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【精品】高中数学 7.2直线的方程(第一课时) 大纲人教版必修


7.2.

直线的方程

课时安排 3 课时 从容说课 1.本小节内容包括直线方程的点斜式、斜截式、截距式、两点式和一般式. 2.本小节的重、难点. 本小节的重点是学习直线方程的点斜式、 两点式和一般式, 难点是弄清五种直线方程 的限制条件及相互之间的联系. 3.本小节在教材中的地位. 一方面,通过研究直线方程的多种形式,进一步研究直线和二

元一次方程的关系,为 继续学习“曲线和方程”打下基础. 另一方面, 在讨论两直线的位置关系或者讨论直线的其他问题时, 常常把直线的不同 类型的方型化成同一类方程,所以,学习直线方程的互相转化为下一步学习作好辅垫. 4.本小节重、难点的处理. 直线方程的点斜式是本章内容的基础和关键所在,而直线方程的斜截式、两点式都由 点斜式推出. 推导和建立直线方程点斜式的主要依据是, 经过直线上一个定点与这条直线上任意一 点的直线是唯一的,若直线斜率存在,则设其为 k;在得出方程

y ? y1 ? k 时,要把它变成 x ? x1

方程 y-y1=k(x-x1).因为前者表示的直线上缺少一个 P1 点,而后者才是整条直线的方程;当 直线的斜率不存在时,不能用点斜式求它的方程,此时直线方程为 x=x1. 为加深学生对于直线方程限制条件的认识, 可给出具体的不符合限制条件的特殊直线 方程,要求学生进行归类,从而熟悉各种表示形式的基本限制条件. ●课 题 §7.2.1 直线的方程(一) ●教学目标 (一)教学知识点 1.直线方程的点斜式. 2.横、纵截距. 3.直线方程的斜截式. (二)能力训练要求 1.理解直线方程的点斜式的形式特点和适用范围. 2.了解求直线方程的一般思路. 3.了解直线方程的斜截式的形式特点及适用范围. (三)德育渗透目标 1.认识事物之间的普遍联系和相互转化. 2.能够用联系的观点看问题. ●教学重点 直线方程的点斜式 ●教学难点 点斜式推导过程的理解 ●教学方法

学导式 引导学生理解推导直线方程的点斜式的过程, 认识到点斜式直线方程实质的斜率公式的 变形,并由此了解到求直线方程的一般思路.而对于直线方程的斜截式的获得,要使学生认 识到斜截式为点斜式的特殊情形.也就是在已知直线的斜率与直线在 y 轴上的截距时而得到 的. ●教具准备 投影片四张 第一张:点斜式的推导过程(记作§7.2.1 A) 第二张:点斜式的形式特点(记作§7.2.1 B) 第三张:本节例题(记作§7.2.1 C) 第四张:斜截式的形式特点(记作§7.2.1 D) ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [师]上一节,我们进一步熟悉了直线斜率公式的应用,它也是我们继续学习推导直线 方程的基础. 我们先来看下面的问题: 若直线 l 经过点 P1(1,2) ,且斜率为 1,求直线 l 的方程. 分析:直线 l 的方程也就是直线上任意一点所应满足的方程,设此动点为 P(x,y) ,故 所求直线为经过 P1P 的直线,由斜率公式得:k=

y?2 =1(x≠1) x ?1

整理变形为:y-2=x-1 经验证:(1,2)点符合上式,并且直线 l 上的每个点都是这个方程的解;反过来,以这 个方程的解为坐标的点都在直线上,所以此方程为所求直线方程. [师]如果把上述求直线方程的过程推广到一般情形,即可得到直线方程的点斜式. Ⅱ.讲授新课 1.直线方程的点斜式 y-y1=k(x-x1) 其中 x1,y1 为直线上一点坐标,k 为直线的斜率. (给出幻灯片§7.2.1 A) 推导:若直线 l 经过点 P1(x1,y1) ,且斜率为 k,求 l 方程. 设点 P(x,y)是直线上不同于点 P1 的任意一点,根据经过两点的直线的斜率公式得 k=

y ? y1 (x≠x1) x ? x1
可化为:y-y1=k(x-x1) (给出幻灯片§7.2.1 B) [师]说明:(1)这个方程是由直线上一点和斜率确定的; (2)当直线 l 的倾斜角为 0°时,直线方程为 y=y1; (3)当直线倾斜角为 90°时,直线没有斜率,它的方程不能用点斜式表示,这时直线方 程为 x=x1. [师]接下来,我们通过例题来熟悉直线方程的点斜式. 2.例题讲练 [例 1]一条直线经过点 P1(-2,3) ,倾斜角α =45°,求这条直线方程,并画出图 象.

分析:此题可直接应用直线方程的点斜式,意在使学生逐步熟悉直线方程的点斜式. 解:这条直线经过点 P1(-2,3) ,斜率是 k=tan45°=1 代入点斜式方程,得 y-3=x+2 即 x-y+5=0 这就是所求直线方程. 图形如下:

[例 2]一直线过点 A(-1,-3) ,其倾斜角等于直线 y=2x 的倾斜角的 2 倍,求直线 l 的方程. 分析:此题已知所求直线上一点坐标,所以只要求得所求直线的斜率即可.根据已知条 件,先求出直线 y=2x 的倾斜角,再求出所求直线 l 的倾斜角,进而求出斜率. 解:设所求直线的斜率为 k,直线 y=2x 的倾斜角为α ,则 tanα =2,k=tan2k ∴k=tan2α =

2 tan? 2x 2 4 ? ? 2 2 3 1 ? tan ? 1 ? 2
4 [x-(-1)] 3

代入点斜式;得

y-(-3)=-

即:4x+3y+13=0. 评述:通过此题要求学生注意正切两倍角公式的正确运用. [例 3]已知直线的斜率为 k,与 y 轴的交点是 P(0,b) ,求直线 l 的方程. 解:将点 P(0,b) ,k 代入直线方程的点斜式得: y-b=k(x-0)即 y=kx+b [师]说明:(1)上述方程是由直线 l 的斜率和它在 y 轴上的截距确定的,叫做直线方 程的斜截式. (2)我们称 b 为直线 l 在 y 轴上的截距. (3)截距 b 可以大于 0,也可以等于或小于 0. [师]下面,我们通过课堂练习进一步熟悉直线方程的点斜式与斜截式. Ⅲ.课堂练习 课本 P39 练习 1.写出下列直线的点斜式方程,并画出图形: (1)经过点 A(2,5) ,斜率是 4; (2)经过点 B(3,-1),斜率是 2 ; (3)经过点 C(- 2 ,2) ,倾斜角是 30°;

(4)经过点 D(0,3) ,倾斜角是 0°; (5)经过点 E(4,-2) ,倾斜角是 120°. 解:(1)由直线方程的点斜式得 y-5=4(x-2)即所求直线方程. (2)点斜式方程为 y-(-1)= 2 (x-3)即

y+1= 2 (x-3)
(3)直线斜率 k=tan30°=

3 3

∴点斜式方程为:y-2= (4)k=tan0°=0 ∴点斜式方程为 y-3=0 (5)k=tan120°=- 3

3 (x+ 2 ) 3

∴点斜式方程为 y-(-2)=- 3 (x-4) 即 y+2=- 3 (x-4) 图形依次为:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) 2.填空题 (1) 已知直线的点斜式方程是 y - 2 = x - 1 ,那么,直线的斜率是 是 . (2)已知直线的点斜式方程是 y+2=- 角是 . ,倾斜角

3 (x+1) ,那么直线的斜率是 3

,倾斜

答案: (1)1 45° (2)-

3 3

150°

3.写出下列直线的斜截式方程,并画出图形: (1)斜率是

3 ,在 y 轴上的截距是-2. 2

(2)倾斜角是 135°,在 y 轴上的截距是 3. 解:(1)由斜截式得 y= (2)k=tan135°=-1 由斜截式得:y=-x+3 图形依次为:

3 x-2 2

(1)

(2)

Ⅳ.课时小结 通过本节学习,要求大家掌握直线方程的点斜式,了解直线方程的斜截式,并了解求解

直线方程的一般思路. Ⅴ.课后作业 (一)课本 P44习题 7.2 1.根据下列条件写出直线的方程: (1)斜率是

3 ,经过点 A(8,-2) ; 3

(2)过点 B(-2,0),且与 x 轴垂直; (3)斜率为-4,在 y 轴上截距为 7; (4)经过两点 A(-1,8) ,B(4,-2) ; (5)在 y 轴上截距是 2,且与 x 轴平行. 解:(1)由点斜式得:

y+2=

3 (x-8) 3

即 3 x-3y-8 3 -6=0 (2)x=-2 (3)由斜截式得 y=-4x+7 即4x+y-7=0 (4)k=

8 ? ( ?2) 10 ? ? ?2 ?1? 4 ? 5

由点斜式得 y-8=-2(x+1) 即 2x+y-6=0 (5)y=2. 2.已知直线的斜率 k=2,P1(3,5) ,P2(x2,7) ,P3(-1,y3)是这条直线上的三个 点,求 x2 和 y3. 解:将 k=2,P1(3,5)代入点斜式得 y-5=2(x-3) 即 2x-y-1=0 将 y=7 代入直线方程得 2x2-7-1=0 解得 x2=4 将 x=-1 代入直线方程得 -2-y3-1=0 解得 y3=-3 评述:此题也可通过斜率相等,利用斜率公式?求解. 3.一直线经过点 A(2,-3) ,它的倾斜角等于直线 y= 直线的方程. 解:设所求直线斜率为 k,直线 y=

1 3

x 的倾斜角的 2 倍,求这条

1 3

x 的倾斜角为α ,则

tanα =

1 3

∵α ∈[0,π ) ∴α =30° 则 2α =60°,k=tan60°= 3 ∴由点斜式得

y+3= 3 (x-2)
(二)1.预习内容:P40~41 2.预习提纲: (1)直线方程的两点式与截距式有何形式特点?适用范围是什么? (2)两点式与截距式有何联系? (3)两点式与点斜式有何联系? ●板书设计 §7.2.1 直线的方程 1.直线方程的 3.[例 1] 习1 点斜式 2 [例 2] 练习 练习 4.练

y-y1=k(x-x1) [例 3]
3 2.斜截式 y=kx+b


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