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新高三暑期数学竞赛辅导


新高三暑期数学竞赛辅导 专题二 三角形的垂心 性质 1 设 H 为 ? ABC 的垂心,则 H、A、B、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形 的垂心(并称这样的四点组为一垂心组,且垂心组的四个外接圆的圆心组成另一垂心组,于 原垂心组全等) 性质 2 设 ? ABC 的三条高线为 AD、BE、CF,其中 D、E、F 分别为垂足(以下均同) ,垂 心为 H,如图。对于点 A.B.

C.H.D.E.F 有六祖四点共圆,且 H.D.E.F 可为这些圆的根心;有 三组(每组四个)相似三角形,且 AH ? HD ? BH ? HE ? CH ? HF . 性 质 3 在 ? ABC 中 , H 为 垂 心 , BC=a,CA=b,AB=c,R 为 ? ABC 外 接 圆 半 径 , 则

AH 2 ? a 2 ? BH 2 ? b2 ? CH 2 ? c 2
性质 4 设 ? ABC 的外接圆半径为 R,则

AH ? 2R ? cos A , BH ? 2R ? cos B , CH ? 2R ? cos C .
性质 5 三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边距离的 2 倍 性质 6 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的 2 倍。 性质 7 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角 形的边上)中,以垂足三角形的周长最短。 性质 8 设 H 为锐角 ? ABC 的垂心, 且 D, E,F 分别为 H 在 BC,CA,AB 边所在直线上的射影,

H1 , H 2 , H3 分别为 ? AEF, ? BDF, ? CDE 的垂心,则 ? DEF≌ ?H1H 2 H3 .
例一 如图, 设 AD,BE,CF 为 ? ABC 的三条高, D, E, F 分别为垂足。 自 A,B,C 分别作 AK ? EF 于 K,作 BL ? FD 于 L,作 CN ? DE 于 N。证明:直线 AK,BL,CN 相交于一点。

A

F H O B D

E

C

例二 如图设 H 为 ? ABC 的垂心,P 是三角形所在平面内任一点。由 H 向 PA,PB,PC 引垂线 HL,HM,HN 与 BC,CA,AB 的延长线相交于 X,Y,Z。证明:X,Y,Z 三点共直线。
X

A F L H M P B D

Y

E

C

Z

例三 如图,设 H 为 ? ABC 的垂心,D,E,F 分别为 BC,CA,AB 的中点。一个以 H 为圆心的圆 交直线 DE 于 P,Q,交直线 EF 于 R,S,交直线 FD 于 T,U.证明:CP=CQ=AR=AS=BT=BU
T A Q

S

N

F

E M H

R

B

D L

C

P U

例四 如图,设 A,B,C,D 是一条直线上依次排列的四个不同的点,分别以 AC,BD 为直径的 两圆相交于 X 和 Y,直线 XY 交 BC 于 z,若 P 为直线 XY 上异于 Z 的一点,直线 CP 与以 AC 为直径的圆相交于 B 及 N,试证:AM,DN 和 XY 三线共点。

M X

N

A

B

Z Y

C

D

例五 设 O、H 分别为锐角 ? ABC 的外心和垂心,则 S?AOH , S?BOH , S?COH 中,最大的一个等 于其余两个之和。

例六 设 H、O 分别为锐角 ? ABC 的垂心和外心。证明:在 BC、CA、AB 上分别存在点 D、 E、F,使得 OD+DH=OE+EH=OF+FH.


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