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安徽省巢湖市庐江中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年安徽省巢湖市庐江中学高一(上)期中数学试卷
一.选择题(每题 5 分,共 10 题) 1.满足 A∪{1,﹣1}={1,0,﹣1}的集合 A 共有( A.2 个 B.4 个 C.8 个 D.16 个 2.函数 A.[1,+∞)B. 的定义域是: ( )



C.

D.
2



3.已知 f(x)为 R 上奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x,则当 x<0 时,f(x)=( 2 2 2 2 A.x ﹣2x B.﹣x +2x C.x +2x D.﹣x ﹣2x 4.方程 x +(m﹣2)x+5﹣m=0 的两根都大于 2,则 m 的取值范围是( ) A. (﹣5,﹣4] B. (﹣∞,﹣4] C. (﹣∞,﹣2] D. (﹣∞,﹣5)∪(﹣5,﹣4]
2



5.若 f(x)=﹣x +2ax 与 g(x)=(a+1) (a>﹣1 且 a≠0)在区间[1,2]上都是减函数, 则 a 的取值范围是( ) A. (﹣1,0) B. (0,1] C. (0,1) D. (﹣1,0)∪(0,1) 6.若函数 f(x)=x +x ﹣2x﹣2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如 下: f (1)=﹣2 f (1.5)=0.625 f (1.25)=﹣0.984 f (1.375)=﹣0.260 f (1.4375)=0.162 f (1.40625)=﹣0.054 那么方程 x +x ﹣2x﹣2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为( A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5
3 2 3 2

2

1﹣x



7.函数

(0<a<1)的图象的大致形状是(



A.

B.

C.

D.

8.三个数

之间的大小关系是(



A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c

9.已知函数

满足:对任意实数 x1,x2,当 x1<x2 时,总 ) D.
|x|

有 f(x1)﹣f(x2)>0,那么实数 a 的取值范围是( A. B. C.

10.定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2﹣x1,已知函数 y=2 的定义域为[a,b],值域 x 为[1,2],记区间[a,b]的最大长度为 m,最小长度为 n.则函数 g(x)=m ﹣(x+2n)的零 点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

二.填空题(每题 5 分,共 5 题) 11.计算 log23?log34+8 +log 27= .

12.

是偶函数,且在(0,+∞)是减函数,则整数 a 的值是



13.

<1,则 a 的取值范围是



14.函数 f(x)=a

x﹣1

+lg(3x﹣2)+2 恒过定点



15.下列说法: ①函数 的单调增区间是(﹣∞,1) ;

②若函数 y=f(x)定义域为 R 且满足 f(1﹣x)=f(x+1) ,则它的图象关于 y 轴对称; ③函数 f(x)=
2

(x∈R)的值域为(﹣1,1) ;

④函数 y=|3﹣x |的图象和直线 y=a(a∈R)的公共点个数是 m,则 m 的值可能是 0,2,3,4; ⑤若函数 f(x)=x ﹣2ax+5(a>1)在 x∈[1,3]上有零点,则实数 a 的取值范围是 其中正确的序号是 .
2



三.解答题(共 6 题) 2 2 16. (12 分) (2014 秋?巢湖校级期中) 已知集合 A={x|x ﹣1=0}, B={x|x ﹣2ax+b=0}, 若 B≠?, 且 A∪B=A,求实数 a,b 的值. 17. (12 分) (2014 秋?巢湖校级期中)求函数 y=log24x?log22x 在 ≤x≤4 的最值,并给出最值 时对应的 x 的值. 18. (12 分) (2014 秋?德州期末)某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产 一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益满足函数:R(x)= 其中 x 是仪器的月产量. (注:总收益=总成本+利润) (1)将利润 x 表示为月产量 x 的函数; (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元? ,

19. (12 分) (2013?息县校级一模)已知函数 f(x)= (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明 f(x)是 R 上的增函数.



20. (14 分) (2014 秋?东莞期中)已知幂函数 f(x)=x ,k∈Z,且 f(x)在(0,+∞) 上单调递增. (1)求实数 k 的值,并写出相应的函数 f(x)的解析式; (2)若 F(x)=2f(x)﹣4x+3 在区间[2a,a+1]上不单调,求实数 a 的取值范围; (3)试判断是否存在正数 q,使函数 g(x)=1﹣qf(x)+(2q﹣1)x 在区间[﹣1,2]上的值 域为 .若存在,求出 q 的值;若不存在,请说明理由.

(2﹣k) (1+k)

21. (13 分) (2013 秋?遵化市期中)如图 A、B、C 为函数 的横坐标分别是 t、t+2、t+4, (t≥1) (1)设△ ABC 的面积为 s,求 s=f(t) ; (2)判断函数 s=f(t)的单调性; (3)求函数 s=f(t)的最大值.

的图象上的三点,它们

2014-2015 学年安徽省巢湖市庐江中学高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(每题 5 分,共 10 题) 1.满足 A∪{1,﹣1}={1,0,﹣1}的集合 A 共有( ) A.2 个 B.4 个 C.8 个 D.16 个 考点: 子集与真子集. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,分析可得,集合 A 中必须有元素 0,可能含有元素 1 或﹣1,由此列举可 得全部可能的集合 A,即可得答案. 解答: 解:根据题意,集合可能为{0}、{0,1}、{0,﹣1}、{0,1,﹣1}, 共有 4 个; 故选 B 点评: 本题考查集合并集的性质,关键是由并集的定义,分析得到集合 A 中必须有的元素 和可能有的元素. 2.函数 A.[1,+∞)B. 的定义域是: ( )

C.

D.

考点: 对数函数的定义域;指数函数的定义、解析式、定义域和值域.

专题: 计算题;综合题. 分析: 无理式被开方数大于等于 0,对数的真数大于 0,解答即可. 解答: 解:要使函数有意义: ≥0,

即: 可得 0<3x﹣2≤1 解得 x∈ 故选 D. 点评: 本题考查对数函数的定义域,考查学生发现问题解决问题的能力,是基础题. 3.已知 f(x)为 R 上奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x,则当 x<0 时,f(x)=( 2 2 2 2 A.x ﹣2x B.﹣x +2x C.x +2x D.﹣x ﹣2x 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用.
2 2



分析: 欲求 x<0 时的函数解析式, 先设 x<0, 则﹣x>0, ﹣x 就满足函数解析式 ( f x) =x +2x, 用﹣x 代替 x,可得,x<0 时,f(﹣x)的表达式,再根据函数的奇偶性,求出此时的 f(x) 即可. 解答: 解:设 x<0,则﹣x>0, 2 2 ∵当 x≥0 时,f(x)=x +2x,∴f(﹣x)=x ﹣2x, 2 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣x +2x, 2 ∴当 x<0 时,f(x)=﹣x +2x 故选 B. 点评: 本题主要考查根据函数的奇偶性求函数的解析式,关键是先求 x<0 时 f(﹣x)的表 达式,再根据奇偶性求 f(x) . 4.方程 x +(m﹣2)x+5﹣m=0 的两根都大于 2,则 m 的取值范围是( ) A. (﹣5,﹣4] B. (﹣∞,﹣4] C. (﹣∞,﹣2] D. (﹣∞,﹣5)∪(﹣5,﹣4] 考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 综合题;数形结合;转化思想. 2 2 分析: 方程 x +(m﹣2)x+5﹣m=0 的两根都大于 2,则其相应的函数 f(x)=x +(m﹣2) x+5﹣m 与 x 轴的两个交点都在直线 x=2 的右边,由图象的特征知应有对称轴大于 2,f(2) >0,且△ ≥0,解此三式组成的方程组即可求出参数 m 的范围. 解答: 解:令 f(x)=x +(m﹣2)x+5﹣m,其对称轴方程为 x=
2 2

由已知方程 x +(m﹣2)x+5﹣m=0 的两根都大于 2,故有

2



解得﹣5<m≤﹣4

m 的取值范围是(﹣5,﹣4] 故应选 A. 点评: 本题考点是一元二次方程根的分布与系数的关系,考查知道了一元二次方程根的特 征,将其转化为方程组解参数范围的能力,本题解题技巧是数形结合,借助图象转化出不等 式组,此是这一类题的常用方法. 5.若 f(x)=﹣x +2ax 与 g(x)=(a+1) (a>﹣1 且 a≠0)在区间[1,2]上都是减函数, 则 a 的取值范围是( ) A. (﹣1,0) B. (0,1] C. (0,1) D. (﹣1,0)∪(0,1) 考点: 指数函数的单调性与特殊点;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: f(x)为二次函数,利用其单调性结合图象解决,而 g(x)为指数型函数,单调性 只需看底数与 1 的大小即可,两者结合取交集即得答案. 2 解答: 解:f(x)=﹣x +2ax 在区间[1,2]上是减函数,故对称轴 x=a,有 a≤1; 1﹣x g(x)=(a+1) 在区间[1,2]上是减函数,只需 a+1>1,即 a>0, 综上可得 0<a≤1. 故选 B. 点评: 本题给出含有参数的指数函数与二次函数有共同的单调减区间,求参数 a 的取值范 围,着重考查了基本初等函数的单调性与单调区间求法等知识,属于基础题. 6.若函数 f(x)=x +x ﹣2x﹣2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如 下: f (1)=﹣2 f (1.5)=0.625 f (1.25)=﹣0.984 f (1.375)=﹣0.260 f (1.4375)=0.162 f (1.40625)=﹣0.054 3 2 那么方程 x +x ﹣2x﹣2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为( ) A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5 考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 应用题. 分析: 由图中参考数据可得 f(1.43750>0,f(1.40625)<0,又因为题中要求精确到 0.1 可得答案. 解答: 解:由图中参考数据可得 f(1.43750)>0,f(1.40625)<0,又因为题中要求精确 到 0.1, 所以近似根为 1.4 故选 C. 点评: 本题本题主要考查用二分法求区间根的问题,属于基础题型.在利用二分法求区间 根的问题上,如果题中有根的精确度的限制,在解题时就一定要计算到满足要求才能结束.
3 2 2 1﹣x

7.函数

(0<a<1)的图象的大致形状是(



A.

B.

C.

D. 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 图表型;数形结合. 分析: 先根据 x 与零的关系对解析式进行化简, 并用分段函数表示, 根据 a 的范围和指数函 数的图形选出答案. 解答: 解:因 ,且 0<a<1,

故选 D. 点评: 本题考查函数的图象,函数是高中数学的主干知识,是高考的重点和热点,在高考 中占整个试卷的 左右.复习时,要立足课本,务实基础(特别是函数的图象与性质等) .

8.三个数

之间的大小关系是(



A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c 考点: 对数值大小的比较;指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: 利用对数函数与指数函数的性质,将 a,b,c 与 0 和 1 比较即可. 2 解答: 解:∵0<a=0.5 <1, b=log20.5<log21=0, 0.5 0 c=2 >2 =1, ∴b<a<c 故选:D. 点评: 本题考查对数值大小的比较,掌握对数函数与指数函数的性质是关键,属于基础题.

9.已知函数

满足:对任意实数 x1,x2,当 x1<x2 时,总 )

有 f(x1)﹣f(x2)>0,那么实数 a 的取值范围是(

A.

B.

C.

D.

考点: 函数单调性的性质;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知可得函数 是(﹣∞,+∞)上的减函数,

则分段函数在每一段上的图象都是下降的,且在分界点即 x=1 时,第一段函数的函数值应大 于等于第二段函数的函数值.由此不难判断 a 的取值范围. 解答: 解:∵对任意实数 x1,x2,当 x1<x2 时,总有 f(x1)﹣f(x2)>0, ∴函数 是(﹣∞,+∞)上的减函数,

当 x≥1 时,y=logax 单调递减, ∴0<a<1; 而当 x<1 时,f(x)=(3a﹣1)x+4a 单调递减, ∴a< ; 又函数在其定义域内单调递减, 故当 x=1 时, (3a﹣1)x+4a≥logax,得 a≥ , 综上可知, ≤a< . 故选 A 点评: 分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做法是:分 段函数的定义域、值域是各段上 x、y 取值范围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各段 上分别论证;分段函数的最大值,是各段上最大值中的最大者. 10.定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2﹣x1,已知函数 y=2 的定义域为[a,b],值域 x 为[1,2],记区间[a,b]的最大长度为 m,最小长度为 n.则函数 g(x)=m ﹣(x+2n)的零 点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;作图题;阅读型;数形结合;函数的性质及应用. |x| x 分析: 作函数 y=2 的图象, 从而结合图象可得 m=2, n=1; 从而化简函数 g (x) =2 ﹣ (x+2) ; x 再作函数 y=2 与 y=x+2 的图象,从而求得零点的个数即可. |x| 解答: 解:作函数 y=2 的图象如下,
|x|

则 m=2,n=1; x 则函数 g(x)=2 ﹣(x+2) ; x 作函数 y=2 与 y=x+2 的图象如下,

故有 2 个零点; 故选:C. 点评: 本题考查了函数的图象的作法及数形结合的思想应用,属于中档题. 二.填空题(每题 5 分,共 5 题) 11.计算 log23?log34+8 +log 27= 3 .

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用对数的运算法则化简求解即可. 解答: 解:log23?log34+8 +log 27=log23? +2 ﹣log33 =2+4﹣3=3.
2 3

故答案为:3. 点评: 本题考查对数的运算法则的应用,基本知识的考查.

12.

是偶函数,且在(0,+∞)是减函数,则整数 a 的值是 1,3,5 或﹣1 .

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 由函数在(0,+∞)是减函数得 a ﹣4a﹣9<0,即 数且函数为偶函数得 a 的值. 解答: 解:∵函数 ∴a ﹣4a﹣9<0 ∴ ∵a 为整数 ∴a=﹣1、0、1、2、3、4、5 ∴当 a=﹣1 时,y=x 是偶函数; ﹣9 当 a=0 时,y=x 是奇函数; ﹣12 当 a=1 时,y=x 是偶函数; ﹣13 当 a=2 时,y=x 是奇函数; ﹣12 当 a=3 时,y=x 是偶函数 ﹣9 当 a=4 时,y=x 是奇函数; ﹣4 当 a=5 时,y=x 是偶函数. ∴a=﹣1、1、3、5 故答案为:﹣1、1、3、5. 点评: 本题主要考查了函数的单调性及奇偶性,体现了分类的数学思想.
﹣4

2

,由 a 为整

是(0,+∞)是减函数

2

13.

<1,则 a 的取值范围是

a>1 或 0<a<



考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 由 <1=logaa,结合对数函数 y=logax 的单调性的考虑,需要对 a 分当 a>1 时

及 0<a<1 时两种情况分别求解 a 的范围 解答: 解:∵ 则当 a>1 时,可得 当 0<a<1 时,可得 综上可得, 故答案为: 点评: 本题主要考查了利用对数函数的单调性求解参数的取值范围,注意分类讨论思想的 应用. 14.函数 f(x)=a
x﹣1

<1=logaa ,此时可得 a>1 ,此时

+lg(3x﹣2)+2 恒过定点 (1,3) .

考点: 专题: 分析: 标. 解答:

对数函数的单调性与特殊点;指数函数的单调性与特殊点. 函数的性质及应用. 令 a 的幂指数 x﹣1=0,求得 x 和 f(x)的值,可得函数 f(x)的图象恒过定点的坐 解:令 a 的幂指数 x﹣1=0,求得 x=1,f(x)=3,
x﹣1

故函数 f(x)=a +lg(3x﹣2)+2 的图象恒过定点(1,3) , 故答案为: (1,3) . 点评: 本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,属于基础题. 15.下列说法: ①函数 的单调增区间是(﹣∞,1) ;

②若函数 y=f(x)定义域为 R 且满足 f(1﹣x)=f(x+1) ,则它的图象关于 y 轴对称; ③函数 f(x)=
2

(x∈R)的值域为(﹣1,1) ;

④函数 y=|3﹣x |的图象和直线 y=a(a∈R)的公共点个数是 m,则 m 的值可能是 0,2,3,4; ⑤若函数 f(x)=x ﹣2ax+5(a>1)在 x∈[1,3]上有零点,则实数 a 的取值范围是 其中正确的序号是 ③④⑤ .
2



考点: 命题的真假判断与应用;复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据当 x=0 时,函数的解析式无意义可判断①;根据函数对称性,可得函数 y=f(x) 的图象关于直线 x=1 对称,可判断②;画出函数 f(x)=
2

(x∈R)的图象,结合函数图
2

象分析出函数的值域,可判断③;画出函数 y=|3﹣x |的图象,可分析出函数 y=|3﹣x |的图象 和直线 y=a(a∈R)的公共点个数,可判断④;根据二次函数的图象和性质分析出函数 f(x) 2 =x ﹣2ax+5(a>1)在 x∈[1,3]上有零点,实数 a 的取值范围,可判断⑤. 解答: 解:当 x=0 时,x ﹣2x﹣3=﹣3,此时
2

无意义,故①错误;

若函数 y=f(x)满足 f(1﹣x)=f(x+1) ,则函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,故② 错误; 画出函数 f(x)=
2

(x∈R)的图象如图,由图可得函数的值域为(﹣1,1) ;
2

画出函数 y=|3﹣x |的图象, 由图可知, 函数 y=|3﹣x |的图象和直线 y=a 公共点可能是 0, 2, 3, 4 个,故④正确 若 f(x)在 x∈[1,3]上有零点,则 f(x)=0 在 x∈[1,3]上有实数解 ∴2a=x+ 在 x∈[1,3]上有实数解 令 g(x)=x+ 则 g(x)在[1, ∴2 ≤g(x)≤6,即 2 ]单调递减,在( ,3]单调递增且 g(1)=6,g(3)= ,

≤2a≤6,故

≤a≤3 故⑤正确

故答案为:③④⑤

点评: 本题考查的知识点是复合函数的单调性,函数的对称性,函数的值域,函数图象的 交点,函数的零点,是函数内容的综合应用,难度中档. 三.解答题(共 6 题) 16. (12 分) (2014 秋?巢湖校级期中) 已知集合 A={x|x ﹣1=0}, B={x|x ﹣2ax+b=0}, 若 B≠?, 且 A∪B=A,求实数 a,b 的值. 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出集合的等价条件,根据集合的基本运算进行求解即可. 2 2 解答: 解:∵A={x|x ﹣1=0}={1,﹣1},B={x|x ﹣2ax+b=0}, ∴若 B≠?,且 A∪B=A,则 B?A, 则 B={1},或{﹣1},或{1,﹣1},
2 2

若 B={1},则





,成立.此时 a=1,b=1.

若 B={﹣1},则





成立.此时 a=﹣1,b=1.

若 B={1,﹣1},







,满足条件.

综上 a=1,b=1 或 a=﹣1,b=1 或 a=0,b=﹣1 点评: 本题主要考查集合关系的应用,根据条件 A∪B=A 得 B?A,以及利用根与系数之间 的关系是解决本题的关键.

17. (12 分) (2014 秋?巢湖校级期中)求函数 y=log24x?log22x 在 ≤x≤4 的最值,并给出最值 时对应的 x 的值. 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 令 t=log2x,确定出 t=log2x 的最大值和最小值,进而得到 t 取值范围;由已知中 f(x) =log2(4x)?log2(2x) ,用换元法,将问题转化为一个二次函数在定区间上的最值问题,根据 二次函数的性质易得答案. 解答: 解:令 t=log2x,则 ∵ ≤x≤4, ∴log2 ≤t≤log24,即﹣2≤t≤2 y=(log2x) +3log2x+2=
2



∴t=﹣ ,即 x=

,f(x)min=﹣ ;当 t=2 即 x=4 时,f(x)max=12.

点评: 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质的综合应用,二次函数在定区间上的最 值问题,熟练掌握对数函数的性质和二次函数的性质是解答本题的关键. 18. (12 分) (2014 秋?德州期末)某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产 一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益满足函数:R(x)= 其中 x 是仪器的月产量. (注:总收益=总成本+利润) (1)将利润 x 表示为月产量 x 的函数; (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据利润=收益﹣成本,由已知分两段当 0≤x≤400 时,和当 x>400 时,求出利 润函数的解析式; (2)根据分段函数的表达式,分别求出函数的最大值即可得到结论. 解答: 解: (1)由于月产量为 x 台,则总成本为 20000+100x, 从而利润 f(x)= (2)当 0≤x≤400 时,f(x)=300x﹣ ;
2



﹣20000=﹣ (x﹣300) +25000,

∴当 x=300 时,有最大值 25000; 当 x>400 时,f(x)=60000﹣100x 是减函数, ∴f(x)=60000﹣100×400<25000. ∴当 x=300 时,有最大值 25000, 即当月产量为 300 台时,公司所获利润最大,最大利润是 25000 元. 点评: 本题主要考查函数的应用问题,根据条件建立函数关系,利用分段函数的表达式结 合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键.

19. (12 分) (2013?息县校级一模)已知函数 f(x)= (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明 f(x)是 R 上的增函数.



考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 综合题. 分析: (1)用函数的奇偶性定义判断,先求函数的定义域,看是否关于原点对称,若定义 域关于原点对称,再判断 f(﹣x)与 f(x)是相等还是相反即可

(2)可运用分离常数的办法求此函数的值域,将函数 f(x)= (x)=1﹣ ,再由复合函数值域的求法即换元法,求此函数值域即可

等价转化为 f

(3)先求函数的导函数,再证明导函数恒大于零,即可证明 f(x)是 R 上的增函数,也可用 单调性定义证明 解答: 解: (1)函数的定义域为 R, f(﹣x)+f(x)= +

= ∴函数 f(x)为奇函数 (2)∵f(x)=
x

=0

=1﹣

(a>1)

设 t=a ,则 t>0,y=1﹣

的值域为(﹣1,1)

∴该函数的值域为(﹣1,1) (3)证明:法一:∵f′(x)= ∴f(x)是 R 上的增函数 法二: 设 x1, x2∈R, 且 x1<x2 则 ( f x1) ﹣( f x2) = ∵x1,x2∈R,且 x1<x2∴ ∴ ﹣ = >0

<0,

>0,

>0,

<0,即 f(x1)﹣f(x2)<0,f(x1)<f(x2)

∴f(x)是 R 上的增函数 点评: 本题考察了函数奇偶性的定义和判断方法,求函数值域的方法和证明函数单调性的 方法,解题时要准确把握基本概念,熟练的运用转化化归思想解题 20. (14 分) (2014 秋?东莞期中)已知幂函数 f(x)=x ,k∈Z,且 f(x)在(0,+∞) 上单调递增. (1)求实数 k 的值,并写出相应的函数 f(x)的解析式; (2)若 F(x)=2f(x)﹣4x+3 在区间[2a,a+1]上不单调,求实数 a 的取值范围; (3)试判断是否存在正数 q,使函数 g(x)=1﹣qf(x)+(2q﹣1)x 在区间[﹣1,2]上的值 域为 .若存在,求出 q 的值;若不存在,请说明理由.
(2﹣k) (1+k)

考点: 二次函数的性质;幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由已知 f(x)在(0,+∞)上单调递增,结合幂函数的单调性与指数的关系可 构造关于 k 的不等式,解不等式求出实数 k 的值,并得到函数 f(x)的解析式; (2)由(1)中结果,可得函数 F(x)的解析式,结合二次函数的图象和性质,可构造关于 a 的不等式,解不等式求出实数 a 的取值范围; (3)由(1)中结果,可得函数 g(x)的解析式,结合二次函数的图象和性质,可求出 q 的 值. 解答: 解: (1)由题意知(2﹣k) (1+k)>0, 解得:﹣1<k<2.…(2 分) 又 k∈Z ∴k=0 或 k=1,…(3 分) 2 分别代入原函数,得 f(x)=x .…(4 分) 2 (2)由已知得 F(x)=2x ﹣4x+3.…(5 分) 要使函数不单调,则 2a<1<a+1,则
2

.…(8 分)

(3)由已知,g(x)=﹣qx +(2q﹣1)x+1.…(9 分) 假设存在这样的正数 q 符合题意, 则函数 g(x)的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为 因而,函数 g(x)在[﹣1,2]上的最小值只能在 x=﹣1 或 x=2 处取得, 又 g(2)=﹣1≠﹣4, 从而必有 g(﹣1)=2﹣3q=﹣4,解得 q=2. 此时,g(x)=﹣2x +3x+1,其对称轴 ∴g(x)在[﹣1,2]上的最大值为
2



, ,符合题意. .…

∴存在 q=2, 使函数 g(x) =1﹣qf(x) +(2q﹣1)x 在区间[﹣1,2]上的值域为

(14 分) 点评: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,幂函数的性质,熟练掌握基本初等函 数的图象和性质是解答本题的关键. 21. (13 分) (2013 秋?遵化市期中)如图 A、B、C 为函数 的横坐标分别是 t、t+2、t+4, (t≥1) (1)设△ ABC 的面积为 s,求 s=f(t) ; (2)判断函数 s=f(t)的单调性; (3)求函数 s=f(t)的最大值. 的图象上的三点,它们

考点: 函数单调性的判断与证明;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1) 根据题意得到 A、 B、 C 的坐标, 根据图象可得△ ABC 的面积为 SABC=S 梯形 ABFE+S 梯形 BCNF﹣S 梯形 ACNE,根据相应的面积公式,代入相关数据,化简运算即可得到答案; (2)根据(1)中所求的表达式,利用复合函数的单调性的性质,判断即可得到答案; (3)根据(2)中所得的函数的单调性,利用单调性,即可求得三角形面积的最大值. 解答: 解: (1)∵A、B、C 为函数 的图象上的三点,它们的横坐标分别是 t、t+2、 t+4, (t≥1) ∴A(t,

) , (t+2,

) , (t+4,

) ,

过 A、B、C 分别作 AE、BF、CN 垂直于 x 轴,垂足为 E、F、N, 由图象可得,△ ABC 的面积为 SABC=S 梯形 ABFE+S 梯形 BCNF﹣S 梯形 ACNE, ∴S= [﹣ ﹣ ]×[(t+2)﹣t]+ [﹣ ﹣

]×[(t+4)﹣(t+2)]﹣ [﹣ =﹣[ [ + + ]﹣ ]+2[ +



]×[(t+4)﹣t]

]

=﹣



+

=

=log3(1+

) ,t≥1,

∴△ABC 的面积为 S=log3(1+ (2)∵S=log3(1+ ∴函数 S 是由 μ=1+
2

) (t≥1) ;

) (t≥1) , 和 S=log3μ 复合而成的复合函数,

又 y=t +4t 在[1,+∞)上是增函数,且 y≥5, ∴μ=1+ ∴S=log3μ 在 在[5,+∞)上是减函数,且 1<μ< , 上是增函数,

∴复合函数 S=f(t)在[1,+∞)上是减函数; (3)由(2)知,S=f(t)=log3(1+ ∴当 t=1 时,S 取最大值 f(1) , 又 f(1)=log3 =2﹣log35, ∴函数 s=f(t)的最大值为 2﹣log35. )在[1,+∞)上是减函数,

点评: 本题考查了函数单调性的判断与证明,函数的值域的求解.考查了对数的运算以及 对数函数的单调性的应用,对于指数与对数函数的问题,如果底数 a 的值不确定范围,则需要 对底数 a 进行分类讨论,便于研究函数的图象和性质.属于中档题.


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