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2016届云南省玉溪市一中高三上学期期中考试数学(理)试题 解析版


2016 届云南省玉溪市一中高三上学期期中考试 数学(理)试题及解析
一、选择题 1.若集合 A ? {2,3}, B ? {x x ? 5 x ? 6 ? 0}, 则A ? B ? (
2



A.{2,3} 【答案】A

B. ?

C.2

D.2,3

【解析】试题分析:? ? ? ?2,3? , B ? {2,3} ,所以 ? ? ? ? {2,3} 故选 A. 【考点】1、一元二次方程;2、集合的运算. 2.若复数 z 满足 zi ? 1 ? i ,则 z 的共轭复数是 A. ?1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? i 【答案】C 【解析】试题分析:? z ? ( ) D. 1 ? i

1 ? i (1 ? i) ? (?i) ? ? ?1 ? i , i i ? (?i )

? 复数 z ? ?1 ? i ( i 为虚数单位)的共轭复数是 ?1 ? i ,
故选 C. 【考点】复数的运算及有关概念. 3.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为(



A.3 【答案】B

B.4

C.5

D.6

【解析】试题分析:初始条件: a ? 1, i ? 0 , 运行第 1 次: i ? 0 ? 1 ? 1,a ? 1 ,判断 a ? 50 ?,否; ? 1 ? 1 ? 2 运行第 2 次: i ? 1 ? 1 ? 2,a ? 2 ,判断 a ? 50 ?,否; ? 2 ? 1 ? 5 运行第 3 次: i ? 2 ? 1 ? 3,a ? 3 ,判断 a ? 50 ?,否; ? 5 ? 1 ? 16
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运行第 4 次: i ? 3 ? 1 ? 4,a ? 4 ,判断 a ? 50 ?,是; ? 16 ? 1 ? 65 输出 i ? 4 ; 故选 B . 【考点】程序框图. 4.设 a ? log3 ? , b ? log? 3, c ? cos3 ,则( ) A. b ? a ? c 【答案】D B. c ? b ? a C. a ? c ? b D. a ? b ? c

【解析】试题分析:由于 a ? log3 ? ? log3 3 ? 1,0 ? log? 1 ? b ? log? 3 ? log? ? ? 1 , 而 c ? cos 3 ? cos

?
2

? 0,

所以 a ? b ? c , 故选 D. 【考点】利用函数的单调性比较大小. 5.已知 {an } 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? 5? ,则 cos(a2 ? a8 ) 的值为( A. ? )

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2

【答案】A 【解析】试题分析:因为数列 {an } 为等差数列,所以有 a1 ? a9 ? 2a5 ? a2 ? a8 ,又

? a1 ? a5 ? a9 ? 5? ,
? a2 ? a8 ? 10 10 1 ? 1 ? ,从而 cos(a2 ? a8 ) ? cos ? ? cos(3? ? ? ) ? ? cos ? ? 3 3 3 3 2

故选 A. 【考点】1.等差数列的性质;2.诱导公式. 【易错点晴】本题考查等差数列的性质的应用及诱导公式.本题关键是利用等差数列的 性质:下标和相等的两项和相等求出 a2 ? a8 的值,再利用诱导公式及特殊角的三角函 数求值,再利用诱导公式时符号的正确判断是易错之处. 6.给出下列命题: ①若直线 l 与平面 ? 内的一条直线平行, 则 l //? ; ②若平面 ? ? 平面 ? , 且? ? ? ? l , 则过 ? 内一点 ? 与 l 垂直的直线垂直于平面 ? ;③ ?x0 ? ?3, ??? , x0 ? ? 2, ??? ;④已
2 知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a ? 2a ”的必要不充分条件.其中正确命题有(



A.②④ B.①② C.④ D.②③ 【答案】C 【解析】试题分析:对于①还有可能直线 l 在平面 ? 内,故是假命题;对于②必须是过

? 内一点 ? 与 l 垂直的直线,且在 ? 内的直线才会垂直于平面 ? ,故也是假命题;对于
③大于 3 的任何实数,都是大于 2 的,因此并不存在实数在 ?3, ??? ,而不在 ? 2, ??? ,
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故 是 假 命 题 ; 对 于 ④ , 由 a ? 2 不 一 定 能 推 出 a 2 ? 2a ? 0 ? a ? 2 , 但 由

a 2 ? 2a ? 0 ? a ? 2 一定能推出 a ? 2 ,故是真命题,
故选 C. 【考点】命题真假的判断. 7.张、王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园。为安全起 见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这 6 人的入园顺序排 法种数共有( ) A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种 【答案】B
2 【解析】试题分析:分三步进行:第一步排两位爸爸,有 A2 种不同的方法;第二步先 3 将两个小孩看作一人和两位妈妈进行排列,共有 A3 种不同的排法;第三步调整两小孩 2 2 3 2 ? 2 ? 6 ? 2 ? 24 的位置,有 A2 种不同的方法;由分步计数原理知:共有 A2 ? A3 ? A2

种不同的入园顺序排法, 故选 B. 【考点】排列与组合. 8.设点 P 是曲线 y ? x ? 3x ?
3

2 上的任意一点, P 点处的切线的倾斜角为 ? ,则角 3
?? 5 ? ,? ?2 6 ? ? ? ?? ? 2? ?2 ?3 ? ?

? 的取值范围是(
A. ? ?,? ?

) B. ?

?2 ?3

? ? ?5 ?6 ? ?

C. ?0, ? ? ? ?,? ? 【答案】D

? ?? ? 2?

D. ?0, ? ? ? ?,? ?

【解析】 试题分析: 由题意及导数的几何意义知:tan ? ? y? ? 3x2 ? 3 ? ? 3 , 如图:

由图可知:角 ? 的取值范围是 ?0, ? ? ? ?,? ? ; 2 3
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? ?? ? ?

?2 ?

? ?

故选 D. 【考点】1、导数的几何意义;2、倾斜角与斜率的关系. 9.如右图是李大爷晨练时所走的离家距离 ( y ) 与行走时间 ( x ) 之间的函数关系图,若用 黑点表示李大爷家的位置,则李大爷散步行走的路线可能是( )

【答案】C 【解析】 试题分析: 由图可知: 李大爷晨练开始的一段时间匀速的离开家, 并越来越远; 到某一时间开始李大爷离家的距离保持在同一数值上,故李大爷一定在一圆弧上晨练, 最后返回家自然离家的距离就越来越近了;故只有 C 符合这三个特征. 故选 C. 【考点】函数与图象关系.

?x ? 2 ? 0 ? 10.若实数 x , y 满足不等式组 ? y ? 1 ? 0 ,目标函数 t ? x ? 2 y 的最大值为 2 , ?x ? 2 y ? a ? 0 ?
则实数 a 的值是( A. ?2 【答案】D ) B. 0 C. 1 D. 2

?x ? 2 ? 0 ? 【解析】试题分析:作出不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域,如下图: ?x ? 2 y ? a ? 0 ?

由图可知:要使目标函数 t ? x ? 2 y 的最大值为 2 ,则实数 a 的值是 2; 故选 D. 【考点】线性规划. 11.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8x 有一个共同的焦点 F,两曲 2 a b

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线的一个交点为 P,若 PF ? 5 ,则点 F 到双曲线的渐近线的距离为( A. 3 【答案】A 【解析】试题分析:∵抛物线 y 2 ? 8x 的焦点坐标 F(2,0) ,p=4, 因为抛物线的焦点和双曲线的焦点相同, ∴p=2c,即 c=2, ∵设 P(m,n) ,由抛物线定义知: B. 2 C. 6 D. 3



PF ? m ?

p ? m ? 2 ? 5,? m ? 3 2

∴P 点的坐标为 3, ?2 6 ,

?

?

? a 2 ? b2 ? 4 ? ? a ?1 ? , ? 9 24 解得: ? ? ?b ? 3 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
则渐近线方程为 y ? ? 3x , 即有点 F 到双曲线的渐进线的距离为 d ?

2 3 3 ?1

? 3,

故选 A. 【考点】双曲线的简单性质. 【思路点晴】本题主要考查了双曲线,抛物线的简单性质.考查了学生综合分析问题和 基本的运算能力.解答关键是利用性质列出方程组.根据抛物线和双曲线有相同的焦点 求得 p 和 c 的关系,根据抛物线的定义可以求出 P 的坐标,代入双曲线方程与

p ? 2c, b2 ? c2 ? a2 ,解得 a,b,得到渐近线方程,再由点到直线的距离公式计算即可
得到. 12.设直线 l 与曲线 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 有三个不同的交点 A、B、C,且|AB|=|BC|=
3



则直线 l 的方程为( A. y ? 5x ? 1 【答案】B

) B. y ? 3x ? 1 C. y ? 3x ? 1 D. y ? 4 x ? 1

【解析】试题分析:由题意,曲线 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 是由 g ( x) ? x ? 2 x ,向上平移 1
3 3

个单位得到的, 由于函数 g ( x) ? x ? 2 x 是奇函数,知对称中心为(0,0) ,
3

从而可知曲线 f ( x) ? x ? 2x ? 1 的对称中心:B(0,1) ,
3

设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 , 代入 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ,可得 x3 ? (k ? 2) x,? x ? 0, or, x ? ? k ? 2
3

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∴不妨设 A( k ? 2, k k ? 2 ? 1),(k ? 2) ∵|AB|=|BC|= ∴

?

k ? 2 ? 0 ? k k ? 1 ? 1 ? 1 ? 10

? ?
2

?

2

即 k 3 ? 2k 2 ? k ? 12 ? 0

?(k ? 3)(k 2 ? k ? 4) ? 0
?k ? 3,
∴直线 l 的方程为 y ? 3x ? 1 ; 故选 B. 【考点】1、函数的奇偶性与对称性;2、函数与方程的综合运用. 【方法点晴】本题考查直线与曲线的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,考查学 生的计算能力,设出直线方程是关键.由|AB|=|BC|及 A、B、C 在一直线上可知:点 A、 C 关于点 B 对称,知点 B 应是函数的对称中心,根据对称性确定 B 的坐标,设出直线方 程代入曲线方程, 求出 A 的坐标, 利用条件, 即可求出斜率的值, 从而得到直线的方程. 二、填空题 13 . 设 k ?

?

?

0

(sin x ? cos x)dx , 若 (1 ? kx)8 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a8 x8 , 则
?
?

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? a ? 8
【答案】0.



【解析】试题分析:由 k ?

?

0

(sin x ? cos x)dx ? (? cos x ? sin x)

?
0

? (? cos ? ? sin ? ) ? (? cos 0 ? sin 0) ? 2 ,
令 x ? 1 得: (1 ? 2 ?1)8 ? a0 ? a1 ? a2 ? ?? a8 ,即 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a8 ? 1 再令 x ? 0 得: (1 ? 2 ? 0)8 ? a0 ? a1 ? 0 ? a2 ? 0 ? ?? a8 ? 0 ,即 a0 ? 1 所以 a1 ? a2 ? a3 ???? ? a8 ? 0 故答案应填:0. 【考点】1、定积分;2、二项式定理. 14.一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面 上,则这个球的表面积是 .

【答案】 16? . 【解析】试题分析:由三视图知几何体是一个底面边长为 3,高为 2 的正三棱柱,设其 下接球的半径为 r,如图:
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B1

O2 r O A1

C1 D1

B

O1 A

C D
2

则 r ? O1 B ? OO1 ?
2

? 3?

2

? 12 ? 2 ,

所以 S球 ? 4? r ? 16?
2

故答案应填: 16? . 【考点】1.三视图;2.组合体;3.球的表面积.

?? ? ? ?D , 15. 已知 D 为三角形 ?? C 的边 ? C 的中点, 点 ? 满足 ?? ? ?? ? C? ? 0 ,
则实数 ? 的值为 【答案】-2. .

??? ? ??? ? ??? ?

? ? ???

??? ?

【解析】试题分析:? ?? ? ?? ? C? ? 0 ,

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ? ?? ? ?B ? ?C ,? PA ? 2 PD
从而 AP ? ?2 PD , 又? ?? ? ? ?D

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ? ? ?2
故答案应填:-2. 【考点】1、向量加法的几何意义;2、向量的数乘运算. 【方法点晴】本题主要考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、向量的数量积等知 识, 属于基础题. 将已知向量的等式变形, 利用向量加法的平行四边形法则得到 PA, PD 的关系,就可求出 ? .
2 2 16 . 数 列 {an } 的 通 项 an ? n (cos

??? ? ??? ?

n? n? ? sin 2 ) , 其 前 n 项 和 为 Sn , 则 S30 3 3

为 . 【答案】470.
2 2 【解析】试题分析: ? an ? n (cos

? S30 ? 12 ? cos

2? 4? ? 22 ? cos ? 32 ? cos 2? ? ? ? 302 ? cos 20? 3 3 1 1 1 1 1 1 ? ? ?1 ? ? 22 ? 32 ? ? 42 ? ? 52 ? 62 ? ? ? ? 282 ? ? 292 ? 302 2 2 2 2 2 2
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n? n? 2n? ? sin 2 ) ? n 2 cos 3 3 3

1 ? ? [(12 ? 22 ? 2 ? 32 ) ? (42 ? 52 ? 2 ? 62 ) ? ? ? (282 ? 292 ? 2 ? 302 )] 2 1 2 2 ? ? [(1 ? 3 ) ? (42 ? 62 ) ? ? ? (282 ? 302 ) ? (22 ? 32 ) ? (52 ? 6 2 ) ? ? ? (29 2 ? 30 2 )] 2 1 ? ? [?2(4 ? 10 ? 16 ? ? ? 58) ? (5 ? 11 ? 17 ? ? ? 59)] 2 1 (4 ? 58) (5 ? 59) ? ? [?2 ? ? 10 ? ? 10] ? 470 , 2 2 2
故答案应填:470. 【考点】数列求和. 【方法点晴】本题考查了二倍角的余弦公式,分组求和方法的应用,是中档题.解题的 关键是平方差公式的应用, 首先利用二倍角公式将数列的通项公式化简后代入到求和公 式中,求出特殊角的三角函数值之后,注意分组,再利用平方差公式求解. 三、解答题 17 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 为 a, b, c ,

2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C
(1)求角 A 的大小; (2)若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长. 【答案】 (1) A ?

?
3

; (2) AD ?

7 . 2

【解析】试题分析: ( 1 ) 根 据 2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C , 可 得

2 sin B co A s?

2sin B cos A ? sin B ,注意 si A ? n ( C,从而由三角形内角和定理可得 )

sin B ? 0 ,由此可求求角 A 的大小; ? (2)利用 b=2,c=1, A ? ,可求 a 的值,进而可求 B 角,利用 D 为 BC 的中点,可 3
求 AD 的长. 试题解析: (1) A ? C ? ? ? B, A, B ? (0, ? ) ? sin( A ? C ) ? sin B ? 0

2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin( A ? C) ? sin B

? cos A ?

1 ? ? A? 2 3

2 2 2 2 2 2 (2) a ? b ? c ? 2bc cos A ? a ? 3 ? b ? a ? c ? B ?

?
2

在 Rt ?ABD 中, AD ?

AB2 ? BD2 ? 12 ? (

3 2 7 ) ? 2 2

【考点】1、余弦定理;2、三角函数的恒等变换及化简求值. 18. (本小题满分 12 分)如图所示,直三棱柱 ??C ? ?1?1C1 的各条棱长均为 a , D 是 侧棱 CC1 的中点.

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(1)求证:平面 ??1D ? 平面 ???1?1 ; (2)求平面 ??1D 与平面 ?? C 所成二面角(锐角)的大小. 【答案】 (1)证明祥见解析; (2)

? . 4

【解析】试题分析: (1)取 AB1 的中点 E, AB 的中点 F.连接 DE、EF、CF.证明 DE 的平行线 CF 垂直平面 ABB1A1,内的相交直线 AB,BB1,即可证明平面 ??1D ? 平面

???1?1 ;
(2)建立空间直角坐标系,求出求平面 AB1D 的一个法向量,以及平面 ABC 的一个法向 量,利用向量的数量积求平面 AB1D 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小. 试题解析: (l)证明:取 AB1 的中点 E , AB 的中点 F .连结 DE、EF、CF . 故 EF / /

1 1 BB1 .又 CD / / BB1. ?四边形 CDEF 为平行四边形,? DE ∥ CF .又三 2 2

ABC 为 正 三 角 形 . CF ? 平 面 ABC , 棱柱 ABC ? 1A 1 BC 1是 直 三 棱 柱 . △

?CF ? BB1 , CF ? AB ,而 AB ? BB1 ? B ,? CF ? 平面 ABB1 A1 ,又 DE ∥ CF ,
? DE ? 平面 ABB1 A1 .
又 DE ? 平面 AB1D .所以平面 AB1D ? 平面 ABB1 A 1. ( 2 ) 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 , 则

A(

3a a a , , 0), C (0, a, 0), D(0, a, ), B1 (0, 0, a), B(0, 0, 0) 2 2 2

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得 AB1 ? (?

????

???? 3a a 3a a a , ? , a), AD ? (? , , ) 2 2 2 2 2

设 n ? (1, x, y) 为平面 AB1D 的一个法向量.

? ???? ?n ? AB1 ? (1, x, y ) ? (? ? 由? ?n ? ???? AD ? (1, x, y ) ? (? ? ?
即 n ? (1,

? 3a a , ? , a) ? 0, ?x ? ? 2 2 得, ? 3a a a ?y ? , , ) ? 0, ? 2 2 2 ?

3 , 3 2 3 , 3

3 2 3 , ) 3 3

显然平面 ABC 的一个法向量为 m(0, 0,1) .

3 2 3 , ) ? (0, 0,1) | ? 2 2 3 则 cos m, n ? ,故 m, n ? . ? 4 2 3 2 3 2 12 ? ( ) 2 ? ( ) 3 3 | (1,
即所求二面角的大小为

? 4

(此题用射影面积公式也可;传统方法做出二面角的棱,可得 ?B1 AB 即为所求) 【考点】1、平面与平面垂直的判定;2、与二面角有关的立体几何综合题. 【方法点晴】本题考查平面与平面垂直的判定,二面角及其度量,考查空间想象能力, 计算能力,是中档题.证明平面与平面垂直主要转化为证明一个平面内的一条直线与另 一个平面垂直即可,而证明直线与平面垂直,只需证明此直线与平面图内的两条相交直 线垂直;求二面角的大小新教材主要要求学生掌握用空间向量的方法来求:第一步建立 适当的空间直角坐标系,并设出点的坐标;第二步分别求出二面角的两个面的一个法向

?? ? ?? ? | m ? n | 量;第三步代公式 cos m, n ? ?? ? 即可求得,注意运算的准确性. m ?n

19. (本小题满分 12 分)为了提高我市的教育教学水平,市教育局打算从红塔区某学校 推荐的 10 名教师中任选 3 人去参加支教活动。这 10 名教师中,语文教师 3 人,数学教 师 4 人,英语教师 3 人. 求: (1)选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率; (2)选出的 3 人中,语文教师人数 X 的分布列和数学期望.

9 31 ; (2) X 的分布列见解析, EX ? . 120 10 【解析】试题分析: (1)设“选出的 3 名教师中语文教师人数多于数学教师人数”为事
【答案】 (1) 件 A, “恰好选出 1 名语文教师和 2 名英语教师”为事件 A1“恰好选出 2 名语文教师“为 事件 A2, ”恰好取出 3 名语文教师”为事件 A3 由于事件 A1,A2,A3 彼此互斥,且 A=A1∪ A2∪A3;分别计算出事件 A1,A2,A3 的概率再由概率和公式计算出事件 A 的概率; (2)首先找出 X =k 的所有可能取值,显然 k=0,1,2,3,然后分别计算出 k 的每一个取 值时的概率,即得 X 的分布列,再利用数学期望公式求其数学期望. 试题解析: (1)解:设“选出的 3 名教师中语文教师人数多于数学教师人数”为事件 A, “恰好选出 1 名语文教师和 2 名英语教师”为事件 A1“恰好选出 2 名语文教师“为事件
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A2, ”恰好取出 3 名语文教师”为事件 A3 由于事件 A1,A2,A3 彼此互斥,且 A=A1∪A2∪A3 而
P ( A1 )
2 7 3 C1 1 3 C3 ? , P(A2)=P(X=2)= 40 ,P(A3)=P(X=3)= , 3 40 120 C10

所以选出的 3 名教师中语文教师人数多于数学教师人数的概率为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
3 7 1 31 + + = 40 40 120 120

3 (2)解:由于从 10 名教师中任选 3 人的结果为 C10 ,从 10 名教师中任取 3 人,其中 k 3? k 恰有 k 名语文教师的结果数为 C3 C7 ,那么从 10 人任选 3 人,其中恰有 k 名语文教师
7 的概率为 P(X=k)= C3 C ,k=0,1,2,3. 3 C10 k 3?k

所以随机变量 X 的分布列是 X P 0 1 2 3

7 24

21 40

7 40

1 120

X 的数学期望 EX= 0 ?

7 21 7 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 24 40 40 120 10

【考点】1、和事件的概率公式;2、分布列与数学期望. 【易错点晴】本题考查和事件的概率公式、分布列与数学期望,属中档题.解题时一定 要注意弄清事件与事件之间的关系,否则容易出错;再就是计算一定要准确无误.

x2 y 2 20. (本小题满分 12 分)如图,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )经过点 ? 0,1? ,离心 a b
率e ?

3 . 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 x ? my ? 1 与椭圆 C 交于 ? , ? 两点,点 ? 关于 x 轴的对称点为 ?? ( ?? 与 ? 不重合) ,则直线 ??? 与 x 轴是否交于一个定点?若是,请写出定点坐标,并证明 你的结论;若不是,请说明理由.

x2 ? y 2 ? 1; 【答案】 (1) (2)直线 A ' B 与 x 轴交于定点 (4, 0) . 4
【解析】试题分析: (1)把点(0,1)代入椭圆方程求得 a 和 b 的关系,利用离心率求 得 a 和 c 的关系,进而联立方程求得 a 和 b,则椭圆的方程可得; (2)把直线方程与椭圆方程联立消去 y,设出 A,B 的坐标,则 A′的坐标可推断出, 利用韦达定理表示出 y1 ? y2 , y1 y2 ,进而可表示出 A′B 的直线方程,把 y=0 代入求得 x 的表达式,把 x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1 代入求得 x=4,进而可推断出直线 A′B 与 x 轴交于定点(4,0) .
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?b ? 1, ? 3 ?c 试题解析: (1)依题意可得 ? ? ,解得 a ? 2, b ? 1 . , a 2 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ?
所以,椭圆 C 的方程是

x2 ? y2 ? 1 4

? x2 ? ? y2 ? 1 (2)由 ? 4 ? x ? my ? 1 ?
得 (my ? 1)2 ? 4 y 2 ? 4 ,即 (m2 ? 4) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 则 A '( x1 , ? y1 ) .且 y1 ? y2 ? ?

2m 3 , y1 y2 ? ? 2 . 2 m ?4 m ?4

经过点 A '( x1 , ? y1 ) , B( x2 , y2 ) 的直线方程为

y ? y1 x ? x1 . ? y2 ? y1 x2 ? x1

令 y ? 0 ,则 x ?

x2 ? x1 ( x ? x ) y ? x ( y ? y2 ) x2 y1 ? x1 y2 y1 ? x1 ? 2 1 1 1 1 ? y2 ? y1 y1 ? y2 y1 ? y2

又? x1 ? my1 ? 1, x2 ? my2 ? 1 .

?



y?0





x?

(my2 ? 1) y1 ? (my1 ? 1) y2 2my1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? ? y1 ? y2 y1 ? y2

?

6m 2m ? 2 2 m ?4 m ?4 ?4 2m ? 2 m ?4

这说明,直线 A ' B 与 x 轴交于定点 (4, 0) 【考点】1、椭圆的标准方程;2、直线与圆锥曲线的综合问题. 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系.考查了学生基 础知识的综合运用.处理直线与圆锥曲线的关系问题时,注意韦达定理的应用,同时还 得特别注意直线斜率不存在时的情况的验证;平时多注意代数式的恒等变形能力的训 练,提高按目的变形的能力与计算的准确性与速度是顺利解决解析几何综合问题的关 键. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ?

ax ? b 在点 ? ?1, f ? ?1? ? 处的切线方程为 x2 ? 1

x ? y ? 3 ? 0.
(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)设 g ? x ? ? ln x,当x ??1, ?? ? 时,求证: g ? x ? ? f ? x ? ;
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(3)已知 0 ? a ? b ,求证: 【答案】 (1) f ( x) ?

ln b ? ln a 2a ? 2 . b?a a ? b2

2x ? 2 ; (2)证明祥见解析; (3)证明祥见解析. x2 ?1

【解析】试题分析: (1)首先求出 f(1)的值,进而得出 b-a=-4,然后求出函数的导 数,求出 f ?( ?1) ?

b ? ?1 ,就可以求出 a、b 的值,得出函数的解析式; 2

(2) 将不等式整理得出 ( x2 ? 1)ln x ? 2 x ? 2 , 问题转化成 x 2 ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ? 0 在 [1,+∞)上恒成立,然后设 h( x) ? x 2 ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ,并求出 h'(x) ,得出 x≥1 时 h'(x)≥0,可知 h(x)在[1,+∞)上单调递增,从而求出 h(x)的最小值,得 出结果.

b 2 ?2 b b (3)由(2)知有 ln ? a ,再注意到 0 ? a ? b ,从而 ? 1 ,由不等式的基本 a ( b )2 ? 1 a a ln b ? ln a 2a ? 2 性质化简整理即得 . b?a a ? b2 b?a 试题解析: (1)将 x ? ?1 代入切线方程得 y ? ?2 , ∴ f (?1) ? ? ?2 , 1?1
化简得 b ? a ? ?4 . f ?( x) ?

a( x 2 ? 1) ? (ax ? b) ? 2 x , (1 ? x 2 ) 2

2a ? 2(b ? a) 2b b ? ? ? ?1 , 4 4 2 2x ? 2 解得: a ? 2, b ? ?2 .∴ f ( x) ? 2 . x ?1 2x ? 2 (2)由已知得 ln x ? 2 在 [1,??) 上恒成立, x ?1 f ?(?1) ?
2 化简 ( x ? 1) ln x ? 2 x ? 2 ,即 x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ? 0 在 [1,??) 上恒成立.

2

设 h( x) ? x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 , h ?( x) ? 2 x ln x ? x ?
2

1 ?2, x

∵ x ?1

∴ 2 x ln x ? 0,

x?

1 ? 2 ,即 h?( x) ? 0 , x

∴ h( x) 在 [1,??) 上单调递增, h( x) ? h(1) ? 0 ,∴ g ( x) ? f ( x) 在 x ? [1,??) 上恒成 立

b 2 ?2 b b (3)∵ 0 ? a ? b , ∴ ? 1 ,由(Ⅱ)知有 ln ? a , a ( b )2 ? 1 a a ln b ? ln a 2a ln b ? ln a 2a 整理得 ,∴当 0 ? a ? b 时, . ? 2 ? 2 2 b?a b?a a ?b a ? b2
【考点】1、利用导数研究曲线上某点的切线方程;2、利用导数研究函数的单调性证明 不等式. 【方法点晴】本题考查了利用导数研究某点的切线方程以及函数恒成立问题,关于函数
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恒成立问题一般转化成求函数的最值问题,属于中档偏难题.运用函数单调性证明不等 式的关键在于构造恰当的函数,再利用导数判断其单调性,进而将不等式的证明转化为 函数值大小的判断即可. 22.选修 4 - 4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在极坐标系中,曲线 c : ? ? 2a cos ? ( a ? 0), l : ? cos(? ? 个公共点. (1)求 a ; (2) O 为极点, A, B 为曲线 c 上的两点,且 ?AOB ? 【答案】 (1)a=1; (2) 2 3 . 【解析】试题分析: (1)把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程,利用直线与 圆相切的性质即可得出 a; (2)不妨设 A 的极角为 θ ,B 的极角为 ? ?

?
3

)?

3 , c与l 有且仅有一 2

?
3

,求 OA ? OB 的最大值.

?
3

,则|OA|+|OB|=2cosθ +2cos (? ?

?
3

),

利用三角函数的单调性即可得出. 2 2 2 试题解析: (1)曲线 C:ρ =2acosθ (a>0) ,变形ρ =2ρ acosθ ,化为 x +y =2ax,即 2 2 2 (x﹣a) +y =a . ∴曲线 C 是以(a,0)为圆心,以 a 为半径的圆; 由 l:ρ cos(θ ﹣ )= ,展开为 y﹣3=0. =a,解得 a=1. , ,

∴l 的直角坐标方程为 x+ 由直线 l 与圆 C 相切可得

(2)不妨设 A 的极角为θ ,B 的极角为θ + 则|OA|+|OB|=2cosθ +2cos(θ + =3cosθ ﹣ 当θ =﹣ sinθ =2 cos(θ + ) ) ,

时,|OA|+|OB|取得最大值 2 3 .

【考点】简单曲线的极坐标方程. 23.选修 4—5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? 5 | ? | x ? 3 | . (1)求函数 f ( x) 的最小值 m ; (2)若正实数 a , b 满足
1 1 1 2 ? ? 3 ,求证: 2 ? 2 ? m . a b a b

【答案】 (1)2; (2)祥见解析. 【解析】试题分析: (1)利用三角不等式 a ? b ? a ? b 求函数的最小值 m. (2)利用柯西不等式: (a ? b )( x ? y ) ? (ax ? by) ,在不等式的左边
2 2 2 2 2

1 2 ? 2 乘 2 a b

? 1 ? 以1 ? ? ? 即可证明. ? 2?
2

2

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试题解析: (Ⅰ)∵ f ( x) ?| x ? 5 | ? | x ? 3|? x ? 5 ? 3 ? x ? 2 , 当且仅当 x ? [3, 5] 时取最小值 2, ? m ? 2 . (Ⅱ)? (
?(
1 2 1 1 2 1 2 ? )[12 ? ( ) 2 ] ? ( ? 1 ? ? ) ?3, a 2 b2 a b 2 2

1 2 3 ? 2 ) ? ? ( 3)2 , 2 a b 2



1 2 ? 2 ?2 2 a b

【考点】1、简单曲线的极坐标方程;2、参数方程与普通方程的互化.

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