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第十一章 几何证明选讲(选修4-1)


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第十一章? ? 几何证明选讲(选修 4-1)
第一节 相似三角形的判定及有关性质

?

1.平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理 定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段 也相等. 推论 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 推论 2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰. (2)平行线分线段成比例定理 定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 2.相似三角形的判定定理 (1)判定定理 1:两角对应相等,两三角形相似. (2)判定定理 2:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. (3)判定定理 3:三边对应成比例,两三角形相似. 3.相似三角形的性质定理 (1)性质定理:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似 比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方. (2)推论:相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似 比的平方. 4.直角三角形相似的判定定理 (1)判定定理 1:如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似. (2)判定定理 2:如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似. (3)判定定理 3:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一 条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 5.直角三角形射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在 斜边上射影与斜边的比例中项.

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[小题体验]
1.(教材习题改编)如图,AB∥EM∥DC,AE=ED,EF∥BC,EF =12 cm,则 BC 的长为________ cm. 解析:由 AB∥EM∥DC? ? ??E 为 AD 中点,M 为 BC 的中点, ? AE=ED ?

又 EF∥BC?EF=MC=12 cm. ∴BC=2MC=24 cm. 答案:24 2.(教材习题改编)如图,D,E 分别是△ABC 的边 AB,AC 上的点, DE∥BC 且 AD =2,那么△ADE 与四边形 DBCE 的面积比是________. DB

解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC, ∴ ∵ ∴ S△ADE AD2 = 2. S△ABC AB AD AD 2 =2,∴ = , DB AB 3 S△ADE 4 S△ADE 4 = ,故 = . S△ABC 9 S四边形DBCE 5 4 5

答案:

1.在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱,导致错误. 2.在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误. 3.射影定理是直角三角形中的一个重要结论,其实质就是三角形的相似.但要注意满 足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形,所以要搞清楚定理中的条件和 结论之间的关系,不能乱用.

[小题纠偏]
1.(2016· 鞍山模拟)如图,在?ABCD 中,E 是 BC 上一点,BE∶EC =2∶3,AE 交 BD 于点 F,则 BF∶FD 的值为________. 解析:因为 AD=BC,BE∶EC=2∶3, 所以 BE∶AD=2∶5,因为 AD∥BC, 所以 BF∶FD=BE∶AD=2∶5, 2 所以 BF∶FD 的值为 . 5 答案: 2 5

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2.如图,在 Rt△ABC 中 ,∠BAC=90°,AD 是斜边 BC 上的高,若 AB∶AC=2∶1,则 AD∶BC 为________. 解析:设 AC=k,则 AB=2k,BC= 5k, ∵∠BAC=90°,AD⊥BC, ∴AC2=CD· BC, ∴k2=CD· 5k,∴CD= 又 BD=BC-CD= ∴AD2=CD· BD= ∴AD= 5 k, 5

4 5 k, 5

5 4 5 4 k· k= k2, 5 5 5

2 5 k,∴AD∶BC=2∶5. 5

答案:2∶5

考点一

平行线分线段成比例定理的应用?基础送分型考点——自主练透?
[题组练透]

1. 如图, 在梯形 ABCD 中, AD∥BC, BD 与 AC 相交于点 O, 过点 O 的直线分别交 AB,CD 于 E,F,且 EF∥BC,若 AD=12, BC=20,求 EF 的值. 解:∵AD∥BC, OB BC 20 5 ∴OD=AD= = , 12 3 ∴ OB 5 = . BD 8

OE OB 5 ∵OE∥AD,∴AD=BD= . 8 5 5 15 ∴OE= AD= ×12= , 8 8 2 3 3 15 同理可求得 OF= BC= ×20= , 8 8 2 ∴EF=OE+OF=15. 2.如图,在△ABC 中,点 D 是 AC 的中点,点 E 是 BD 的中点,AE 交 BC 于点 F, BF 求 的值. FC

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解:如图,过点 D 作 DM∥AF 交 BC 于点 M. ∵点 E 是 BD 的中点, ∴在△BDM 中,BF=FM. 又点 D 是 AC 的中点, ∴在△CAF 中,CM=MF, BF ∴FC= BF 1 = . FM+MC 2

[谨记通法]
平行线分线段成比例定理及推论的应用的一个注意点及一种转化 (1)一个注意点:利用平行线分线段成比例定理来计算或证明,首先要观察平行线组, 再确定所截直线,进而确定比例线段及比例式,同时注意合比性质、等比性质的运用. (2)一种转化:解决此类问题往往需要作辅助的平行线,要结合条件构造平行线组,再 应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题.

考点二

相似三角形的判定及性质

(重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]
如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,D,E,F 分别在 1 1 1 AB,AC,BC 上,AE= AC,BD= AB,且 CF= BC. 3 3 3 求证:(1)EF⊥BC; (2)∠ADE=∠EBC. 证明:设 AB=AC=3a, 则 AE=BD=a,CF= 2a. CE 2a 2a 2 CF 2 (1)CB= = , = = . 3 3 2a 3 CA 3a 又∠C 为公共角, 故△BAC∽△EFC, 由∠BAC=90°,得∠EFC=90°, 故 EF⊥BC. FC (2)由(1)得 EF=AC· AB= 2a, AE a 2a 2 AD 2 故EF= = ,BF= = , 2 2 2a 2 2a

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AE AD = , EF BF

∴△ADE∽△FBE, 所以∠ADE=∠EBC.

[由题悟法]
证明相似三角形的一般思路 (1)先找两对内角对应相等. (2)若只有一个角对应相等,再判定这个角的两邻边是否对应成比例. (3)若无角对应相等,就要证明三边对应成比例.

[即时应用]
如图,已知在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,且 AD=AC,DE ⊥BC,DE 与 AB 相交于点 E,EC 与 AD 相交于点 F. (1)求证:△ABC∽△FCD; (2)若 S△FCD=5,BC=10,求 DE 的长. 解:(1)证明:因为 DE⊥BC,D 是 BC 的中点,所以 EB=EC,所以∠B=∠BCE.又因 为 AD=AC,所以∠ADC=∠ACB. 所以△ABC∽△FCD. (2)如图,过点 A 作 AM⊥BC, 垂足为点 M. 因为△ABC∽△FCD,BC=2CD, 所以 S△ABC ?BC?2 = =4. S△FCD ?CD?

又因为 S△FCD=5,所以 S△ABC=20. 1 因为 S△ABC= BC· AM,BC=10, 2 1 所以 20= ×10×AM, 2 所以 AM=4. 因为 DE∥AM,所以 DE BD = . AM BM

1 5 因为 DM= DC= ,BM=BD+DM, 2 2 所以 DE 5 8 = ,解得 DE= . 4 5 3 5+ 2

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考点三

直角三角形中的射影定理

(重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]
如图所示,CD 垂直平分 AB,点 E 在 CD 上,DF⊥AC,DG⊥BE, F,G 分别为垂足. 求证:AF· AC=BG· BE. 证明:因为 CD 垂直平分 AB, 所以∠ADC=∠BDC=90°,AD=D 在 Rt△ADC 中,因为 DF⊥AC, 所以 AD2=AF· AC. 同理 BD2=BG· BE. 所以 AF· AC=BG· BE. B.

[由题悟法]
对射影定理的理解和应用 (1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影. (2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化,有时还要将等积式转化为比例式或将比 例式转化为等积式,并且注意射影定理的其他变式. (3)注意射影定理与勾股定理的结合应用.

[即时应用]
在 Rt△ACB 中,∠C=90°,CD⊥AB 于 D,若 BD∶AD=1∶9,求 tan∠BCD 的值. 解:由射影定理得 CD2=AD· BD, 又 BD∶AD=1∶9, 令 BD=x,则 AD=9x(x>0). ∴CD2=9x2, ∴CD=3x. Rt△CDB 中,tan∠BCD= BD x 1 = = . CD 3x 3

EF FG 1.如图,在四边形 ABCD 中,EF∥BC,FG∥AD,求BC+AD的值.

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解:由平行线分线段成比例定理得 EF AF FG FC BC=AC,AD=AC, EF FG AF FC AC 故BC+AD=AC+AC=AC=1. 2.如图,等边三角形 DEF 内接于△ABC,且 DE∥BC,已知 AH⊥BC 于点 H,BC=4,AH= 3,求△DEF 的边长. 解:设 DE=x,AH 交 DE 于点 M,显然 MH 的长度与等边 三角形 DEF 的高相等, DE AM AH-MH 又 DE∥BC,则BC= AH = AH , x 所以 = 4 3- 3 3 x 2 2-x 4 = ,解得 x= . 2 3

4 故△DEF 的边长为 . 3 3.如图,M 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点,直线 l 过点 M 分别交 AD,AC 于点 E,F,交 CB 的延长线于点 N.若 AE=2, AD=6,求 AF 的值. AC

解:∵AD∥BC, ∴△AEF∽△CNF, ∴ ∴ AF AE = , CF CN AF AE = . AF+CF AE+CN

∵M 为 AB 的中点, AE AM ∴BN=BM=1,∴AE=BN, ∴ AF AF AE AE = = = . AC AF+CF AE+BN+BC 2AE+BC

∵AE=2,BC=AD=6, AF ∴AC= 2 1 = . 2×2+6 5

4.如图,AD,BE 是△ABC 的两条高,DF⊥AB,垂足为 F,交 BE 于点 G,交 AC 的延长线于 H,求证:DF2=GF· HF. 证明:在△AFH 与△GFB 中,

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因为∠H+∠BAC=90°, ∠GBF+∠BAC=90°, 所以∠H=∠GBF. 因为∠AFH=∠BFG=90°, 所以△AFH∽△GFB, 所以 HF AF = , BF GF

所以 AF· BF=GF· HF. 因为在 Rt△ABD 中,FD⊥AB, 所以 DF2=AF· BF. 所以 DF2=GF· HF. 5.(2016· 大连模拟)如图, 已知 D 为△ABC 中 AC 边的中点, AE∥BC, ED 交 AB 于 G,交 BC 延长线于 F,若 BG∶GA=3∶1,BC=8,求 AE 的长. 解:因为 AE∥BC,D 为 AC 的中点, AE AG 1 所以 AE=CF,BF=BG= . 3 设 AE=x,又 BC=8, 所以 x 1 = ,所以 x=4. x+8 3

所以 AE=4. 6.(2016· 大连模拟)如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点,AE 的延长线交 BC 于 F. BF (1)求FC的值; (2)若△BEF 的面积为 S1,四边形 CDEF 的面积为 S2,求 S1∶S2 的值. 解:(1)过点 D 作 DG∥BC,并交 AF 于点 G,

因为 E 是 BD 的中点,所以 BE=DE. 又因为∠EBF=∠EDG,∠BEF=∠DEG, 所以△BEF≌△DEG,则 BF=DG, 所以 BF∶FC=DG∶FC. 又因为 D 是 AC 的中点,则 DG∶FC=1∶2,

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BF 1 则 BF∶FC=1∶2,即 = . FC 2 (2)若△BEF 以 BF 为底,△BDC 以 BC 为底, 则由(1)知 BF∶BC=1∶3, 又由 BE∶BD=1∶2,可知 h1∶h2=1∶2, 其中 h1,h2 分别为△BEF 和△BDC 的高, 则 S△BEF 1 1 1 = × = , S△BDC 3 2 6

则 S1∶S2=1∶5. 1 故 S1∶S2 的值为 . 5 7.如图,在△ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆 交于点 P,交 BC 的延长线于点 D. PC PD (1)求证:AC=BD; (2)若 AC=3,求 AP· AD 的值. 解:(1)证明:因为∠CPD=∠ABC,∠PDC=∠PDC, PC PD 所以△DPC∽△DBA,所以 = . AB BD PC PD 又 AB=AC,所以AC=BD. (2)因为∠ABC+∠APC=180°,∠ACB+∠ACD=180°, ∠ABC=∠ACB, 所以∠ACD=∠APC. 又∠CAP=∠DAC,所以△APC∽△ACD, AP AC 所以AC=AD. 所以 AP· AD=AC2=9. 8.△ABC 中,D,E,F 分别是 BC,AB,AC 上的点,AD,EF 交于点 P,若 BD=DC,AE=AF. AB PF 求证:AC=PE. 证明:过 F 作 MN∥AD 交 BA 的延长线及 DC 于 M,N.

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对△MEF,有

PF AM = , PE AE

PF AM 因为 AE=AF,所以PE= AF . AB BD 对△MBN,有AM=DN, AB DC 因为 BD=DC,所以AM=DN. AC DC AB AC 对△ADC,有AF=DN,所以AM=AF. AB AM AB PF 所以AC= AF ,所以AC=PE.

第二节

直线与圆的位置关系

1.圆周角 (1)定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (2)推论 1:①同弧或等弧所对的圆周角相等; ②同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. (3)推论 2:①半圆(或直径)所对的圆周角是直角; ②90°的圆周角所对的弦是直径. 2.圆的切线 (1)判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (2)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. (3)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连 线平分两条切线的夹角. 3.弦切角定理及其推论 (1)定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. (2)推论:弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半. 4.圆中的比例线段 (1)相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等. (2)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段 长的积相等. (3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条

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线段长的比例中项.

[小题体验]
1.(教材习题改编)如图, 已知 AB, BC 是⊙O 的两条弦, AO⊥BC, AB= 3,BC=2 2,则⊙O 的半径等于________. 解析:设垂足为 D,⊙O 的半径等于 R, ∵AB,BC 是⊙O 的两条弦, AO⊥BC,AB= 3,BC=2 2, ∴AD=1,∴R2=2+(R-1)2, ∴R=1.5.故⊙O 的半径为 1.5. 答案:1.5 2.如图,AC 为⊙O 的直径,OB⊥AC,弦 BN 交 AC 于点 M.若 OC = 3,OM=1,则 MN 的长为________. 解析:由题意得: CM=CO+OM= 3+1, AM=AO-OM= 3-1, BM2=OB2+OM2=4,BM=2, 根据相交弦定理有 CM· AM=BM· MN, 代入数值可解得 MN= 答案:1 3.如图,⊙O 的直径 AB=6 cm,P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点 作⊙O 的切线, 切点为 C, 连接 AC, 若∠CPA=30°, PC=________ cm. 解析:连接 OC,则 OC⊥PC. 又 OC=3,∠CPA=30°, ∴CP= =3 3. tan 30° OC CM· AM ? 3+1?? 3-1? = =1. BM 2

答案:3 3

1.解决圆周角、圆心角及弦切角问题时,角之间关系易于混淆导致错误. 2.使用相交弦定理与切割线定理时,注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用.

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[小题纠偏]
1.如图所示,CD 是圆 O 的切线,切点为 C,点 B 在圆 O 上,BC=2,∠ BCD=30°,则圆 O 的面积为________.

解析:设圆 O 的半径为 r,过 B 作⊙O 的直径 BA,连接 AC,则∠ACB =90°. 又由弦切角定理得∠CAB=∠BCD=30°, ∴AB=2BC=4. ∴r=2,∴S=πr2=4π. 答案:4π 2.如图所示,已知⊙O 的割线 PAB 交⊙O 于 A,B 两点,割线 PCD 经过圆心,若 PA=3,AB=4,PO=5,则⊙O 的半径为________. 解析:设⊙O 的半径为 r.由割线定理得 PA· PB=PC· PD,3×7=(PO -r)(PO+r),即 21=25-r2, ∴r2=4,∴r=2. 答案:2

考点一

圆周角、弦切角和圆的切线问题?基础送分型考点——自主练透?
[题组练透]

1.(2016· 黄冈模拟)已知点 C 在圆 O 的直径 BE 的延长线上, 直线 CA 与圆 O 相切于 A, ∠ACB 的平分线分别交 AB, AE 于 D, F 两点, 求∠AFD 的大小. 解:因为 AC 为圆 O 的切线, 由弦切角定理,得∠B=∠EAC. 又因为 CD 平分∠ACB,则∠ACD=∠BCD, 所以∠B+∠BCD=∠EAC+∠ACD. 根据三角形外角定理,∠ADF=∠AFD. 因为 BE 是圆 O 的直径,则∠BAE=90°, 所以△ADF 是等腰直角三角形.

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所以∠ADF=∠AFD=45°. 2.(2015· 广东高考改编)如图,已知 AB 是圆 O 的直径,AB=4,EC 是圆 O 的切线, 切点为 C, BC=1.过圆心 O 作 BC 的平行线, 分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P, 求 OD 的长.

1 1 解:由题意得 OP= BC= ,OA=2, 2 2 于是 PA=CP= 1?2 15 22-? ?2? = 2 .

因为∠DCP=∠B=∠POA, 又∠DPC=∠APO,所以△DCP∽△AOP, PD PC 故 PA =PO, 15 2 15 15 即 PD= × = , 1 2 2 2 15 1 所以 OD= + =8. 2 2

[谨记通法]
1.圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系,从而证明三角形 全等或相似,可求线段或角的大小. 2.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化;关于圆周上的点,常作直径 (或半径)或 向弦(弧)两端作圆周角或弦切角.

考点二

圆内接四边形的性质及判定
[典例引领]

(重点保分型考点——师生共研)

(2016· 昆明模拟)如图所示,已知 D 为△ABC 的 BC 边上一点,⊙ O1 经过点 B,D,交 AB 于另一点 E,⊙O2 经过点 C,D,交 AC 于另 一点 F,⊙O1 与⊙O2 的另一交点为 G. (1)求证:A,E,G,F 四点共圆; (2)若 AG 切⊙O2 于 G,求证:∠AEF=∠ACG. 证明:(1)如图,连接 GD, 四边形 BDGE,四边形 CDGF 分别内接于⊙O1,⊙O2, ∴∠AEG=∠BDG,

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∠AFG=∠CDG, 又∠BDG+∠CDG=180°, ∴∠AEG+∠AFG=180°, ∴A,E,G,F 四点共圆. (2)∵A,E,G,F 四点共圆,∴∠AEF=∠AGF, ∵AG 与⊙O2 相切于点 G, ∴∠AGF=∠ACG,∴∠AEF=∠ACG.

[由题悟法]
证明四点共圆的常用方法 (1)若四个点到一定点等距离,则这四个点共圆. (2)若一个四边形的一组对角的和等于 180°,则这个四边形的四个顶点共圆. (3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角,则这个四边形的四个顶点共圆. (4)若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两 个点和这条线段的两个端点共圆.

[即时应用]
(2016· 吉林实验中学)如图, 圆周角∠BAC 的平分线与圆交于点 D, 过点 D 的切线与弦 AC 的延长线交于点 E,AD 交 BC 于点 F. (1)求证:BC∥DE;

? ,求∠BAC. (2)若 D,E,C,F 四点共圆,且 ? AC = BC
解:(1)证明:因为 DE 为圆的切线, 所以∠EDC=∠ DAC. 又因为∠DAC=∠DAB,∠DAB=∠DCB, 所以∠EDC=∠DCB, 所以 BC∥DE. (2)因为 D,E,C,F 四点共圆, 所以∠CFA=∠CED, 由(1)知∠ACF=∠CED, 所以∠CFA=∠ACF. 设∠DAC=∠DAB=x,

? , 因为 ? AC = BC
所以∠CBA=∠BAC=2x, 所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x, 在等腰△ACF 中,

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180°=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x, 则 x≈25.7°,所以∠BAC=2x≈51.4°.

考点三

与圆有关的比例线段

(重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]
(2015· 陕西高考)如图,AB 切⊙O 于点 B,直线 AO 交⊙O 于 D,E 两点,BC⊥DE, 垂足为 C.

(1)证明:∠CBD=∠DBA; (2)若 AD=3DC,BC= 2,求⊙O 的直径. 解:(1)证明:因为 DE 为⊙O 的直径, 所以∠BED+∠EDB=90°. 又 BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED. 又 AB 切⊙O 于点 B,得∠DBA=∠BED, 所以∠CBD=∠DBA. (2)由(1)知 BD 平分∠CBA, BA AD 则BC=CD=3. 又 BC= 2,从而 AB=3 2. 所以 AC= AB2-BC2=4, 所以 AD=3. 由切割线定理得 AB2=AD· AE, AB2 即 AE= AD =6, 故 DE=AE-AD=3, 即⊙O 的直径为 3.

[由题悟法]

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与圆有关的比例线段解题思路 (1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理. (2)见到圆的两条割线就要想到割线定理. (3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理.

[即时应用]
1.(2015· 天津高考改编)如图,在圆 O 中,M,N 是弦 AB 的三 等分点,弦 CD,CE 分别经过点 M,N,若 CM=2,MD=4,CN= 3,求线段 NE 的长. 解:由题意可得 CM· MD=AM· MB, 则 2×4=2AM2,AM=2. 又 CN· NE=AN· NB, 8 即 3NE=4×2,解得 NE= . 3 2.(2015· 湖北高考改编)如图,PA 是圆的切线,A 为切点, AB PBC 是圆的割线,且 BC=3PB,求AC的值. 解:因为 PA 是圆的切线, A 为切点,PBC 是圆的割线, 由切割线定理,知 PA2=PB· PC=PB(PB+BC), 因为 BC=3PB, 所以 PA2=4PB2,即 PA=2PB. 由弦切角定理,得∠PAB=∠PCA, 又∠APB=∠CPA,故△PAB∽△PCA, AB PB 1 所以AC= PA = . 2

1.(2015· 重庆高考改编)如图,圆 O 的弦 AB,CD 相交于点 E,过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P,若 PA=6,AE=9,PC=3,CE∶ ED=2∶1,求 BE 的长. 解:由切割线定理,知 PA2=PC· PD,

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即 62=3PD, 解得 PD=12, 所以 CD=PD-PC=9, 所以 CE=6,ED=3. 由相交弦定理,知 AE· EB=CE· ED, 即 9BE=6×3,解得 BE=2. 2. (2016· 兰州双基测试)如图, 在正△ABC 中, 点 D, E 分别在 BC, 1 1 AC 上,且 BD= BC,CE= CA,AD,BE 相交于点 P.求证: 3 3 (1)P,D,C,E 四点共圆; (2)AP⊥CP. 1 1 证明:(1)在正△ABC 中,由 BD= BC,CE= CA, 3 3 知:△ABD≌△BCE, ∴∠ADB=∠BEC,即∠ADC+∠BEC=180°, ∴P,D,C,E 四点共圆. (2)连接 DE,在△CDE 中,CD=2CE,∠ACD=60°, 由正弦定理知∠CED=90°, 由 P,D,C,E 四点共圆知,∠DPC=∠DEC, ∴AP⊥CP. 3.(2016· 陕西一检)如图, 设 AB 为⊙O 的任一条不与直线 l 垂直的 直径,P 是⊙O 与 l 的公共点,AC⊥l,BD⊥l,垂足分别为 C,D,且 PC=PD. (1)求证:l 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径 OA=5,AC=4,求 CD 的长. 解:(1)证明:连接 OP, ∵AC⊥l,BD⊥l, ∴AC∥BD. 又 OA=OB,PC=PD, ∴OP∥BD,从而 OP⊥l. ∵点 P 在⊙O 上,∴l 是⊙O 的切线. 1 (2)由(1)可得 OP= (AC+BD), 2 ∴BD=2OP-AC=10-4=6. 过点 A 作 AE⊥BD,垂足为 E,

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则 BE=BD-AC=6-4=2. ∴在 Rt△ABE 中, AE= AB2-BE2= 102-22=4 6. ∴CD=4 6. 4.(2015· 全国卷Ⅰ)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于点 E. (1)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙O 的切线; (2)若 OA= 3CE,求∠ACB 的大小. 解:(1)证明:如图,连接 AE, 由已知得 AE⊥BC,AC⊥AB. 在 Rt△AEC 中, 由已知得 DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连接 OE,则∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90°, 所以∠DEC+∠OEB=90°, 故∠OED=90°,即 DE 是⊙O 的切线. (2)设 CE=1,AE=x. 由已知得 AB=2 3,BE= 12-x2. 由射影定理可得 AE2=CE· BE, 所以 x2= 12-x2,即 x4+x2-12=0. 解得 x= 3,所以∠ACB=60°. 5.(2015· 沈阳一模)如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,C,D 是圆 O 上的两个点,CE⊥AB 于 E,BD 交 AC 于 G,交 CE 于 F, CF=FG.

? 的中点; (1)求证:C 是劣弧 BD
(2)求证:BF=FG. 证明:(1)∵CF=FG,∴∠CGF=∠FCG. π ∵AB 是圆 O 的直径,∴∠ACB=∠ADB= . 2 π ∵CE⊥AB,∴∠CEA= . 2 π π ∵∠CBA= -∠CAB,∠ACE= -∠CAB, 2 2 ∴∠CBA=∠ACE. ∵∠CGF=∠DGA,∠DGA=∠ABC,

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π π ∴ -∠DGA= -∠ABC, 2 2 ∴∠CAB=∠DAC,

? 的中点. ∴C 为劣弧 BD

π π (2)∵∠GBC= -∠CGB,∠FCB= -∠GCF, 2 2 ∴∠GBC=∠FCB,∴CF=FB,∴BF=FG.

6. (2016· 贵州七校联考)如图, ⊙O1 和⊙O2 的公切线 AD 和 BC 相交于点 D,A,B,C 为切点,直线 DO1 交⊙O1 于 E,G 两点, 直线 DO2 交⊙O2 于 F,H 两点. (1)求证:△DEF∽△DHG; DE (2)若⊙O1 和⊙O2 的半径之比为 9∶16,求DF的值. 解:(1)证明:∵AD 是两圆的公切线, ∴AD2=DE· DG,AD2=DF· DH, DE DF ∴DE· DG=DF· DH,∴DH=DG, 又∵∠EDF=∠HDG, ∴△DEF∽△DHG. (2)连接 O1A,O2A, ∵AD 是两圆的公切线, ∴O1A⊥AD,O2A⊥AD, ∴O1,A,O2 共线, ∵AD 和 BC 是⊙O1 和⊙O2 的公切线, DG 平分∠ADB,DH 平分∠ADC, ∴DG⊥DH,∴AD2=O1A· O2A. 设⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 9x 和 16x,则 AD=12x, ∵AD2=DE· DG,AD2=DF· DH, ∴144x2=DE(DE+18x),144x2=DF(DF+32x), ∴DE=6x,DF=4x, DE 3 ∴DF= . 2 7.(2016· 沈阳模拟)如图,已知圆 O1 与圆 O2 外切于点 P,直线

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AB 是两圆的外公切线,分别与两圆相切于 A,B 两点,AC 是圆 O1 的直径,过 C 作圆 O2 的切线,切点为 D. (1)求证:C,P,B 三点共线; (2)求证:CD=CA. 证明:(1)连接 PC,PA,PB,BO2, ∵AC 是圆 O1 的直径, ∴∠APC=90°. 连接 O1O2 必过点 P, ∵AB 是两圆的外公切线,A,B 为切点, ∴设∠BAP=∠ACP=α, ∴∠AO1P=2α. 由于 O1A⊥AB,O2B⊥AB, ∴∠BO2P=π-2α,∴∠O2BP=α. 又∠ABP+∠O2BP=90°, ∴∠ABP+∠BAP=90°, ∴C,P,B 三点共线. (2)∵CD 切圆 O2 于点 D, ∴CD2=CP· CB. 在△ABC 中,∠CAB=90°, 又∵AP⊥BC, ∴CA2=CP· CB, 故 CD=CA. 8.(2015· 全国卷Ⅱ)如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与△ ABC 的底边 BC 交于 M, N 两点, 与底边上的高 AD 交于点 G, 且与 AB, AC 分别相切于 E,F 两点. (1)证明:EF∥BC; (2)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE=MN=2 3,求四边形 EBCF 的面积. 解:(1)证明:由于△ABC 是等腰三角形,AD⊥BC, 所以 AD 是∠CAB 的平分线. 又因为⊙O 分别与 AB,AC 相切于点 E,F, 所以 AE=AF, 故 AD⊥EF,从而 EF∥BC. (2)由(1)知,AE=AF, AD⊥EF,

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故 AD 是 EF 的垂直平分线. 又 EF 为⊙O 的弦, 所以 O 在 AD 上. 连接 OE,OM,则 OE⊥AE. 由 AG 等于⊙O 的半径得 AO=2OE, 所以∠OAE=30°. 因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形. 因为 AE=2 3,所以 AO=4,OE=2. 1 因为 OM=OE=2,DM= MN= 3, 2 所以 OD=1. 于是 AD=5,AB= 10 3 . 3

所以四边形 EBCF 的面积为 1 ?10 3?2 3 1 3 16 3 × × - ×(2 3)2× = . 2 ? 3 ? 2 2 2 3


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