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理科十五章复数学生版


第十五章复数
第一节复数的运算 题型 190 复数的分类、代数运算和两个复数相等的条件
i ? 3 ? 3i

例题 15.1 i 是虚数单位,

A、

1 3 ? i 4 12
1 ? 1? i
(B)

B、

1 3 ? i 4 12

C、

1 3 ? i 2 6

D、

1 3 ? i 2 6

例题 15.2 复数 (A)

1 1 ? i 2 2

1 1 ? i 2 2

(C)

1? i
?

(D) 1 ? i
?

2 例题 15.3 若复数 z ? 1 ? i ( i 为虚数单位) z 是 z 的共轭复数 , 则 z + z ?的虚部为

A 0 B -1 C 1 D -2 例题 15.4 复数 z=i(i+1) (i 为虚数单位)的共轭复数是 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 例题 15.5 若 例题 15.6 复数 A. =a+bi(a,b 为实数,i 为虚数单位) ,则 a+b=____________.

2 5

i3 (i 是虚数单位)的实部是 1 ? 2i 1 2 B. ? C. 5 5

D. ?

1 5

1 例题 15.7 复数 z=a+bi(a,b∈R)的虚部记作 Im(z)=b,则 Im( )= 2+i 1 A - 5 2 B. 5
4

1 C.- 3 )

1 D. . 3

? 1? 例题 15.8 复数 ? ?1 ? ? 的值是( ? i?
A.4i 例题 15.9 若复数 B.-4i

C.4 . )

D.-4

a ? 2i 为实数,则实数 a ? 1 ? 3i

训练题 1 复数 z 满足 z(1-i)=2,则 z=(

A.-1-i

B.-1+i

C.1-i
1

D.1+i

训练题 2 计算 i (1 ? i ) 2 等于( A. 2 ? 2i

) C. ?2 D. 2

B. 2 ? 2i

训练题 3 若复数 z ? (2 ? i )(a ? i ), 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为

训练题 4 复数 A. i

i?2 ?( ) 1 ? 2i
B. ?i
2

C. ?

4 3 ? i 5 5

D. ?

4 3 ? i 5 5
.

训练题 5 若 (a ? i ) 为纯虚数( i 为虚数单位) ,则实数 a =

训练题 6 已知复数 z1 ? 2 ? i , z2 ? 4 ? 3i 在复平面内的对应点分别为点 A、B,则 A、B 的中点 所对应的复数是 .

训练题 7 若复数 (1 ? bi )(2 ? i ) 是纯虚数( i 是虚数单位, b 是实数) ,则 b ? ( A、 2 B、 ?2 C、



1 2

D、 ?

1 2

训练题 8 已知 i 是虚数单位,满足 (1 ? i) z ? ?3 ? i 的复数 z 等于 A.-1+2i 训练题 9 复数 z ? A.第一象限 C.第三象限 B.-2-I C.-1-2i D.-2+i

(2 ? i ) 2 (i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于 1? i
B.第二象限 D.第四象限
2

训练题 10[2014·浙江卷] 已知 i 是虚数单位,a,b∈R,得“a=b=1”是“(a+bi) =2i” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 训练题 11 复数 z 满足 ( z ? i)i ? 2 ? i ,则 z = (A) ? 1 ? i (C) ? 1 ? 3i (B) 1 ? i (D) 1 ? 2i

-3+i 训练题 12 复数 z= 的共轭复数是 2+i (A)2+i (B)2-i (C)-1+i (D)-1-i 训练题 13 若复数 z 满足 z (2 ? i) ? 11 ? 7i(i 为虚数单位),则 z 为 (A)3+5i (B)3-5i (C)-3+5i (D)-3-5i

2

训练题 14 设 a, b ? R , i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 训练题 15 复数 A. 1+I B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

b 为纯虚数”的( i



2 等于 1? i
B. 1-i C. -1+i D. -1-i

训练题 16 对任意复数 z ? x ? yi ? x, y ? R ? , i 为虚数单位,则下列结论正确的是 (A) z ? z ? 2 y (C) z ? z ? 2 x (B) z 2 ? x2 ? y 2 (D) z ? x ? y
2

?3?i ? 训练题 17 复数 ? ? ? ? 1? i ?
(A) ?3 ? 4i (B) ?3 ? 4i (C) 3 ? 4i (D) 3 ? 4i

训练题 18 设 a,b 为实数,若复数 (A) a ?

1+2i ? 1 ? i ,则 a ? bi

3 1 ,b ? (B) a ? 3, b ? 1 2 2 1 3 (C) a ? , b ? (D) a ? 1, b ? 3 2 2 a ? 2i ? b ? i ? a, b ? R ? ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b ? 训练题 19 已知 i
A. ?1 B. 1 C. 2 D. 3 训练题 20 在复平面内,复数 6+5i, -2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则 点 C 对应的复数是 (A)4+8i (B)8+2i (C)2+4i (D)4+i 2 3 训练题 21 i 是虚数单位,计算 i+i +i = (A)-1 (B)1 (C) ?i (D) i 训练题 22 A.i

i 是虚数单位, (

1? i 4 ) 等于 ( 1-i

) C.1 D.-1

B.-i
2

训练题 23 复数(2+i) 等于 A.3+4i B.5+4i C.3+2i 训练题 24 在复平面内,复数 A. (1 ,3) B.(3,1)

D.5+2i

10i 对应的点的坐标为 3?i
C.(-1,3) D.(3 ,-1)

3

b ? R , a ? bi ? 训练题 25 设 a ,
训练题 26 下面是关于复数 z ?

11 ? 7i (i 为虚数单位) ,则 a ? b 的值为 ▲ . 1 ? 2i


2 的四个命题:其中的真命题为( ?1 ? i

p1 : z ? 2
( A) p2 , p3

p2 : z 2 ? 2i
( B ) p1 , p2

p3 : z 的共轭复数为 1 ? i
(C ) p? , p?

p4 : z 的虚部为 ?1
( D ) p? , p?

训练题 27 设 a, b ? R ,i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2

b 为纯虚数”的( i



训练题 28 若 1 ? 2i 是关于 x 的实系数方程 x ? bx ? c ? 0 的一个复数根,则( ) A.b ? 2, c ? 3 B.b ? ?2, c ? 3 C.b ? ?2, c ? ?1 D.b ? 2, c ? ?1 训练题 29 方程 x 2 ? 6 x ? 13 ? 0 的一个根是 A. ?3 ? 2i B. 3 ? 2i C. ?2 ? 3i 训练题 30 设 a,b∈R。“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 训练题 31 已知复数 z ? (3 ? i)
2

D. 2 ? 3i )

(i 为虚数单位),则|z|=_____. )

10i 训练题 32[2014·全国卷] 设 z= ,则 z 的共轭复数为( 3+i

A.-1+3i B.-1-3i C.1+3i D.1-3i

z - 训练题 33[2014·安徽卷] 设 i 是虚数单位, z 表示复数 z 的共轭复数.若 z=1+i,则 + i
- i· z =( )

A.-2 B.-2i C.2 D.2i 训练题 34[2014·北京卷] 复数?

?1+i? =________. ? ?1-i?
)

2

训练题 35[2014·福建卷] 复数 z=(3-2i)i 的共轭复数 z 等于(

A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i 训练题 36[2014·广东卷] 已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 z=( A.-3+4i B.-3-4i
4

)

C.3+4i D.3-4i 训练题 37[2014·湖北卷] i 为虚数单位,?

?1-i? =( ? ?1+i?

2

)

A.-1 B.1 C.-i D.i z+i 训练题 38[2014·湖南卷] 满足 =i(i 为虚数单位)的复数 z=(

z

)

1 1 1 1 A. + i B. - i 2 2 2 2 1 1 1 1 C.- + i D.- - i 2 2 2 2 - - - 训练题 39[2014·江西卷] z 是 z 的共轭复数,若 z+ z =2,(z- z )i=2(i 为虚数单位), 则 z=( )

A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i 训练题 40[2014·辽宁卷] 设复数 z 满足(z-2i)(2-i)=5,则 z=( A.2+3i B.2-3i C.3+2i D.3-2i 3 (1+i) 训练题 41[2014·新课标全国卷Ⅰ] ) 2=( (1-i)

)

A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 训练题 42[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2 +i,则 z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i 训练题 43[2014·山东卷] 已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a-i 与 2+bi 互为共轭复数, 2 则(a+bi) =( ) A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i 2-2i 训练题 44[2014·四川卷] 复数 =________. 1+i 7+i 训练题 45[2014·天津卷] i 是虚数单位,复数 =( 3+4i A.1-i C. 17 31 + i 25 25 B.-1+i 17 25 D.- + i 7 7 ( C. 1 ? i D. 1 ? i ( ) ) )

训练题 46 设复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 2i ,则 z ? A. ? 1 ? i B. ? 1 ? i

训练题 47 若复数 z 满足 ( z ? 3)(2 ? i) ? 5 ( i 为虚数单位),则 z 的共轭复数 z 为

5

A. 2 ? i 训练题 48 复数的 Z ?

B. 2 ? i

C. 5 ? i

D. 5 ? i ( )

1 模为 i ?1
B.

A.

1 2

2 2

C. 2

D. 2 ( D. )

训练题 49 若复数 z 满足 (3 ? 4i) z ?| 4 ? 3i | ,则 z 的虚部为 A. ?4 训练题 50 1+ 3i A. ?8 B. ?

4 5

C.4

4 5
( )

?

?

3

?
B. 8 C. ? 8 i D. 8 i

训练题 51 已知 i 是虚数单位,则 (?1 ? i)(2 ? i) ? A. ? 3 ? i B. ? 1 ? 3i C. ? 3 ? 3i 训练题 52 复数 2 ? 3i ( i 是虚数单位)的模是_______________ 训练题 53 已知复数 z ? D. ? 1 ? i





5i ( i 是虚数单位),则 z ? _________ 1 ? 2i
2

训练题 54 设 z ? (2 ? i) ( i 为虚数单位),则复数 z 的模为_________. 训练题 55 设 m ? R , m ? m ? 2 ? (m ?1)i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m ? ________
2 2

训练题 56 已知 a, b∈R, i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则 a + bi = ______. 训练题 57 已知 a∈R,且 0<a<1,i 为虚数单位,则复数 z=a+(a﹣1)i 在复平面内所对 应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 训练题 58 已知复数 z1 ? cos 23? ? i sin 23? 和复数 z2 ? cos37? ? i sin 37? , 则 z1 ? z2 为 ( )

A.

3 1 ? i 2 2

B.

1 3 ? i 2 2

C.

1 3 ? i 2 2

D.

3 1 ? i 2 2

训练题 59 设复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? 2 ? bi ,若 A. 2 B.

1 a + 2i 训练题 60 复数 在复平面内所对应的点在虚轴上,那么实数 a = 1- i
训练题 61 复数 2 的实部与虚部之和为( A. ?1
1? i

z2 为纯虚数,则实数 b ? ( ) z1 C. ?1 D. ?2
.



B.0

C.1

D.2 ( )

训练题 62 复数的 Z ?

1 模为 i ?1
6

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2

训练题 63

2 ?( 1? i



(A) 2 2 训练题 64

(B) 2

(C) 2

(D) 1 ( )

1 ? 2i ? (1 ? i ) 2
1 i 2
B. ?1 ?

A. ?1 ?

1 i 2

C. 1 ?

1 i 2

D. 1 ?

1 i 2
( )

训练题 65 复数 z ?

(2 ? i) 2 (i为虚数单位) ,则 | z |? i
B. 41 C.5 D. 5

A.25

训练题 66 设 i 是虚数单位,若复数 a ? A.-3 B.-1

10 (a ? R ) 是纯虚数,则 a 的值为 3?i
C.1 D.3





训练题 67 若 i ( x ? yi) ? 3 ? 4i , x, y ? R ,则复数 x ? yi 的模是 A.2 B.3 C.4 D.5





2 2 训练题 68 设 m ? R , m ? m ? 2 ? m ? 1 i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m ? ________.

?

?

训练题 69

i 为虚数单位,设复数 z1 , z 2 在复平面内对应的点关于原点对称,若 z1 ? 2 ? 3i ,则

z 2 ? __________.

训练题 70

i 是虚数单位,复数

2?i 在复平面上的对应点所在直线的方程是 1? i
B.x-y+2 =0 D.x-y-1=0
3 ? 4i 的共轭复数为( i

A.x+y -2 =0 C.x+y+1 =0 训练题 71 设 i 为虚数单位,则复数 A. C.



?4 ? 3i

B. D.

?4 ? 3i

4 ? 3i

4 ? 3i
) D.第四象限

训练题 72 复数 z ? A.第一象限

2 在复平面内对应的点位于( 1? i
B.第二象限

C.第三象限

7

训练题 73 已知复数 (1 ? 2i )i (其中 i 为虚数单位) 在复平面上对应的点 M 在直线 y ? mx ? n 上,其中 mn ? 0 ,则

1 1 ? 的最小值为 m n
2

。 )

训练题 74 已知 i 为虚数单位,若复数 (a ? 1) ? (a ? 1) i 为实数,则实数 a 的值为( A. ? 1 B.0 C. 1 D. 2

训练题 75 已知复数 z ? (3i ? 1)i (其中 i 为虚数单位) ,则复数 z 的共轭复数 z 是 A. ?3 ? i B. ?3 ? i C. 3 ? i D. 3 ? i

训练题 76 在复平面内,复数 z ? A.第一象限 C.第三象限

1 ? 2i 对应的点位于 1- i
B.第二象限 D.第四象限

训练题 77 若 i 为虚数单位,且复数 z 满足 (1 ? i) z ? 3 ? i ,则复数 z 的虚部是( ) A. 2i B. ?2i C. 2 D. ?2

训练题 78 定义:错误!未找到引用源。.若复数错误!未找到引用源。满足错误!未找到 引用源。,则错误!未找到引用源。等于 A.错误!未找到引用源。 找到引用源。 训练题 79 复数 z ? A.第一象限 B.错误!未找到引用源。 C. 错误! 未

D.错误!未找到引用源。

1? i (是虚数单位)在复平面内对应的点是位于( i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限



训练题 80

i 是虚数单位,若集合 A ? ?- 1,1, i,-i?,则下列选项不正确的是

A. i ? S 训练题 81 若 A.1

B. i ? S
2

C. i ? S
3

2 ?S D. i


2?i , a ? b ? 则( ? a ? bi ( a, b ? R, i 为虚数单位) i
B. 3 C.-1 D.-3

训练题 82 若(1+ai)i=﹣3+i,其中 a∈R,i 是虚数单位,则 a=
8



训练题 83 若 A. 3

2?i , a ? b ? 则( ? a ? bi ( a, b ? R, i 为虚数单位) i
B. 1 C.-1 D.-3



训练题 84 在复平面内,复数 z ? A.第一象限

2i - 1 的共轭复数对应的点位于( i ?1
C.第三象限

) . D.第四象限

B.第二象限

训练题 85 如图,在复平面内,若复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA, OB , 则复数 z1 ? z2 所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
y A

O B

x

训练题 86 已知复数 z 的共轭复数 z ? 1 ? 2i (i 为虚数单位) , 则 z 在复平面内对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

训练题 87 i 为虚数单位,复平面内表示复数 z ? A.第四象限 B.第三象限

?i 的点在 ( 2?i
D.第一象限 )

C.第二象限

训练题 88 在复平面内,复数 A. (1,1)

2i 对应的点的坐标为( 1? i B. ( ?1,1) C. ( ?1, ?1)

D. (1, ?1)

训练题 89 若 A.一 1

1? i ? a ? bi (其中 i 为虚数单位,a,b∈R)则 a+b=( i
B. 1 C. 0 D.2

)

训练题90已知 a ? 0 ,设 i 为虚数单位, A. 1
2 3

a?i ? 2 ,那么实数 a =( ) i
C. 2 D. 3

B. 2
4

i ?i ?i ? 训练题 91 复数 1 ? i 1 1 1 1 ? ? i ? ? i A. 2 2 B. 2 2

1 1 ? i C. 2 2

1 1 ? i D. 2 2

训练题 92 把复数 z 的共轭复数记作 z ,i 为虚数单位,若 z ? 1 ? i, 则(1 ? z) ? z = A.3-i B.3+i C.1+3i D.3
9

训练题 93 复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则 z z ? z ? 1 ? A. ? 2i C. i 训练题 94 B. ?i D. 2 i

a?i ?2 a 为正实数, i 为虚数单位, i ,则 a ?
(B) 3 (C) 2 (D)1

(A)2

?? ?i i ,则复数 z ? 训练题 95 若 A. ?? ? i B. ?? ? i C. ? ? i 训练题 96 若 a, b ? R , i 为虚数单位,且 (a ? i)i ? b ? i 则 z?
A. a ? 1 , b ? 1 C. a ? ?1, b ? ?1 D. a ? 1, b ? ?1
2011

D. ? ? i

B. a ? ?1, b ? 1

? 1? i ? ? ? 训练题 97 i 为虚数单位,则 ? 1 ? i ? A.- i B.-1
训练题 98

=

i 是虚数单位,若集合 S= B. i ? S
2

??1.0.1 ? ,则

C. i

D.1

A. i ? S 训练题 99 设复数 z 满足 A. 1 ? i

C. i ? S
3

2 ?S D. i
D. 2 ? 2i

?1 ? i ? z ? 2 ,其中 i 为虚数单位,则 z =
B. 1 ? i C. 2 ? 2 i

i?2 ? 训练题 100 复数 1 ? 2i
A.i B.-i

4 3 ? ? i C. 5 5

4 3 ? ? i D. 5 5

? ? ai 训练题 101 设 i 是虚数单位,复数 ? ? i 为纯虚数,则实数 a 为 ? ? ? ? ? (A)2 (B) ? 2 (C) (D) 训练题 102 设复数z满足 i( z ? 1) ? ?3 ? 2i (i 是虚数单位) ,则 z 的实部是_________
训练题 103 已知复数 是实数,求

z1 满足 ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i z z ?z ( i 为虚数单位) , 复数 2 的虚部为 2 , 1 2

z2 。

10

题型 191 复数的几何意义
例题 15.10 在复平面内,复数 A、第一象限
y A

3-i (i为复数单位)对应的点在( 2?i
C、第三象限

) D、第四象限

B、第二象限

O B

x

例题 15.11 如图,在复平面内,若复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA, OB ,则复数 z1 ? z2 所对 应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例题 15.12[2014·重庆卷] 复平面内表示复数 i(1-2i)的点位于(

)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例题 15.13 复数 z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于___ ____ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例题 15.14 若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 表示复数 Z,则 表示复数





z 的点是 1? i
C.G D.H

A.E B.F

训练题 1 复数 z=

i 在复平面上对应的点位于 1? i
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

[A] (A)第一象限

2?i 训练题 2 复数 z= 2 ? i ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 训练题 3 如图,在复平面内,点 A 表示复数 z ,则图中表示 z 的共轭复数的点是

( A. A B. B C. C D. D



11

训练题 4 若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,则在复平面内, z 对应的点的坐标是 A.





? 2, 4 ?

B.

? 2, ?4?

C.

? 4, ?2?

D.

? 4, 2 ?
( )

训练题 5 复数 z ? i ?1 ? i ? i为虚数单位 在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

?

?

训练题 6 在复平面内,复数 z ? A.第一象限

2i ( i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 1? i
C.第三象限 D.第四象限





B.第二象限

训练题 7 已知复数 z 的共轭复数 z ? 1 ? 2i (i 为虚数单位),则 z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 2 训练题 8 在复平面内,复数(2-i) 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 训练题 9 在复平面内,复数 i (2 ? i ) 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 训练题 10 复数 z=i(-2-i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 训练题 11 复数 z ? ?1 ? 2i ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 训练题 12 在实数集 R 中,我们定义的大小关系“ ? ”为全体实数排了一个“序” ,类似地, 我们在复数集 C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“ ” .定义如下:对于 D.第四象限





( D.第四象限 (





( (

) )

任意两个复数 z1 ? a1 ? b1i , z2 ? a2 ? b2i ( a1 , b1 , a2 , b2 ? R ,i 为虚数单位) , “ z1 当且仅当“ a1 ? a2 ”或“ a1 ? a2 且 b1 ? b2 ” .现有以下命题: ①若 z1 ②若 z1 ③若 z1

z2 ”

z2 ,则 z1 z2 ,则 z12 z2 , z2

z2 ;
2 ; z2

z3 ,则 z1

z3 ;

④对于复数 z

0 ,若 z1

z2 ,则 z ? z1

z ? z2 ;

其中正确命题的序号的是

(写出所以正确命题的序号) .

训练题 13 已知复数 Z ? a ? bi (其中为虚数单位) ,若 | a |? 1 且 | b |? 1 ,则 | Z |? 1 的概率 为 .

12

训练题 14 在复平面内,复数

?2 ? 3i 所对应的点位于( 3 ? 4i



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 训练题 15[2014·重庆卷] 实部为-2,虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的(

)

A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限 D.第四象限

训练题 16[2014·广东卷] 对任意复数ω 1,ω 2,定义ω 1*ω 2=ω 1? 2 ,其中? 2 是ω 2 的共 轭复数,对任意复数 z1,z2,z3 有如下四个命题: ①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3); ②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3); ③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3); ④z1*z2=z2*z1. 则真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

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