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分段函数


分段函数
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义 域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函 数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 1.求分段函数的定义域和值域

(1

)画出这个函数的图象; 2.求分段函数的函数值

(2)求函数 f ( x ) 的最大值。

?| x ? 1 | ?2, | x |? 1 1 ? 1、设 f(x)= ? 1 ,则 f[f( )]=( ,| x |? 1 2 ? ?1 ? x 2
A.

)

1 2

B.

4 13

C. -

9 5

D.

25 41


?2 x ? 2 x ? [?1, 0]; ? x ? (0, 2); 的定义域、值域. 1、求函数 f ( x) ? ? ? 1 2 x ?3 x ? [2, ??); ?
2、设 f ?x ???

2、设函数 f ( x) ? ?

? x ? 3,( x ? 10) ,则 f (5) = ? f ( f ( x ? 5)),( x ? 10)
g3 x, x ?0 ?lo ?2 , x ?0
x

? x, ?x,
2

x ?1 ?x ? ?, ?的值域是 ?0 , g?x? 是二次函数,若 f? g ,?? x ?1


3、已知函数 f (x) ?? A.4 B.

,则 f ( f ( )) ?

1 9

则 g?x? 的值域是(

1 4

C.-4

D-

1 4

? B. ? ? C. ?0 ? ? ? ?? A. ? ? ? , ? 1 ? 1 , ?? ? ? , ? 1 ? 0 , ?? ,??
?x2 ? x ?1 ,(x ?1 ) ? 3、函数 f (x) ? ?1 值域是______________ , ????????????? x ? 1 ) ? ?x
? 4 x ? 3 ( x ? 0) ? 4、函数 f ( x) ? ? x ? 3 (0 ? x ? 1) 的最大值. ? ? x ? 5 ( x ? 1) ?
? 3 x ? 5 ( x ? 0) ? 5、已知函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? ? x ? 5 (0 ? x ? 1) ? ? 2 x ? 8 ( x ? 1) ?

? D. ? 1 ,??

4、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? 则 f(2009)的值为( ) A.-1 5、若 fx ? ?? ? B. 0 C.1

log ( 1 ? x ), x? 0 ? 2 , f( x ? 1 )?f( x ? 2 ), x? 0 ?

D. 2

x ? 3 ,x ? 2 0 ? ? , 则 f 1 8 ? ? ? f fx 5 ,x ? 2 0 ? ? ?? ? ? ? ? ?

1 ? 2an ????????(0 ? an ? ) ? 6 ? 2 6、若数列 { a n } 满足 an?1 ? ? ,且 a 1 ? ,a 7 ? 2a ?1???( 1 ? a ? 1) n n ? ? 2

20

=________

1

7、设函数 f ( x) ? ?

?2? x

x ? (??,1]

?log81 x x ? (1, ??)

,

则满足方程 f ( x ) ?

1 的 x 的值为 4

7、若函数 f(x)= ? log ( ? x ), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( ) 1

? log 2 x , x ? 0, ? ? ?
2

3、解分段函数的不等式

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 1、设函数 f ( x) ? ? 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ) ? x ? 6, x ? 0
A (?3,1) ? (3,??) B (?3,1) ? (2,??) C (?1,1) ? (3,??) D (??,?3) ? (1,3)

( A) (-1,0)∪(0,1) (C) (-1,0)∪(1,+∞)

(B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)

? x2 ? 1, x ? 0, 1 7 . 已 知 函 数 f ( x ) ? 3 x ? 1 , g ( x) ? ? , 若 x? , 则 3 ? 2 ? x, x ? 0,
g ( f ( x? ) )


? 2 , x ?0 2 2、已知函数 f (x) ? ?x ?1 ,则满足不等式 f( 1 ? x )?f( 2) x 的 x 的范围是__。 1 , x ?0 ?

?2 ?1 ??(x ? 0) ? 3、.设函数 f (x) ? ? 1 ,若 f ( x0 ) ? 1,则 x 0 的取值范围是___ 2 ? ?x ????????(x ? 0)
?x

8. (2011 辽宁卷)设函数 f ( x) ? ? 围是 .

? 21? x ,

x ?1

?1 ? log 2 x, x ? 1

,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范

A. (?1,1)

B. (?1, ??)

C. (??, ?2) ? (0, ??)

D. (??, ?1) ? (1, ??)
4、分段函数求参数

?1, x ? 0 , 4、已知 f(x)= ? ,解不等式 xf(x)+x≤2. ?0, x ? 0,

1、 设函数 f(x)= ?

? x 2 ? 2, ( x ? 2) 则 f(-4)=___________,若 f(x0)=8, 则 x0=________ 2 x , ( x ? 2 ) ? ?3x ? 2, x ? 1,
2 ? x ? ax, x ? 1,

?1 , x?0 ? ?x 5、若函数 f ( x ) ? ? ?(1 )x, x ? 0 ? ? 3

1 则不等式 | f ( x ) |? 的解集为____________. 3

2、已知函数 f(x)= ?

若 f(f(0) )=4a,则实数 a=

.

2 ? ( x ? 1) ?( x ? 1) 6、设函数 f ( x) ? ? , 则使得 f ( x) ? 1 的自变量 x 的取值范围为 ? ?4 ? x ? 1 ( x ? 1)

x )? 3、设函数 f( ?

2 ? x ? bx ? c ( x ? 0 ), ( ? 4 ) ? f ( 0 ), f ( ? 2 ) ? ? 2 若f ,则关于 x 的 2 ( x ? 0 ). ?

) ?x的解的个数为 方程 f (x

A.(??, ?2] ? [0,10] B. (??, ?2] ? [0,1] C. (??, ?2] ? [1,10] D. [?2, 0] ? [1,10]

2

? x2 , x ? 0 ? 3.已知 f ( x) ? ? 1, x ? 0 ,则 f ( f ( f (?2012))) ? ? 0, x ? 0 ?



? x2 ?2x ?5 ???(x ? 0) ? 2、函数 f (x) ? ? 0 ??????????????????(x ? 0) ? 的奇偶性是_______________ ??x2 ?2x?5 ???(x ? 0) ?

2 ? ? x ( x ? 1) ( x ? 0) 3、判断函数 f ( x) ? ? 2 的奇偶性. ? ?? x ( x ? 1) ( x ? 0)

? ? x, x ? 0 2. (2011 浙江卷)设函数 f ( x) ? ? 2 ,若 f (a) ? 4 ,则实数 a ? ?x , x ? 0
? ? ? 为 f ( x) ? ? ? ? ?

6. (2011 北京卷)根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)

c ,x ? A x ( A, c 为常数) .已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组 c ,x ? A A


?x2 ?2x , x?0 ) ?? 4、.函数 f (x 为奇函数,则 g ( x ) =______ ?g(x),?????x?0
5、判断函数 f ( x) ? ?

? x3 ? x ( x ? 0) ? 的单调性. 2 ? x ( x ? 0) ? ?

装第 A 件产品用时 15 分钟,那么 A 的值是

6、写出函数 f ( x) ?|1 ? 2 x | ? | 2 ? x | 的单调减区间.

7.已知函数 y ? f ( x) 的图像如图所示,中间部分的图像是半圆,写出该函数的表 达式. 7、已知函数 y ?

x2 ?1 x ?1

的图象与函数 y ? kx ? 2 的图象恰有两个交点,则实

数 k 的取值范围是_________.
2 17、函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2x

(1)求 f (?1) 的值; (2)求当 x ? 0 ,函数 f ( x) 的解析式; (3)写出函数 f ( x) 的单调区间 (4)求函数的值域

?e ? 1; ( x ? 1) 8、已知函数 f ( x) ? ? ,那么 f (ln 2) 的值 ?ln x; ( x ? 1)
x

5、分段函数单调性与奇偶性

6、分段函数的应用 1、设函数 g ( x) ? x ? 2( x ? R) , f ( x) ? ?
2

( 3 a ? 1 0 x ? 3 a ? ? ( x ? 1 ) ? ? 1、已知 f( , 是 (??, ??) 上的减函数, 那么 a 的取值范 x )? ? x l o g ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( x ? 1 ) ? ? a
围是__________

? g ( x) ? x ? 4 , x ? g ( x) ,则 f ( x ) 的 x ? g ( x) ? g ( x) ? x ,

值域是(

) 3

A. [ ?

9 ,0] ? (1,?? ) 4

B. [0,??) C. [ ?

9 ,?? ) 4

D. [ ?

9 ,0] ? ( 2,?? ) 4

9、给出函数 f ( x) ? ? 2 A. -

?1 x ?( )

? 3? x ? a( x ? 0) 2、设 f ( x) ? ? ,若 f ( x) ? x 有且仅有三个解,则实数 a 的取值范 ? f ( x ? 1)(x ? 0)
围是( A. [1,2] ) B. ?? ?,2? C. ?1,??? D. ?? ?,1?

23 8

? ? f ( x ? 1) 1 B. 11

( x ? 4) ,则 f (log 3) ? ( 2 ( x ? 4) 1 1 C. D. 19 24



10、函数 f ( x ) ? ?

? x ? 2( x ? ?1) ? 2 . 3、已知,若 f(x)= ? x (?1 ? x ? 2)则x的取值范围是______ ?2 x( x ? 2) ?
4、f(x)= ?

2 ? ?sin(? x ), ?1 ? x ? 0, ,若 f ?1? ? f ?a ? ? 2 ,则 a 的所有可能值为( ) x ?1 e , x ? 0. ? ?

A. 1

B. ?

2 2

C. 1, ?

2 2

D.1 ,

2 2

1] ?1,x ? [0, ,使等式 f[f(x)]=1 成立的 x 值的范围是_________. 1] ? x ? 3, x ? [0,
2

5、已知函数 f(x)= x ? 2 x ? 1 ? (1)求函数定义域;

| x ?1| x ?1

? lg x , (0 ? x ? 10) ? 11、已知函数 f ( x) ? ? ,若 a , b, c 互不相等,且 1 ? x ? 6, ( x ? 10) ? ? 2
f (a) ? f (b) ? f (c) ,则实数 abc 的取值范围是(
12、设函数 g ( x) ? x ? 2( x ? R) , f ( x) ? ?
2



(2)化简解析式用分段函数表示;(3)作出函数图象

6、若方程 2|x-1|-kx=0 有且只有一个正根,则实数 k 的取值范围是__________.
x ?1 ? x?2 ? 2e , 7、设 f ( x) ? ? ,则 f ( f (2)) 的值为( ) 2 log x ? 1 , x ? 2 ? ? 3 ? ? 0 A. B. 1 C. 2 D. 3 x?0 ?log2 (4 ? x), 8、定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = ? , ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0 则 f (3) 的值为( )

? g ( x) ? x ? 4 , x ? g ( x) ,则 f ( x ) 的 x ? g ( x) ? g ( x) ? x ,
9 ,?? ) 4
D. [ ?

值域是( A. [ ?

) B. [0,??)
2

9 ,0] ? (1,?? ) 4

C. [ ?

9 ,0] ? ( 2,?? ) 4

13、直线 y ? 1 与曲线 y ? x ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是

A. - 1

B. - 2

C. 1

D. 2

4

? 1 2 ? 2x ? 1 a2 ? 15、 、解: y ? ? ax ? 8 ? 2 2 ?? 1 x 2 ? 2ax ? 5a ? 4 ? 2

a (0 ? x ? ) 2 a 3a ( ?x? ) 2 2 3a ( ? x ? 2a ) 2

14、已知函数 f(x)=|x +3x|,x∈R.若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异的实 数根,则实数 a 的取值范围为________.

2

? 15、等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD ? 2 a , BC ? a , ?BAD ? 45 ,作直线

MN ? AD 交 AD 于 M ,交折线 ABCD 于 N ,记 AM ? x ,试将梯形 ABCD 位
于直线 MN 左侧的面积 y 表示为 x 的函数,并写出函数的定义域.

5


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