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2.3.2对数函数及应用


第 2章

函数概念与基本初等函数Ⅰ
2.3 对 数 函 数 2.3.2 对数函数及其应用

1. 通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量

关系,初步理解对数函数的概念,熟练掌握对数函数的主要
性质. 2. 观察了解对数函数的图象,通过图象探究对数函数的 性质,掌握一些简单的对数方程和对数

不等式的解法. 3. 结合指数函数与对数函数,了解反函数的概念,会求
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一些简单函数的反函数.
4. 掌握与对数函数有关的复合函数的单调性与最值问题

的解法.

函数y=logax(a>0且a≠1) 1.一般地,把___________________________________ 叫做对
自变量 数函数,其中 x 是______________________________________ ,函 (0,+∞) 数 的 定 义 域 是 ____________________________ , 值 域 是 (-∞,+∞) _____________________________________________ .
2.对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的图象与性质.
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图象

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(续上表)

性质

(0,+∞) (1)定义域:________ (2)值域:__________ R (1,0) (3)过点__________ (0,+∞) (4)①在_____________ 增 函数 上是____ (0,+∞) 上是 ②在___________ _________ 函数 减
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函数值分布

y> 0 ; (5)①x>1,______
y< 0 0<x<1,________

y< 0 ; ②x>1,________
y> 0 0<x<1,________

1 3.两函数 y=logax 与 y=logax(a>0,且 a≠1)图象之间有什么 关系? 两函数的图象关于 x 轴对称. 例如:y=log2x 与 y= log 1 x 的图象关于 x 轴对称.
2

4.由 y=2x 解出 x=log2y,再把 x 与 y 对调,即为 y=log2x,

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反函数 . 那么我们就说指数函数 y=2x 与对数函数 y=log2x 互为________ 函 反函数 数 y=ax 与 y=logax(a>0,且 a≠1)互为 ______.

y=x 对称. 5.互为反函数的两个函数的图象关于直线 __________ y=x 对称.在同一直 例如:y=2x 与 y=log2x 的图象关于直线_______
角坐标系中, 函数 y=2 的图象如下图所示.
x

1? ? 与 y=log2x 以及函数 y= ? ? ?2?

x

与 y= log 1 x 栏 目
2

目 链 接

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6. 在闭区间[m, n](m>0)上, 讨论函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1) 值域.

[logam,logan] ①若 a>1,则 f(x)=logax 的值域是____________________ ; [logan,logam] . ②若 0<a<1,则 f(x)=logax 的值域是__________________
7.函数 y=logaf(x)在定义域上的单调性由 y=logat 与 t=f(x)的
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同增异减 单调性确定,规律是“________________ ”.
(1)当 0<a<1 时,y=logat 在定义域上是减函数. ①若 t=f(x)是定义域上的减函数,则 y=logaf(x)是定义域上的 增函数;

②若 t=f(x)是定义域上的增函数,则 y=logaf(x)是定义域上的减 函数. (2)当 a>1 时,y=logat 在定义域上是增函数. ①若 t=f(x)是定义域上的减函数,则 y=logaf(x)是定义域上的减 函数; ②若 t=f(x)是定义域上的增函数,则 y=logaf(x)是定义域上的增 目 函数.
链 接 栏

减函数 ,而函数 例如:函数 y=log2(1+0.5x)是 R 上的____________
增函数 . y=log0.5(1+0.5x)是 R 上的__________ 增函数 , (3)函数 y=log2(1+2x)是 R 上的________ 而函数 y=log0.5(1+2x) 减函数 . 是 R 上的________

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一、对数函数概念的理解
对于 y=logax(a>0 且 a≠1),定义域为(0,+∞),即真数大于 0.因此在解有关对数函数方程式或对数不等式时,特别注意真数必 须大于零,底数大于零且不等于 1 等条件.
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二、对数函数图象和性质的应用

(1)求对数函数的定义域、值域. (2)比较对数值的大小. (3)对数函数的图象平移变化及会画图象. (4)判定对数函数的单调性. (5)对底数 a 进行分类讨论.
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三、对数函数与指数函数的关系

(1)y=logax(a>0 且 a≠1)与 y=ax 是互为反函数,y= logax 的定义域、值域分别是 y=a 的值域、定义域. (2)它们的图象关于 y=x 对称.
x

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题型一

求函数的定义域

例1

求下列函数的定义域.
2

(1)y=log(x+1)(x -2x-3); (2)y=log3[ log 1 (log3x)].
3

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分析:求与对数有关的定义域的问题,要考虑真数大于零, 底数大于零且不等于 1. x+1>0, ? ? 解析:(1)?x+1≠1, ? ?x2-2x-3>0

?x>3,
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故所求函数的定义域为(3,+∞). (2)∵ log 1 (log3x)>0,
3

∴0<log3x<1,∴1<x<3. 故所求函数的定义域为(1,3).

点评:(1)求对数函数的定义域,千万不要忘了负数和 0 没有 对数,即真数是正数,同时对数的底也是一个大于 0 不等于 1 的 数. (2)求定义域的常用方法是列不等式 (组 )、解不等式 (组 ),有 时在解不等式时,还要考虑函数的单调性. (3)有时求定义域比较特殊, 其解法为从外向里一层一层地将 对数符号去掉,每去掉一层对数符号都要考虑函数的定义域变 化,最后求出 x 的取值范围. (4)求出的定义域一定要写成集合 (区间)的形式.
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变式 训练

1.求下列函数的定义域: (1)f(x)=lg(x-2); (2)f(x)=

1

log 1 (2 x+ 1)
2



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2x+3 (3)f(x)= log2(3x-1). x-1

变式 训练
解析:(1)x-2>0?x>2,所求定义域为(2,+∞).

2x+ 1> 0
(2)由

log

1 ?0<2x+1<1?- <x<0. 1 (2 x+ 1) > 0 2
2

1 ∴所求函数定义域为(- ,0). 2 2x+3≥0, ? ? (3)?3x-1>0, ? ?x-1≠0 1 ?x> 且 x≠1. 3

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? ? 1 ? ∴所求函数的定义域为?x?x>3且x≠1? . ? ? ?

题型二
例2

对数函数的图象和性质

右图中的曲线是对数函数 y=logax 的图象,已知 a 值取 )
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4 3 1 3, , , ,则相应于 C1,C2,C3,C4 的 a 值依次为( 3 5 10 4 3 1 A. 3, , , 3 5 10 4 3 1 C. , 3, , 3 5 10 4 1 3 B. 3, , , 3 10 5 4 1 3 D. , 3, , 3 10 5

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解析:解法一:因为对数的底数越大,函数图象越远 离 y 轴的正方向,所以 C1,C2,C3,C4 的 a 值依次由大到 4 3 1 小,即 C1,C2,C3,C4 的 a 值依次为 3, , , ,故 3 5 10 选 A. 解法二:过(0,1)作平行于 x 轴的直线,与
栏 目 C1,C2,C3,链 接

C4 的交点的横坐标为(a1,1),(a2,1),(a3,1),(a4,1),其中 a1, a2,a3,a4 分别为各对数的底,显然 a1>a2>a3>a4,所以 C1, C2,C3,C4 的底数值依次由大到小,故选 A. 答案:A

点评:直线 y=1 把第一象限分成两个区域,每个区 域中对数函数的底数从左向右逐渐增大.图中曲线 C1, C2,C3,C4 分别相当于 y=loga1x,y=loga2x,y=loga3x, 栏 y=loga4x,则有 a1>a2>a3>a4>0.可总结出下表:
目 链 接

增减情况 底的关系

同增 a>b>1

同减 1>a>b>0

图象

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性质

①若x>1,则logbx>logax>0; ②若0<x<1,则 0> logax> logbx .

①若x>1,则 0> logbx > logax. ②若0<x<1,则logax>logbx>0.

变式 训练

2.已知 logn5>logm5,试确定 m 和 n 的大小关系.

解析:考察 y1=lognx 与 y2=logmx 在 x=5 时对应函数值的大 小关系. 它们的图象可能有三种情况:

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变式 训练

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可知:(1)m>n>1,(2)0<n<m<1,(3)n>1,0<m<1. 所以 m、n 的大小关系为 m>n>1 或 0<n<m<1 或 0<m<1<n.

例3

比较下列各组中两个值的大小.

(1)log0.58.1 与 log0.57.9; 1 1 (2)ln 与 ln ; 2 3 (3)(lg m)1.9,(lg m)2.1(m>1).
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分析:利用对数函数的单调性,及底数与图象 变化间的规律来比较真数大小即可. 解析:(1)log0.58.1<log0.57.9. 1 1 (2)ln >ln . 2 3
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(3)若 0<lg m<1,即 1<m<10 时,y=(lg m)x 在 R 上 为减函数, ∴(lg m)1.9>(lg m)2.1. 若 lg m=1,即 m=10 时, (lg m)1.9=(lg m)2.1.
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若 lg m>1 即 m>10 时, y=(lg m)x 在 R 上为增函数, ∴(lg m)1.9<(lg m)2.1.

点评 :比较两个对数值的大小的常用方法有:(1) 底数相同,真数不同时,用对数函数的单调性; (2)底 数不同,真数相同时,用对数函数的图象与底数的关系 来比较,也可用换底公式转化为同底的问题; (3)底数 和真数都不同时,则寻求中介值进行比较.
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变式 训练

3. (2013· 全国卷 )设 a= log36, b= log510, c= log714,则( A.c>b>a C.a>c>b ) B.b>c>a D.a>b>c
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变式 训练

解析:a=1+log32,b=1+log52,c=log72+1 而 0<log23<log25<log27 , ∴log32>log52>log72 即 a>b>c. 答案:D
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题型三

对数复合函数的单调区间与最值问题

例3

求函数 y=log0.5(3+2x-x2)的单调区间和值域.

分析 :根据复合函数的单调性:同增异减,但要注意函数 的定义域. 解析:由 3+2x-x2>0 解得-1<x<3. 故函数 y=log0.5(3+2x-x2)的定义域为(-1,3). 设 u=3+2x-x2,(-1<x<3),-1<x1<x2≤1. 则 u1<u2,从而 log0.5u1>log0.5u2,即 y1>y2.
栏 目 链 接

故函数 y=log0.5(3+2x-x2)在区间(-1,1]上单调递减; 同理可得,函数 y=log0.5(3+2x-x2)在区间(1,3)上单调 递增. ∵函数 u=3+2x-x =-(x-1) +4,(-1<x<3), ∴此函数 u 的值域为(0,4],又 y≥log0.54=-2. 故函数 y=log0.5(3+2x-x2)的值域为[-2,+∞).
2 2

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点评:(1)关于形如 y=logaf(x)的单调性与函数 u=f(x)(f(x)>0)的 单调性,当 a>1 时相同,当 0<a<1 时相反. (2)关于复合函数单调性的研究,既是高考的热点,又是学生的 弱点,因而是我们学习的重点,处理这类问题应把握好以下三点: ① 抓住中间变量的变化状态; ②掌握复合函数的单调性规律; ③ 注 意复合函数的定义域.
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变式 训练

4.求函数 y= log 1 (2x2-5x-3)的递减区间.
3

解析:∵2x2-5x-3>0. 1 解得:x<- 或 x>3. 2 令 u=2x2-5x-3,y= 1 ∵0< <1, 故函数 y= 3 数.
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log
1 3

1 3

u.

log

u 在定义域上是减函

变式 训练

欲求它的减区间,只要求出函数 u= 2x2 - 5x- 1 ? ? 3?x<-2或x>3?的递增区间. ? ? 1 ? 5? 2 49? ? ∵u=2?x-4? - ?x<-2或x>3?. 8? ? ? ? ∴它的递增区间为(3,+∞). 从而可得 y= (3,+∞).
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log

2 (2 x -5x-3)的递减区间为 1
3

变式 训练

5.求 f(x)=|lg|x-1||的单调区间.
解析:解法一:利用图象变换 y=lg x→y=lg |x|→y=lg |x-1|→y=|lg |x-1||,做出草图可得, 增区间为 (0,1)和 [2,+ ∞),减区间为 (-∞, 0]和 (1,2).
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变式 训练 解法二:将f(x)写成分段函数:

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变式 训练

?-lg ?1-x?,0<x<1, f(x)=? -lg ?x-1?,1<x<2, ?lg ?x-1?,x≥2.
同样可得增区间递增区间为(0,1)和[2,+∞),单 调递减区间为(-∞,0]和(1,2).

lg?1-x?,x≤0,

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变式 训练

6.求函数 y= log (x+ 1)- log 1 (x+ 1)2 在
5

2

5

x∈[0,4]上的最值.

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变式 训练

解析:y=log2 5(x+ 1)+ 2log5(x+ 1) =[log5(x+1)+1] -1. ∵x∈[0,4], ∴log5(x+1)∈[0,1], ∴当 log5(x+1)=0 时,y 的最小值为 0,当 log5(x+1)=1 时,y 的最大值为 3.
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2


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