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《直线的倾斜角及斜率》导学案.


西双版纳州民族中学

郑从胜

第三章 直线与方程 第 1 课时 直线的倾斜角与斜率
【课程学习目标】 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,了解直线的倾斜角的范围. 2.理解直线的倾斜角和斜率之间的关系以及斜率公式,并能利用过两点的直线斜率的计算公式求直线的 倾斜角. 第一层级(预习区) 知识记忆与理解 【创设情境】 意大利比萨斜塔

修建于 1173 年,由著名建筑师那诺·皮萨诺主持修建.它是 比萨城的标志.开始时,塔高设计为 100 m 左右,但动工五六年后,塔身从三层开始 倾斜,直到 1372 年完工还在持续倾斜,经过 600 年的风雨沧桑,塔身倾斜度达到了 5.3°,偏离中心达 4.4 m,岌岌可危,但经过 1972 年当地的地震,塔体还是倾而不 倒,巍然屹立,因此斜塔更加闻名遐迩. 问题 1:根据材料和图片,我们建立如图所示的平面直角坐标系,比萨斜塔的倾斜角是 仔细阅读教材 P82?85 完成下列问题: 问题 2:(1)直线的倾斜角的定义 当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准, x 轴 取值范围是 (2)斜率的定义 倾斜角不是 90 的直线,它的倾斜角的 的倾斜角为 90 时,其斜率 k 不存在. (3)斜率公式 当直线 l 经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) 时, l 的斜率 k = 问题 3:当倾斜角 ? ? 0 时, k =0,此时直线 l 与 x 轴平行或重合;
0 0 0

.

与直线

之间所成的 ,因此,直线倾斜角 ? 的

叫作直线 l 的倾斜角.当直线和 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角 ? 为 .

叫作这条直线的斜率,常用 k 表示,即

.当直线

. ; .

当 0 ? ? ? 90 时, k >0,并且随着 ? 的增大而
0 0

当 ? ? 90 时, k
0 0 0 0

,此时直线 l 与 x 轴垂直; .

当 90 ? ? ? 180 时, k <0,并且随着 ? 的增大而 特别地,当 ? ? 45 时,其斜率 k = 总之,倾斜角与斜率 k 之间的关系可用下图来

问题 4:用表格的形式直观表述直线的倾斜角与斜率 k 之间的关系: 直线情况 平行于 x 轴 由左向右上升 垂直于 x 轴 由右向左上升

? 的大小
k 的范围 k 的增减性

? ?0

0

0 ? ? ? 90
0

0

? ? 90

0

900 ? ? ? 1800

k >0
不增不减 不存在

1

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基础交流学习【预习自测】 1.已知下列直线的倾斜角,求直线的斜率: (1) ? ? 30 ;
0 0

k ? _______ (2) ? ? 450 ; k ? _______ (3) ? ? 600 ; k ? _______
(5) ? ? 135 ; k ? _______ (6) ? ? 150 . k ? _______
0 0

(4) ? ? 120 ; k ? _______ (1) C (18,8), D ( 4,?4) ; (2) P (0,0), Q ( ?1, 3 ) .

2.利用斜率公式,求经过下列两点的直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角:

3.若经过 P ( ?2, m) 和 Q ( m,4) 的直线的斜率为 1,则 m 等于(

)

A.1

B.4
第二层级

C.1 或 3

D.1 或 4

重难点探究【课堂学习】

【探究一】求直线的斜率和倾斜角. 已知 A(3,2), B ( ?4,1), C (0,?1), 求直线 AB, BC , CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角,并求 直线 CA 的倾斜角.

【探究二】直线的斜率的取值范围. 已知直线 l 过点 P ( ?1,2), 且与以 A( ?2,?3), B (3,0) 为端点的线段相交,求直线 l 的斜率的取值范围.

【探究三】求直线倾斜角的取值范围. 已知直线 l 的斜率 k ? 1 ,求倾斜角 ? 的取值范围.

2

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思维拓展应用 【应用一】 (1)已知点 A( ?3,2), C (0,?1), 求直线 AC 的斜率. (2)已知直线 CA 的倾斜角为 135 , C (0,?1), A( ?3, n), 求 n 的值.
0

【应用二】 已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 ( ?1,1), ( 2,2), 若直线 l 经过定点 A(0,?1, ) 且与线段 PQ 有交点,求直 线 l 的斜率 k 的取值范围.

【应用三】 已知直线 l 经过 A( 2,1), B (1, m )(m ? R ) 两点,求直线 l 的倾斜角的取值范围.
2

3

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第三层级 1.下列说法中,正确的是( )

技能应用与拓展【固学区】

【课后作业】

A.直线的倾斜角为 ? ,则此直线的斜率为 tan ? . B.有倾斜角的直线都有斜率. C.若直线的倾斜角为 ? ,则 sin ? ? 0 . D.任一直线都有倾斜角,但它不一定有斜率. 2.如图,直线 l1 , l2 , l3 的斜率分别为 k1 , k 2 , k3 ,则成立的是( A. k1 ? k 2 ? k3 B. k3 ? k1 ? k 2 ) C. k1 ? k3 ? k 2 D. k3 ? k 2 ? k1 1 3.若三点 A( ?2,3), B (3,?2), C ( , m) 共线,则 m 等于( ). 2 1 1 A.1 B.2 C. D.2 或 2 2 4.直线 l 经过两点 A(3, 3 ), B (6,2 3 ) ,而直线 l1 的倾斜角是直线 l 的倾斜角的 2 倍,则直线 l1 的斜率为

.

5.已知直线斜率的绝对值等于 1,则直线的倾斜角是 6.设直线的斜率是 k ,且 ? 1 ? k ?

.

3 ,求直线倾斜角 ? 的取值范围.

第四层级

总结评价与反思

【思维导图】

4


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