当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2013年全国高中数学联赛四川省预赛


2013 年全国高中数学联赛四川省预赛
试题
一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1、函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足: f ( x ? 3) ? ? 【 】 A、 ?

1 ,若 f (0) ? 2 ,则 f (2013 )? f ( x)
D、2013

2、设等差数列 ?an ?与等比

数列 ?bn ?满足: 0 ? a1 ? b1 ? a5 ? b5 ,则下述四个结论: ① a3 ? b3 ; A、0 个 ② a3 ? b3 ; ③ a 6 ? b6 ; ④ a 6 ? b6 中正确的个数是 B、1 个 C、2 个 D、3 个 【 】

1 2

B、

1 2

C、2

3、已知二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? , PA ? ? , PB ? ? , A 、 B 为垂足, PA ? 5 ,

PB ? 4 ,设 A 、 B 到二面角的棱 l 的距离分别为 x 、 y ,当 ? 变化时,点 ( x, y ) 的轨迹为
下列图形中的 【 】

y
3 3 3 A

y
3 3 B

y

y

o

x

o

x

o
C

x

o

3 D

x

4、从 ?0,10? 上任取一个数 x ,从 ?0,6? 上任取一个数 y ,则使得 x ? 5 ? y ? 3 ? 4 的概 率是 【 A、 】

1 5

B、

1 3

C、

1 2

D、

3 4


5、当平面上的点 ( x, y ) 的坐标 x 、 y 都为有理数时,该点称为有理点,设 r 是给定的正 实数,则圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2 ) ? r 2 上的有理点 A、最多有一个 B、最多有两个 C、最多有四个 【 D、可以有无穷多个

o o 6、△ABC 中, ?C ? 90 , ?B ? 30 , AC ? 2 ,M 是 AB 的中点,将△ACM 沿 CM 翻

折,使 A、B 两点间的距离为 2 2 ,则三棱锥 A ? BCM 的体积等于 A、





2 3

B、

2 3

C、

6 3

D、

2 2 3

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)

3? x ) ? m, ,记 f (1) ? f (2) ? f (4) ? ? ? f (1024 1? x 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ?? ? f ( ) ? n ,则 m ? n ? . 2 4 8 1024 2 3 4 2013 8、已知 i 是虚数单位, z ? 1 ? i ? i ? i ? i ? ? ? i ,把复数 z 的共轭复数记为 z ,则
7、已知函数 f ( x ) ?

z?z=


2

y2 ? 1 ,则 x 2 ? y 2 的最大值是 16 10、关于曲线 C: x 4 ? y 2 ? 1 的下列命题:
9、实数 x , y 满足 x ?



① 曲线 C 关于原点对称; ② 曲线 C 关于直线 y ? x 对称; ③ 曲线 C 所围成的面积小于 ? ; ④ 曲线 C 所围成的面积大于 ? , 其中的真命题是 . (写出所有真命题的编号) 11、设 n 是小于 100 的正整数,且满足 ( n ? 1) ?
2

1 3

1 n 为整数,则符合条件的所有正整数 n 5

的和为



a 12、已知函数 f ( x) ? ? x ,对任意 x ? (0,1) ,有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 恒成立,则实数 a 的 x
取值范围是 . 三、解答题(每小题 20 分,共 80 分)
2 13 、设实数 ? ? 0 ,已知函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 sin ?x ? sin(?x ?

?
?

) 的最小正周期是

? ?? ? ? .求 f ( x) 在 ? , ? 上的最大值与最小值. ? ?? ??

14 、 已 知 函 数 f ( x) ?

bn ? l o g 3(

(1) 求证:数列 ?bn ?成等比数列,并求数列 ?bn ?的通项公式; (2)记 cn ? ?nbn (n ? N * ) ,求数列 ?cn ?的前 n 项和公式 Tn .

xn ?1 ? 1 ) xn ?1 ? 1

x 3 ? 3x * , 数 列 ?xn ? 满 足 : x1 ? 2 , xn?1 ? f ( xn ) (n ? N ) , 记 2 3x ? 1

(n ? N * ) .

x2 ? y 2 ? 1 上异于点 B 的任意两点,且 BP ? BQ . 15、已知点 B(0,1) ,P、Q 为椭圆 4
(1)若点 B 在线段 PQ 上的射影为点 M,求点 M 的轨迹方程; (2)求线段 PQ 的中垂线 l 在 x 轴上的截距的取值范围.

16 、 若 实 数 x0 满 足 f ( x0 ) ? x0 , 则 称 x ? x0 为 f ( x) 的 不 动 点 . 已 知 函 数

f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 3 ,其中 a , b 为常数.

(1)若 a ? 0 ,求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 a ? 0 时,存在一个实数 x0 ,使得 x ? x0 既是 f ( x) 的不动点,又是 f ( x) 的极值 点.求实数 b 的值; (3)求证:不存在实数组 ( a, b) ,使得 f ( x) 互异的两个极值点皆为不动点.

解答
1 、A 提示: f ( x ? 6) ? ? 以 6 为周期的函数.

1 ? f ( x) 错误!未找到引用源。 ,所以, f ( x) 是 f ( x ? 3)

) ? f (3) ? ? 所以, f (2013
2 、B 提示:因为 a3 ?

1 1 ? ? 错误!未找到引用源。. f (0) 2

a1 ? a5 b1 ? b5 ? ? b1b5 ? b3 ,故②正确,从而①不正确; 2 2

令 an ? 1 ? 20(n ?1) an 错误!未找到引用源。 ,若取 bn ? 3n?1 ,可知 a6 ? b6 ,从而③不 正确; 若取 bn ? (?3)n?1 ,可知 a6 ? b6 ,从而④不正确.

3 4

、 C 提示: 设 P 到棱 l 的距离为 d, 则 x2+52=d2, y2+42=d2, 所以 y2-x2=9 ( x ? 0, y ? 0) . 、C 提示:如图, x ? 5 ? y ? 3 ? 4 错误!未找到引用源。的图像为以 G(5,3)为中 心的正方形 BNEM 及其内部, 设 BM 与 RQ 的交点为 A,易知 A(4,6) , 类似的 F (6,6) , M(5,7) 于是所求概率

p?

S ABCDEF 32 ? 2 1 Y ? ? . SOPQR 60 2 R(0,6)

A(4,6)

F(6,6)

Q(10,6)

G(5,3) B(1,3) O C N D

E(9,3)

P(10,0)

X

5 、B

提示:设 ( a, b) 、 (c, d ) 为这个圆上的两个有理点,则

(a ?1)2 ? (b ? 2 )2 ? (c ?1)2 ? (b ? 2 )2 ,
整理得 2 2 (b ? d ) ? a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? 2(c ? a) . 显然等式右边是有理数,因此当且仅当 b=d 时,等式的左边是有理数,此时

a ? c, a ? c ? 2 .由此得这两个有理点关于直线 x=1 对称, 而圆上与 ( a, b) 关于 x=1 对称的点
最多只有一个. 6 、 D 提示: 如图, 作 BD 垂直于 CM 的延长线于 D, AF⊥CM 于 F, 作 EF//BD 且 EF=BD, 连结 BE. 显然,AF=FE=BD=错误!未找到引用源。 ,EB=DF=2,所以

AE2=AB2-EB2=8-4=4
三棱锥 A-BCM 的高 h 即点 A 到平面 BCD 的距离,即等腰△AEF 中点 A 到边 EF 的距离. 根据面积相等可求得 h ?

2 ? 3 ?1 2 6 . ? 3 3

所以三棱锥 A-BCM 的体积为:

1 1 2 6 2 2 V ? ? ?2 3? ? 3 2 3 3
A D M F C 7 、42 提示:因为 f ( x) ? 1 ? E B

2 1 2x , f ( ) ? 1? ,故 f ( x) ? f ( 1 ) ? 4 错误! 1? x x 1? x x

未找到引用源。
又 f (1) ? 2 ,所以 m+n=4×10+2=42

8

、2 提示:an=i ,则 an+4=an,并且 1+i+i +i =0,则 z=1+i,从而 z ? 1 ? i ,于是

n

2

3

z ? z ? (1 ? i)(1 ? i) ? 1 ? i 2 ? 2 .
9 、

9 2 2 2 提示:由条件有 16x ? y ? 16 ,记 s ? x 2 ? y ,则 4
9 1 1 16x 2 ? 2 ? y 2 2 81 ?16x 2 (2 ? y 2 ) ? ( ) ? 故 s? 4 16 16 2 16

s 2 ? x 2 (2 ? y 2 ) ?





16x2+y2=16

即x?

3 , y ? ? 7 时等号可取到. 4

16 x2=2+ y2
2 所以, x 2 ? y 的最大值是错误!未找到引用源。.

10 、①④ 提示:以-x 代替 x,以-y 代替 y 曲线 C 的方程不变,故关于原点对称. 以 x 代替 y ,以 y 代替 x 曲线 C 的方程改变,故不关于直线 y=x 对称. 当 x, y ? 0 时,y ? 1 ? x 4 ? 1 ? x 2 , 结合对称性可知, 曲线 C 上的点在圆 x2+y2=1 外. 所以曲线 C 所围成的面积大于 ? .

11 、635 提示:因为 (n ? 1) ?
2

1 3

1 5n 2 ? 3n ? 5 n? 为整数,于是 15 错误!未找到引用 5 15

源。5n2+3n-5,从而 5 错误!未找到引用源。n,且 3 错误!未找到引用源。n2-1,所以 n=15k+5 或 n=15k+10,所以,符合条件的所有正整数 n 的和是:
6 5

? (15k ? 5) ? ? (15k ? 10) 错误!未找到引用源。
k ?0 k ?0 5

? 95 ? ? (30k ? 15)
k ?0

= 95 ?

(15 ? 165 ) ? 6 ? 635 2

12 、 ?a a ? 1或a ? ? ? 错误!未找到引用源。

? ?

1? 4?

提示:记 y ? 1 ? x ? (0,1) 错误!未找到

引用源。 错误!未找到引用源。 ,则

a a f ( x) ? f (1 ? x) ? f ( x) f ( y ) ? ( ? x)( ? y) x y

?

x 2 y 2 ? a( x 2 ? y 2 ) ? a 2 xy

( xy) 2 ? a ( x ? y) 2 ? 2 xy ? a 2 ? xy
令 xy=t,则 t ? (0, ] ,令

?

?

1 4

g (t ) ? f ( x) ? f (1 ? x) ?

t 2 ? a(1 ? 2t ) ? a 2 ?1 t

即 t 2 ? (2a ?1)t ? a 2 ? a ? 0 (1) 若

1 1 ? a ? 0 错误!未找到引用源。即 ? a ,只需错误!未找到引用源。 ,即 2 2

a 2 ? a ? 0 ,解得: a ? 1 ;
1 1 1 1 ? a ? ,即 ? a ? 错误!未找到引用源。 ,只需错误!未找到引 4 2 2 4 用源。 ,无解; 1 (3) 若错误!未找到引用源。 ,即 a ? ,只需错误!未找到引用源。 ,即错 4 误!未找到引用源。 ,解得,错误!未找到引用源。
(2) 若 0 ?

所以,实数 a 的取值范围为 ?a a ? 1或a ? ? ? .

? ?

1? 4?

13、

f ( x) ?

1? c o 2 s ?x 3 3 1 1 ? sin 2?x ? sin 2?x ? c o 2 s ?x ? 2 2 2 2 2

? 1 ? sin( 2?x ? ) ? , 6 2 2? ? ? ,则 ? ? ? . 由条件知 T ? ?? ? ? 1 于是 f ( x ) ? sin( 4 x ? ) ? , 6 2


?

? ? 3 6 1 ? 故 ? sin( 4 x ? ) ? 1 , 2 6 ? 1 3 即 1 ? sin( 4 x ? ) ? ? . 6 2 2
所以, f ( x) 在 x ?

?x?

?

时,

?

? 4x ?

?

?

5? , 6

?

6

时取最大值
3

3 ? ,在 x ? 时取最小值是 1. 2 4

xn ? 3 x n ? 1 ?1 3 3 2 xn ?1 ? 1 f ( xn ) ? 1 3 xn ? 1 x n ? 3 xn ? 3 xn ? 1 x n ? 1 3 14 、 (1) ? ? ? 3 ?( ) 2 xn ?1 ? 1 f ( xn ) ? 1 xn 3 ? 3xn ? 1 xn ? 3 xn ? 3 x n ? 1 x n ? 1 ?1 3 3 xn ? 1
于是 log3 (

xn?1 ? 1 x ?1 ) ? 3 log3 ( n ) ,即 bn ? 3bn?1 ,所以数列 ?bn ?成等比数列. xn?1 ? 1 xn ? 1
14 , 13

又由条件知 x2 ?

14 ?1 1 故 b1 ? log3 ( 13 ) ? log3 ? ?3 ,于是 bn ? ?3n , 14 27 ?1 13
所以,数列 ?bn ?的通项公式为 bn ? ?3n . (2)由(1)知, bn ? ?3n ,故 cn ? n ? 3n ,

Tn ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ??? n ? 3n , 3Tn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 34 ??? n ? 3n?1 ,
于是 ? 2Tn ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? 3
2 3 n n ?1

?

3n ?1 ? 3 ? n ? 3n ?1 , 2

即 Tn ?

(2n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 , 4

(2n ? 1) ? 3n?1 ? 3 (n ? N * ) . 所以,数列 ?cn ?的前 n 项和公式 Tn ? 4
15、 (1)设 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ,PQ 的方程为 y ? kx ? m ,与椭圆方程联立消去 y 得:

(1 ? 4k )2 x 2 ? 8kmx? 4m2 ? 4 ? 0 ,
所以 x1 ? x2 ?

? 8km 4m 2 ? 4 x x ? , , 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

由 BP ? BQ 得,即

y1 ? 1 y2 ? 1 ? ? ?1 x1 x2

x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ? 0 ,
从而可得

(k 2 ? 1)(4m 2 ? 4) ? 8km ? k (m ? 1) ? 2 ? (m ? 1) 2 ? 0 2 4k ? 1 4k ? 1
2

化简得 5m ? 2m ? 3 ? 0 ,解得 m ? 1 (舍去)或 m ? ? 设 M ( x, y ) ,因为 BM⊥PQ,所以 k ? ?

3 . 5

x , y ?1

代入 PQ 方程得 y ? ?

x2 3 ? , y ?1 5

整理得 x ? ( y ? ) ? ( ) ,
2 2 2

1 5

4 5

由题意知轨迹不经过点 B(0,1) . 所以,动点 M 的轨迹方程为: x ? ( y ? ) ? ( )( y ? 1) .
2 2

1 5

4 5

(2)PQ 方程为 y ? kx ?

3 ,所以 5

x1 ? x2 12k y ? y2 ?3 , 1 ? ? 2 2 5(4k ? 1) 2 5(4k 2 ? 1)
所以 PQ 中垂线方程为 y ?

3 1 12k ? ? (x ? ), 2 5(4k ? 1) k 5(4k 2 ? 1)

在 x 轴上的截距为 b ?

9 9 9k ?b? ,所以, ? . 2 20 20 5(4k ? 1)

16、 (1)若 a ? 0 , f ( x) ? x3 ? bx ? 3 ,故 f ' ( x) ? 3x 2 ? b . 当 b ? 0 时,显然 f ( x) 在 R 上单增; 当 b ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 知 x ? ?

b b 或x?? ? . 3 3

所以,当 b ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (??,??) ; 当 b ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (??,? ?

b b ) , ( ? ,??) . 3 3

(2)由条件知

3x0 ?b ? 0

2

x0 ?bx0 ?3 ?x0 ,
于是 2x0 ? x0 ?3 ? 0 ,即 ( x0 ?1)(2x0 ?2x0 ?3) ? 2 ,解得 x0 ? 1 从而 b ? ?3 . (3)方法 1 假设存在一组实数 ( a, b) 满足条件.由条件知 f ' ( x) ? 3x ? 2ax ? b ,
2

3

3

2

因为 f ( x) 的两个不同极值点,则 ? ? 4a ? 12b ? 0 ,即
2

a 2 ? 3b .


2

设 f ( x) 的两个不同极值点为 x1 , x2 , 其中 x1 ? x2 , 则 x1 , x2 是方程 3x ? 2ax ? b ? 0 的

两实根,所以 x1 ? x2 ? ?

2a b , x1 x2 ? . 3 3

又由 x1 , x2 是 f ( x) 的不动点,则 x1 , x2 是方程 x3 ? ax2 ? (b ?1) x ? 3 ? 0 的两根,设其 另一个根为 x3 故 x3 ? ax2 ? (b ?1) x ? 3 ? ( x ? x1 )(x ? x2 )(x ? x3 ) 即 x3 ? ax2 ? (b ?1) x ? 3 ? x3 ? ( x1? x2 ? x3 ) x2 ? ( x1x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ) x ? x1x2 x3

x1 ? x2 ? x3 ? ?a
故有

x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ? b ? 1 x1 x2 x3 ? 3
a 9 ? ? ,从而 3 b


于是 x3 ? ?

ab ? 27 . b 2a a )( ? ) , 又 b ? 1 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) x3 ? ? (? 3 3 3


2a 2 2b 2a 2 18 ? ? 1 ? 0 ,故 ? ? 1 ? 0 ,即 2a 3 ? 9a ? 162 ? 0 9 3 9 a

令 g ( x) ? 2 x3 ? 9 x ? 162,则 g ' ( x) ? 6 x 2 ? 9 ? 0 故 g ( x) 在 R 上单增,从而 g ( x) ? 0 至多有一个实根; 又因为 g (0) ? ?162 ? 0 , g (4) ? 2 ? 0 ,从而 g ( x) ? 0 至少有一个实根; 所以, g ( x) ? 0 恰有一个实数根 x ? a ? (0,4) . 由①、②知 a ? 3b ?
2

81 3 ,即 a ? 81,这与 a ? (0,4) 矛盾! a

所以,不存在实数组 ( a, b) ,使得 f ( x) 互异的两个极值点皆为不动点. 方法 2 假设存在一组实数 ( a, b) 满足条件. 由条件知 f ' ( x) ? 3x ? 2a ? b ,因为错
2
2

误!未找到引用源。有两个不同的极值点,则 ? ? 4a ? 12b ? 0 ,即 错 ③ 设错误!未找到引用源。的两个不同极值点为 x1 , x 2 ,其中 x1 ? x2 ,则 x1 , x 2 是
2 方程 3x ? 2ax ? b ? 0 的两实根,所以 x1 ? x2 ? ?



















a 2 ? 3b

2a b , x1 x2 ? . 3 3

又 由 x1 , x 2 是 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 的 不 动 点 , 则 x1 , x 2 是 方 程

x3 ? ax2 ? (b-1) x ? 3 ? 0 的两根,所以

x1 ? ax1 ? (b-1) x1 ? 3 ? 0 , x2 ? ax2 ? (b-1) x2 ? 3 ? 0 ,
于是 ( x1 -x2 ) ? a( x1 -x2 ) ? (b-1)(x1-x2 ) ? 0 ,故
3 3 2 2 3 2

3

2

( x1 ? x2 )2 -x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? (b-1)


a b a (? ) 2 ? ? a ? (? ) ? b ? 1 ? 0 , 3 3 3
从而

2a 2 ? 6b ? 9 ? 0 错误!未找到引用源。
由③知 2a ? 6b ? 9 ? 9 ,这与④矛盾!
2



所以,不存在实数组 ( a, b) ,使得错误!未找到引用源。互异的两个极值点皆为不动点.


相关文章:
2013年高中数学联赛四川预赛试题及参考答案
2013 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)及参考答案(5 月 19 日下午 14:30——16:30)题目得分 评卷人 复核人 考生注意:1、本试卷共三大题(16 个小题) ,...
2013年全国高中数学联赛四川省预赛含答案可编辑
2013年全国高中数学联赛四川省预赛含答案可编辑_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013 年全国高中数学联赛四川省预赛试题一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1、 ...
2013年全国高中数学联赛四川省预赛
2013年全国高中数学联赛四川省预赛_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013 年全国高中数学联赛四川省预赛试题一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1、函数 f ? x ...
11. 2013年全国高中数学联赛四川预赛
11. 2013年全国高中数学联赛四川预赛_学科竞赛_高中教育_教育专区。预赛试题集锦(2014) 2013 年全国高中数学联赛四川省预赛一.选择题(每小题 5 分,共 30 分) ...
2013年高中数学联赛四川预赛试题
( y ??? 2) 2 ??r 2 上的有理点 A、最多有一个 B、最多有两个 C、最多有四个 D、可以有无穷多个 2013 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 1 页...
2013年高中数学联赛四川预赛试题
标准编辑 2013 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)(5 月 19 日下午 14:30——16:30)题目得分 评卷人 复核人 考生注意:1、本试卷共三大题(16 个小题) ,全...
2013年高中数学联赛四川预赛试题
2013年高中数学联赛四川预赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。今日推荐 157...2010年全国高中数学联赛... 9页 免费 2013年全国高中数学联赛... 5页 免费 ...
2013年全国高中数学联赛四川赛区预赛试卷
2013年全国高中数学联赛四川赛区预赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2013年全国高中数学联赛四川赛区预赛试卷_学科竞赛_高中...
2013年高中数学联赛四川预赛参考答案及评分细则(定稿1)
2013 年全国高中数学联赛(四川)初赛试题 参考答案及评分标准说明: 1、评阅试卷时,请依据评分标准.选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档;其它各题的 评阅,请严...
更多相关标签:
全国高中数学联赛预赛 | 2016高中数学联赛预赛 | 四川省高中数学联赛 | 全国高中物理竞赛预赛 | 全国高中数学联赛 | 2016全国高中数学联赛 | 全国高中数学联赛试题 | 全国数学高中联赛官网 |