, 2?] 步骤: 1.列表 2.描点 x 3.连线 3? 2?
2
y=sinx,x?[0, 2?]

五、挑战自我,合作愉快
练习:作函数 y=2sinx-1,x∈[0,2π ]的简图
y y=2sinx-1,x?[0, 2?] x

几何画板

六、初露锋芒
练习(1)作函数 y ? sin x 简图 ,x∈[0,2π]的

(2)求方程 lg x ? sin x 的实数根的个数。

几何画板

七、课后小结
1几何法作正弦函数的图象 2.“五点作图法”

3? 正弦五点: ( , -1 ) ( , 1) (2? , 0) (0, 0) ( ? ,0 ) 2 2

?

重点

3? 余弦五点:(0,1) ( , 0) (? , ?1) ( , 0)(2? ,1) 2 2

?

3、正余弦曲线:
y
1
? 4?
_

y=sinx,x?R

? 3?

? 2?

??

o
-1 y 1 _
_

?

2?

3?

4?

x

y=cosx,x?R

? 4?

? 3?

? 2?

??

o
_

?

2?

3?

4?

x

-1

作业
1.总结本节课的知识,并进一步反思学习过程;

2.习题1.4 A组 1题;

3.利用所学知识探究五点法画余弦型函数图像


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