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圆的幂和根轴


圆幂与根轴, 几何综合问题选讲 圆幂 点到圆的幂: 设 P 为⊙O 所在平面上任意一 点,PO=d,⊙O 的半径为 r,则 d2 -r2 就是点 P 对于⊙O 的幂.过 P 任作一直线与⊙O 交 于点 A、B,则 PA·PB= |d2 -r2 |. “到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直 的一条直线,如果此二圆相交,则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论.这条直线 称为两圆的“根轴” . 三个圆两两的根轴如果不互相平行,则它们交于一点,这一点称为 三圆的 “根心” . 三个圆的根心对于三个圆等幂. 当三个圆两两相交时, 三条公共弦(就 是两两的根轴)所在直线交于一点. 一、基本知识与性质 1.定义从一点 A 作一圆周的 任一割线,从 A 起到和圆相交为止的两段之积,称为点 A 对于这圆周的幂. 2.相交弦 定理圆内两条相交弦,被交点 P 分成的两条线段长的积相等(都等于尸对圆周的幂) . 3.切割线定理从圆外一点 P 引圆的切线和割线,切线长是点 P 到割线与圆交点的两条线段 长的比例中项(等于 P 对圆周的幂). 4.圆幂定理已知⊙(O, r) ,通过一定点 P,作⊙O 的任一割线交圆于 A, B, 则 PA, PB 为 P 对于⊙O 的幂, 记为 k, 则 当 P 在圆外时, k=PO2 -r2 ; 当 P 在圆内时,k= r2 -PO2 ; 当 P 在圆上时,k=0


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