当前位置:首页 >> 数学 >>

2-1函数及其表示


第二章

函数、导数及其应用

一、函数与映射的概念

二、函数的定义域、值域
1.在函数y=f(x),x∈A中,自变量x的取值范围(数集A)叫做函数 的 定义域 ;函数值的 集合{f(x)|x∈A} 叫做函数的值域.

2.如果两个函数的 定义域 相同,并且 对应关系 完 全 一 致


则这两个函数为相等函数. 三、函数的表示方法

表示函数的常用方法有 解析法 、 图象法 和 列表法 .

四、分段函数
1.若函数在其定义域的不同子集上,因 对应关系 不 同 而 分 别 用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.

2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ,其值域等
于各段函数的值域的 并集 ,分段函数虽由几个部分组成,但它表示 的是一个函数.

一、函数与映射的概念 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对于函数f:A→B,其值域是集合B.( (2)函数y=1与y=x0是同一个函数.( (4)映射是特殊的函数.( ) ) ) )

(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.( 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×

二、函数的有关概念 2.给出四个命题: ①函数是其定义域到值域的映射; ②f(x)= x-3+ 2-x是一个函数; ③函数 y=2x(x∈N)的图象是一条直线; ④f(x)=lg x2 与 g(x)=2lg x 是同一函数. 其中正确的有( A.1 个 C.3 个 ) B.2 个 D.4 个

解析:由函数的定义知①正确. ∵满足 f(x)= x-3+ 2- x的 x 不存在, ∴②不正确. 又∵y=2x(x∈N)的图象是位于直线 y=2x 上的一群孤立的点,∴③ 不正确. 又∵f(x)与 g(x)的定义域不同,∴④也不正确.
答案:A

3.图中阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H),则该函数的大致图
象是( )

解析:由图知,随着h的增大,阴影部分的面积S逐渐减小,且减
小得越来越慢,结合选项可知选B. 答案:B

三、分段函数
?a· 2x,x≥0, 4.(2014 年高考江西卷)已知函数 f(x)=? -x (a∈R),若 2 , x <0 ?

f[f(-1)]=1,则 a=( 1 A. 4 C.1

) 1 B. 2 D.2

解析:由题意可知 f(-1)=2-(-1)=2, 1 则 f[f(-1)]=f(2)=a· 2 =4a=1,故 a= . 4
2

答案:A

5.设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,f(x) ax+1,-1≤x<0, ? ? ?1? ?3? =?bx+2 其中 a,b∈R.若 f? ?=f? ?,则 a+3b 的值为 ? 2? ? 2? ,0≤x≤1, ? ? x+1 ________.

解析:根据题意,可得

? ?f?-1?=f?1?, 1? ?3? ?3 ? ? 1? ?? f? ?=f? ?=f? -2?=f?- ?, ? ? ?2? ?2? ?2 ? ? 2? ?1-a=b+2, ? 2 ?1 即? b+2 1 ?2 =- a+1, 3 2 ? ? 2
?a=2, 解得? 故 a+3b=-10. b =- 4 , ?

答案:-10

函数的定义域问题(高频研析) 考情分析 函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合,

它是函数不可缺少的组成部分,归纳起来常见的命题角度有: (1)求给定函数解析式的定义域. (2)已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域. (3)已知定义域确定参数问题.

角度一 求给定函数解析式的定义域 1.(1)(2013 年高考山东卷)函数 f(x)= ( ) A.(-3,0] B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1]
? 1? (2)(2013 年高考安徽卷 ) 函数 y = ln ?1+ ? + x? ?

1-2x+

的定义域为 x+3

1

1-x2 的定义域为

________.

?1-2x≥0 ?2x≤1 ?x≤0, 解析:(1)由题意可知? ?? ?? ?x+3>0 ?x>-3 ?x>-3,

∴定义域为(-3,0]. 1 ? ?x<-1或x>0, ?1+x >0, (2)由? ?? ?0<x≤1. - 1 ≤ x ≤ 1 ? ? ?1-x2≥0 ∴该函数的定义域为(0,1].
答案:(1)A (2)(0,1]

角度二 已知 f(x)的定义域,求 f(g(x))的定义域 2. 已知 f(x)的定义域为 [ ?1,1] , 求函数 y= f (x ? x ? 1) 的定义域.
2

角度三 已知定义域确定参数问题 3. 若函数 f(x)= 为________.
解析:函数f(x)的定义域为R,所以2x2+2ax-a-1≥0对x∈R恒成 立,即2x2+2ax-a≥1,x2+2ax-a≥0,恒成立, 因此有Δ=(2a)2+4a≤0,解得-1≤a≤0. 答案:[-1,0]

2x2+2ax-a-1的定义域为 R, 则 a 的取值范围

求函数的解析式(师生共研)

例 1 (1)已知 f(1-cos x)=sin2x,求 f(x)的解析式; (2)已知 f(x)是二次函数且 f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求 f(x)的解 析式;
?1? (3)已知 f(x)+2f? ?=x(x≠0),求 f(x)的解析式. ? x?

解析 (1)f(1-cos x)=sin2x=1-cos2x, 令t=1-cos x,则cos x=1-t,t∈[0,2], ∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2], 即f(x)=2x-x2,x∈[0,2].

(2)设 f(x)= ax2+bx+c(a≠0),由 f(0)=2,得 c=2, f(x+1)-f(x)=a(x+ 1)2+b(x+1)-ax2-bx= x-1, 即 2ax+a+b=x-1,

?a=1, ? 2 ?2a=1, ∴? 即? 3 a + b =- 1 , ? ?b=- . 2 ?

1 2 3 ∴f(x)= x - x+ 2. 2 2

?1? ?1? 1 (3)∵f(x)+2f? ?= x,∴f? ?+2f(x)= . x ? x? ? x?

1? ?f?x?+2f? ? ?= x, ? ?x ? 解方程组? ?1? 1 ?f?x ?+2f?x?=x , ?? ? 2 x 得 f(x)= - (x≠0). 3x 3

1.已知函数 f(x)满足 f(x)+2f(3-x)=x2,则 f(x)的解析式为( A.f(x)=x2-12x+18 1 B.f(x)= x2-4x+6 3 C.f(x)=6x+9 D.f(x)=2x+3

)

解析:由 f(x)+2f(3-x)=x2 可得 f(3-x)+2f(x)=(3-x)2,由以上两 1 2 式解得 f(x)= x -4x+6. 3
答案:B

分段函数(师生共研)

例2

(2015 年湖北八校第一次联考)如图,点 P 从点 O 出发,分别

按逆时针方向沿周长均为 12 的正三角形、正方形运动一周,O,P 两点 连线的距离 y 与点 P 走过的路程 x 的函数关系分别记为 y=f(x), y=g(x),
?f?x?,f?x?≤g?x?, 定义函数 h(x)=? 对于函数 y=h(x),下列结论正确的 ?g?x?,f?x?>g?x?.

个数是(

)

①h(4)= 10;②函数 h(x)的图象关于直线 x=6 对称;③函数 h(x) 的值域为[0, 13 ];④函数 h(x)的递增区间为(0,5). A.1 C.3 B.2 D.4

?x,0≤x<4, ? 解析 由题意可得 f(x)=? ?x- 6?2+12,4≤x<8, ? ?12-x,8≤x≤12. ? ?x,0≤x<3, ? ?x-3?2+9,3≤x<6, g(x)=? 2 ? ?x-9? +9,6≤x<9, ? ?12-x,9≤x≤12.

由函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象可得函数 y=h(x)的图象.

由图象可知: (1)(2)(3)对,函数 h(x)在 (0,5), (6,7)上单调递增, (4) 错,故选 C.
答案 C

规律方法

(1)求分段函数的函数值时,应根据所给自变量的大小

选择相应段的解析式求解,有时每段交替使用求值.

(2)若给出函数值或函数值的范围求的变量值或自变量的取值范围,
应根据每一段的解析式分别求解.但要注意检验,是否符合相应段的 自变量的取值范围.

?2x,x>0, ?4? ? 4? ? 2.已知 f(x)= 则 f? ?+f?- ?等于________. ?3? ? 3? ?f?x+1?,x≤0,
?4? 4 8 解析:f? ?=2× = , 3 3 ? 3? ? 4? ? 1? ?2? 2 4 f?- ?= f?- ?=f? ?=2× = , 3 3 ? 3? ? 3? ? 3? ?4? ? 4? 8 4 f? ?+ f?- ?= + =4. ? 3? ? 3? 3 3

答案:4

本小节结束
请按ESC键返回


相关文章:
高中数学必修一1.2函数及其表示
高中数学必修一1.2函数及其表示_数学_高中教育_教育专区。高一函数 高中数学必修 1.2 函数及其表示练习题:单项选择题: (共 10 题,每小题 5 分,共 50 ...
人教版高一数学必修1_1.2函数及其表示
1.2 函数及其表示(1)函数的概念 ①设 A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任 何个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的...
新人教版高一数学必修一1.2函数及其表示
1.2 函数及其表示一、函数的概念 设集合 A、B 是非空的数集,对于 A 中的任意个数 x ,按照确定的对应法则 f ,在 集合 B 中都有唯一确定的数 f ( ...
2.1函数及其表示
2.1函数及其表示_高一数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2.1函数及其表示_高一数学_数学_高中教育_教育专区。§ 2.1 2014 高考...
1.2函数及其表示练习题及答案
1.2 函数及其表示练习题.选择题 1 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.x...
1.2函数及其表示(教案)
[课题]:第章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示(21) (22) 主备人:高一数学备课组陈伟坚 编写时间:2013 年 9 月 10 日 使用班级 计划上课时间: 2013-...
2.1函数及其表示
1 课时 函数及其表示 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域; 了解映射的概念. 2. 在实际情境中, 会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法...
2-1函数及其表示答案
易通培训中心试题 2-1 函数及其表示基础知识 1.[答案] B [解析] 函数的定义要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应, A 中 x∈(0,2]时没有函数...
2-1函数及其表示
2-1函数及其表示_数学_高中教育_教育专区。2-1 函数及其表示 基础巩固强化 1.(2011· 江嘉兴一 中模拟 )设集 合 M= {x|-2≤x≤2}, N= 浙 {y|0≤...
2.1函数及其表示典型例题及详细解答
2.1函数及其表示典型例题及详细解答_高一数学_数学_高中教育_教育专区。必修1函数部分 1.函数与映射 函数 两集合 A、 B 对应关系 f:A→B 设 A,B 是两个...
更多相关标签:
1.2.2函数的表示法 | 1.2.2函数的表示法ppt | 5.1函数与它的表示法 | 1.2函数及其表示ppt | 函数的表示法ppt | 函数的表示方法 | 函数及其表示 | 函数的表示法 |