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函数值域的几种求法


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科技教育

函数值域的几种求法
杨龙婷

(河南省平顶山市理工学校

郭顾昌 河南平顶山

46709')

摘要:函数的值域是函数的三要素之一,在学习函羲中,求函蔹的值城是重点也

是难点。禹考中也经常出现事值城同意。尤其是二次函
数的最值最为常晃。 值域 关键词:函数

中图分类号:0174

文献标识码:A 个值。

文章编号:1672—379l(2008)06(c)一0150—ol

函数的值域是函数的三要素之一,在 学习函数中,求函数的值域是重点也是难 点。高考中也经常出现求值域问题,尤其 是二次函数的最值最为常见。下面就求函 数的值域归结几种常见方法。

当),≠l时,’.‘J∈月.‘.△4(),+l妒一
12(),一1)2≥0。

解般胆蜘黜删觚觳≯是
y。下+脚

解得2一√;sys蔓+垢,),≠l。

1单调性法:利用函数在定义域的单调性确 定值域的方法

综上可知,函数的值[2一√;,2+打]。
注意:①要检验二次项系数是否为零; ⑦对自变量限制在某一范围内时,仅用判 别式△≥O求值域不适合。 4换元法 通过变量代换达到化繁为简,化难为 易的目的,常用来解决含无理式的问题。 要注意引入新元后,新的函数定义域随之
求出。

印y=号朋:+册一÷,(一√i≤搠≤√F)
由图可知。

例l:求函数‘厂O)=√z+3一√l—x的
值域。

辨:厨,‰:掣,
J孵=一l时,只出=一1

解析:先证明函数的单调性,在求值 域。 解:要使函数有意义,必须满足x+3》
O,l—x≥0

而是随x的增大而减小的,故
/O)=√x+3一√l—x在【一3,l】上是增函
数。 而f(一3)=一2,f(1)=一2, .’.一2=f(一3)≤“x)≤“1)=2。 既函数的值域是【一2,2l。

又厢是随x的增大而增大的,

.’.一3≤x≤l。

.?嘲…计,掣]。
。y


‘例4:求函数',;x+√!蠢i的值域。

j解令,:压五,州≥”.y∈I毒,佃)。 函数y;吾,2?,+三=圭(,十,罗。
例5:求函茹;3co;‰一4cn瓤+1)的值
域。 分析:若令co缸=f则y-3产一4f+1,这是一 个关于f的一元二次函数,从而可求值域。 解:令cosx=f,日4—1≤f≤l,y=3f2—4f+l
这是一个关于f的一元二次函数,从而可从








\d.:g

/一





2配方法
就是一元二次函数化成含有自变量的 平方式与常数的和,再根据自变量的取值 范围确定函数的值域的方法。
例2:已知函数y=工2—4x+3,求当x∈

?.幢o,.。一陲蜘)。

5逆求法 原函数解析式),=氕x)是用工表示y,通过转 化为用y表示工,根据的范围来得到y的范围。

R时的值域;(2)当x∈【口,+m)时的值域。 解(1)’.’y=r一4x+3=(工一2)2一l,工∈月, .’.函数的值域是【-l,+。) (2)。.‘y=(工一2)2一1.J≥a, .‘.当时4≥2,J;2函数有最小值一l。
当>2时,工一2≥4—2>O,.‘.(x一2)2》

例5:求函数y2;矗的值域。

利用图象求值域。由右图可知。J=~l时。

解岫y=斋耕7 2专,
?.。猷,...2。o.。?专地
解得O


只。=3×卜ly一4×(_1)+l=&

(口一2)2。 故当口>2时,善=2时函数有最小值为
妒一4口+3。

,=争‰一;
.‘.函数y=3cosh一3cos工+l的值域为





1.即函数的值域为(0,1).
sinx—l

注意:配方后,要根据自变量的取值范 围,结合不等式的性质或二次函数的单调 性求值域。 3判别式法 对于一个函数,能够化为关于自变量 的一元二次方程,可由自变量为实数,得一 元二次方程有实数解,判别式,从而确定函 数的值域。

[喜8]。
-y

例6:求函数y。i而的值域? 解:由y2磊而得到蜘nJ。了号。
sinz一1


1+2y

因为J∈足,所以一l《sinJ《l,所以



一1


趣警<l’,既等价于等sl且
\ /l

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警洲,解得一2≤y《。。
。既函数的值域为卜2,01.

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佣s:求函数y=参{宝碧的值域.
【解】函数可化为(),一1)≯+2(y+lk+3(y— 1)=O,x∈R。

参考文献

仞6,求函数y=si似c∞+si毗栅甑的值
域。

当时y≠l,乒0∈月故y=1是函数的一


【l】全日制普通高级中学教科书.高一数学. 【2J学习指导与检测. 【31黄冈名师点拨.

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函数值域的几种求法
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 杨龙婷, 郭顺昌 河南省平顶山市理工学校,河南平顶山,467091 科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 2008,""(18) 0次

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