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2014-2015学年湖北省宜昌市高二(下)期末数学试卷(文科)


2014-2015 学年湖北省宜昌市高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知命题 p:?x∈R,2x +1>0,则( 2 A. ¬p:?x∈R,2x +1≤0 2 C. ¬p:?x∈R,2x +1<0
2

) B. ¬p

:?x∈R,2x +1≤0 2 D. ¬p:?x∈R,2x +1<0 ) D . ﹣1
2

2.已知倾斜角为 45°的直线经过 A(2,4) ,B(1,m)两点,则 m=( A. 3 B. ﹣3 C. 5 3.如果复数 z=1+ai 满足条件|z|<2,那么实数 a 的取值范围是( A. (﹣2 ,2 ) B. (﹣2,2) C. (﹣1,1) )

D. (﹣

, )

4.某学校有学生 2500 人,教师 350 人,后勤职工 150 人,为了调查对食堂服务的满意度, 用分层抽样从中抽取 300 人,则学生甲被抽到的概率为( ) A. B. C. D.

5.在△ABC 中,“ A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

”是“△ABC 为直角三角形”的(



B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 的值,则框图中的①、②两处应分

6.如图所示的程序框图的功能是求 别填写( )

A. i<5?,

B. i≤5?,

C. i<5?,

D. i≤5?,

7. 与双曲线

有共同的渐近线, 且经过点 A (

, 2

) 的双曲线的方程为 (



A.

B. 2x ﹣

2

=1

C.

D.

8.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足关系式 f(x)=x +3xf′(2)+lnx,则 f′(2) 的值等于( ) A. 2
2 2

2

B. ﹣2
2 2

C.

D.

9.圆 O1:x +y +6x﹣4y+10=0 与圆 O2:x +y =4 的位置关系是( A. 相离 B. 相交 C. 外切

) D. 内切

10.如图所示,一游泳者自游泳池边 AB 上的 D 点,沿 DC 方向游了 10 米,∠CDB=60°, 然后任意选择一个方向并沿此方向继续游,则他再游不超过 10 米就能够回到游泳池 AB 边 的概率是( )

A.

B.

C.

D.

11.设 f(x) 、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( ) A. (﹣3,0)∪(3,+∞) B. (﹣3,0)∪(0,3) C. (﹣∞, ﹣3)∪(3,+∞) D. (﹣∞,﹣3)∪(0,3)

12.过椭圆

的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个

点 B,且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F,若 ( ) A. B. C.

,则椭圆离心率的取值范围是

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.具有线性相关关系的变量 x,y,满足一组数据如下表所示: X 0 1 2 3

y

﹣1

1

m

8 .

若 y 与 x 的回归直线方程为 =3x﹣ ,则 m 的值是

14.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=lnx 在 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线与直 线 ax﹣y+3=0 垂直,则实数 a 的值为 .

15.F1(﹣4,0) 、F2(4,0)是双曲线 C: 曲线 C 上一点,且∠F1MF2=60°,则△F1MF2 的面积为

(m>0)的两个焦点,点 M 是双 .

16.如图,在圆内:画 1 条弦,把圆分成 2 部分:画 2 条相交的弦,把圆分成 4 部分,画 3 条两两相交的弦,把圆最多分成 7 部分….画 5 条两两相交的弦,把圆最多分成 部分:画 n 条两两相交的弦,把圆最多分成 部分.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(﹣1,1)和 B(2,0) ,线段 AB 的垂直平分线交该 圆于 C、D 两点,且|CD|=10 (Ⅰ)求直线 CD 的方程; (Ⅱ)求圆 P 的方程.

18.p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a>0,q:实数 x 满足 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)?p 是?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 19.某市热线网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票.按照 该市暴雨前后两个时间收集了 50 份有效票,所得统计结果如下表: 支持 不支持 总计 暴雨后 x y 50 暴雨前 20 30 50 总计 A B 100 已知工作人员从所有投票中任取一个,取到“不支持投入”的投票的概率为 . (1)求列联表中的数据 x,y,A,B 的值;

2

2

(2)绘制条形统计图,通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设 施的投入的态度? (3)能够有多大把握认为暴雨与该市民众是否赞成加修建城市地下排水设施的投入有关? 附:K = P(K ≤K0) K0 2.072
2 2

0.15 2.076

0.10 3.841

0.05 5.024

0.025 6.635

0.010 7.879

0.005 0.001 10.828

20.如图,设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,过点 F 的直线 l1 交抛物线 C 于 A,B 两点,且|AB|=8,线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 3. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l2 与圆 x +y = 切于点 P,与抛物线 C 切于点 Q,求△FPQ 的面积.
2 2

2

21.已知函数 f(x)=x e ,e 为自然对数的底数. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)证明:?x1,x2∈(﹣∞,0],f(x1)﹣f(x2) (Ⅲ)当 n≥2 时,求证(n+1)?(e ﹣1)<4(e﹣1)?n?e
n

2 x


n﹣1



选考题:请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所 选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分:不涂、多涂均按所答第一题评分:多 答按所答第一速评分.【选修 4--1:几何选讲】 22.如图,△ABC 为直角三角形,∠ABC=90°,以 AB 为直径的圆交 AC 与点 E,点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆于点 M,求证:

(1)O、B、D、E 四点共圆; (2)2DC =DM?AC+DM?AB.
2

【选修 4-4 坐标系与参数】 2015?厦门校级模拟)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立 极坐标系, 曲线 C1 的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ) =1, 曲线 C2 的参数方程为 (θ

为参数) . (Ⅰ)求曲线 C1 的直角坐标方程与曲线 C2 的普通方程; (Ⅱ)试判断曲线 C1 与 C2 是否存在两个交点?若存在,求出两交点间的距离;若不存在, 说明理由.

【选修 4--5 不等式选讲】 2015 春?宜昌期末)设函数 f(x)=|x﹣ |+|x+m|(m>0) (1)证明:f(x)≥4; (2)若 f(2)>5,求 m 的取值范围.

2014-2015 学年湖北省宜昌市高二 (下) 期末数学试卷 (文 科) (A 卷)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2 1.已知命题 p:?x∈R,2x +1>0,则( ) 2 2 A. ¬p:?x∈R,2x +1≤0 B. ¬p:?x∈R,2x +1≤0 2 2 C. ¬p:?x∈R,2x +1<0 D. ¬p:?x∈R,2x +1<0 考点:命题的否定. 专题:简易逻辑. 分析:根据全称命题的否定是特称命题,即可得到结论. 解答: 解:命题为全称命题,则命题的否定为: :?x∈R,2x +1≤0, 故选:B 点评:本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 2.已知倾斜角为 45°的直线经过 A(2,4) ,B(1,m)两点,则 m=( A. 3 B. ﹣3 C. 5 ) D . ﹣1
2

考点:直线的斜率;直线的倾斜角. 专题:计算题;直线与圆. 分析:首先根据斜率公式直线 AB 的斜率 k,再由倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率,进 而求出 a 的值. 解答: 解:∵直线经过两点 A(2,4) ,B(1,m) , ∴直线 AB 的斜率 k=
0

=4﹣m,

又∵直线的倾斜角为 45 , ∴k=1, ∴m=3. 故选:A. 点评:本题考查直线的倾斜角和斜率的关系, 以及由两点求直线的斜率, 此题属于基础题型. 3.如果复数 z=1+ai 满足条件|z|<2,那么实数 a 的取值范围是( A. (﹣2 ,2 ) B. (﹣2,2) C. (﹣1,1) 考点:复数求模. 专题:计算题. 分析:把复数 z 代入|z|<2,求解无理不等式即可得到答案. 解答: 解:由 z=1+ai,|z|<2,得 ,解得 . ) D. (﹣ , )

所以实数 a 的取值范围是( ) . 故选 D. 点评:本题考查了复数的模,考查了无理不等式的解法,是基础题. 4.某学校有学生 2500 人,教师 350 人,后勤职工 150 人,为了调查对食堂服务的满意度, 用分层抽样从中抽取 300 人,则学生甲被抽到的概率为( ) A. B. C. D.

考点:分层抽样方法;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析:先根据分层抽样的特点可知, 求出抽取的学生数, 再利用等可能事件的概率公式可求 解. 解答: 解:根据分层抽样的特点可知,抽取的学生为 则学生甲被抽到的概率 P= = , =250 人,

故选:A. 点评:本题主要考查分层抽样的应用, 根据条件建立比例关系是解决本题的关键. 比较基础.

5.在△ABC 中,“ A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 考点:充要条件. 专题:简易逻辑. 分析:“ 可判断出. 解答: 解:“

”是“△ABC 为直角三角形”的(



B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

”?A=90°?“△ABC 为直角三角形”,反之不成立,可能为 B 或 C=90°.即

”?A=90°?“△ABC 为直角三角形”,

反之不成立,可能为 B 或 C=90°. 因此“ ”是“△ABC 为直角三角形”的充分不必要条件.

故选:A. 点评:本题考查了充要条件的判定方法,考查了推理能力,属于基础题. 6.如图所示的程序框图的功能是求 别填写( ) 的值,则框图中的①、②两处应分

A. i<5?,

B. i≤5?,

C. i<5?,

D. i≤5?,

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:根据流程图所表示的算法功能可知求 来累加,根据循环的次数,可得处理框应填结果. 解答: 解:程序框图是计算 的值, 的值,从而应该利用

则可利用循环结构累加 ,共循环 4 次, 则第一个处理框应为 i<5, 然后计算 , 第二空应填写 . 故选:C. 点评:本题主要考查了当型循环结构, 循环结构有两种形式: 当型循环结构和直到型循环结 构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断,本题属于基础题.

7. 与双曲线

有共同的渐近线, 且经过点 A (

, 2

) 的双曲线的方程为 (



A.

B. 2x ﹣

2

=1

C.

D.

考点:双曲线的标准方程. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由双曲线有共同渐近线的特点设出双曲线的方程为 代入求出 λ 再化简即可. =λ, 把点 A ( , 2 ) ,

解答: 解:由题意设所求的双曲线的方程为 因为经过点 A( 代入方程化简得 ,2 ) ,所以 ,

=λ,

=λ,即 λ=﹣9,

故选:C. 点评:本题考查双曲线特有的性质: 渐近线, 熟练掌握双曲线有共同渐近线的方程特点是解 题的关键. 8.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足关系式 f(x)=x +3xf′(2)+lnx,则 f′(2) 的值等于( ) A. 2 B. ﹣2 C. D.
2

考点:导数的加法与减法法则. 专题:导数的概念及应用. 2 分析:对等式 f(x)=x +3xf′(2)+lnx,求导数,然后令 x=2,即可求出 f′(2)的值. 2 解答: 解:∵f(x)=x +3xf′(2)+lnx, ∴f′(x)=2x+3f′(2)+ , 令 x=2,则 f′(2)=4+3f′(2)+ , 即 2f′(2)=﹣ , ∴f′(2)=﹣ . 故选:D. 点评:本题主要考查导数的计算,要注意 f′(2)是个常数,通过求导构造关于 f′(2)的方 程是解决本题的关键. 9.圆 O1:x +y +6x﹣4y+10=0 与圆 O2:x +y =4 的位置关系是( A. 相离 B. 相交 C. 外切
2 2 2 2

) D. 内切

考点:圆与圆的位置关系及其判定. 专题:直线与圆. 分析:求出两个圆的圆心和半径,根据圆圆之间的位置关系的条件即可得到结论. 2 2 2 2 解答: 解:圆 O1:x +y +6x﹣4y+10=0 的标准方程为(x+3) +(y﹣2) =3,圆心为 O1 (﹣3,2) ,半径为 r= , 2 2 圆 O2:圆 O2:x +y =4,圆心为 O2(0,0) ,半径为 R=2, 则|O1O2|= R+r= =
2

,∴|O1O2| =13=7+ +2) =7+
2

2

+2, (R+r) =(



∴|O1O2|<R+r R﹣r=2﹣ < =|O1O2|, 故圆 O1 和圆 O2 的位置关系是相交, 故选:B. 点评:本题主要考查圆与圆的位置关系的判断,求出圆的圆心和半径是解决本题的关键. 10.如图所示,一游泳者自游泳池边 AB 上的 D 点,沿 DC 方向游了 10 米,∠CDB=60°, 然后任意选择一个方向并沿此方向继续游,则他再游不超过 10 米就能够回到游泳池 AB 边 的概率是( )

A.

B.

C.

D.

考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析:根据几何概型的概率公式求出对应的测度,即可得到结论. 解答: 解:∵任意选择一个方向,∴对应的度数为 360°, ∵再游不超过 10 米就能够回到游泳池 AB 边的事件包含的角度为 60°, ∴由几何概型的概率公式可得所求的概率 P= ,

故选:A. 点评:本题主要考查几何概型的概率的计算,根据题意求出对应的角度是解决本题的关键, 比较基础. 11.设 f(x) 、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( ) A. (﹣3,0)∪(3,+∞) B. (﹣3,0)∪(0,3) C. (﹣∞, ﹣3)∪(3,+∞) D. (﹣∞,﹣3)∪(0,3) 考点:函数奇偶性的性质;导数的运算;不等式. 专题:计算题;压轴题. 分析:先根据 f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0 可确定[f(x)g(x)]'>0,进而可得到 f(x) g(x)在(﹣∞,0)上递增,结合函数 f(x)与 g(x)的奇偶性可确定 f(x)g(x)在(0, +∞)上也是增函数,最后根据 g(3)=0 可求得答案. 解答: 解:因 f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,即[f(x)g(x)]'>0 故 f(x)g(x)在(﹣∞,0)上递增, 又∵f(x) ,g(x)分别是定义 R 上的奇函数和偶函数, ∴f(x)g(x)为奇函数,关于原点对称,所以 f(x)g(x)在(0,+∞)上也是增函数. ∵f(3)g(3)=0,∴f(﹣3)g(﹣3)=0 所以 f(x)g(x)<0 的解集为:x<﹣3 或 0<x<3

故选 D. 点评:本题考查了函数的奇偶性的应用,以及导数的运算,不等式的解法等,属于中档题.

12.过椭圆

的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个

点 B,且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F,若 ( ) A. B. C.

,则椭圆离心率的取值范围是

D.

考点:椭圆的简单性质. 专题:计算题. 分析:先作出图形,则易知|AF2|=a+c,|BF2|= ,再由∠BAF2 是直线的倾斜角,易

得 k=tan∠BAF2=

,然后通过

可得



再分子分母同除 a 得

2

求解.

解答: 解:如图所示:|AF2|=a+c,|BF2|=



∴k=tan∠BAF2= 又∵ ,







∴ ∴ 故选 C. ,



点评:本题考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角, 难度不 大,但需要灵活运用和转化知识. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.具有线性相关关系的变量 x,y,满足一组数据如下表所示: X 0 1 2 3 y ﹣1 1 m 8 若 y 与 x 的回归直线方程为 =3x﹣ ,则 m 的值是 4 .

考点:线性回归方程. 专题:计算题;概率与统计. 分析:利用平均数公式计算预报中心点的坐标,根据回归直线必过样本的中心点可得答案. 解答: 解:由题意, =1.5, = ∴样本中心点是坐标为(1.5, ) , ,

∵回归直线必过样本中心点,y 与 x 的回归直线方程为 =3x﹣ , ∴ =3×1.5﹣1.5,

∴m=4 故答案为:4. 点评:本题考查了线性回归直线的性质,回归直线必过样本的中心点. 14.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=lnx 在 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线与直 线 ax﹣y+3=0 垂直,则实数 a 的值为 ﹣e . 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用;直线与圆. 分析:求出函数的导数,求得切线的斜率,由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,可得 a 的方程,即可解得 a. 解答: 解:y=lnx 的导数为 y′= , 即有曲线 y=lnx 在 x=e 处的切线斜率为 k= ,

由于切线与直线 ax﹣y+3=0 垂直, 则 a? =﹣1, 解得 a=﹣e, 故答案为:﹣e. 点评:本题考查导数的运用:求切线的斜率,主要考查导数的几何意义,同时考查两直线垂 直的条件:斜率之积为﹣1,属于基础题.

15.F1(﹣4,0) 、F2(4,0)是双曲线 C: 曲线 C 上一点,且∠F1MF2=60°,则△F1MF2 的面积为

(m>0)的两个焦点,点 M 是双 4 .

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:先求出 m,再设出|MF1|=m′,|MF2|=n,利用双曲线的定义以及余弦定理列出关系式, 求出 m′n 的值,最后求解三角形的面积. 解答: 解:∵F1(﹣4,0) 、F2(4,0)是双曲线 C: ∴m+4=16, ∴m=12, 设|MF1|=m′,|MF2|=n, ∵点 M 是双曲线上一点,且∠F1MF2=60°, 2 2 ∴|m′﹣n|=4 ①,m′ +n ﹣2m′ncos60°=64②, 2 由②﹣① 得 m′n=16 ∴△F1MF2 的面积 S= m′nsin60°=4 , (m>0)的两个焦点,

故答案为:4 . 点评:本题考查双曲线的简单性质,双曲线的定义以及余弦定理的应用,考查计算能力. 16.如图,在圆内:画 1 条弦,把圆分成 2 部分:画 2 条相交的弦,把圆分成 4 部分,画 3 条两两相交的弦, 把圆最多分成 7 部分…. 画 5 条两两相交的弦, 把圆最多分成 16 部分: 画 n 条两两相交的弦,把圆最多分成 部分.

考点:进行简单的合情推理. 专题:推理和证明.

分析:通过 1 条弦、2 条相交弦、3 条两两相交弦将圆最多分成的部分数找规律:1 条弦时, 分成 1+1 部分;2 条弦时,分成 1+1+2 部分;3 条弦时,分成 1+1+2+3,这便可发现,n 条 弦时,分成 1+1+2+3+…+n 部分,这样便可得出答案了. 解答: 解:1 条弦把圆分成:1+1=2 部分; 2 条相交弦把圆分成:1+1+2=4 部分; 3 条两两相交的弦把圆最多分成:1+1+2+3=7 部分; 4 条两两相交的弦把圆最多分成:1+1+2+3+4=11 部分; 5 条两两相交的弦把圆最多分成:1+1+2+3+4+5=16 部分; … n 条两两相交的弦把圆最多分成:1+1+2+3+…+n= 故答案为:16, . 部分.

点评:本题主要考查归纳推理的应用,正确读懂题意,并知道去找规律是解决本题的关键. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(﹣1,1)和 B(2,0) ,线段 AB 的垂直平分线交该 圆于 C、D 两点,且|CD|=10 (Ⅰ)求直线 CD 的方程; (Ⅱ)求圆 P 的方程. 考点:圆的一般方程. 专题:直线与圆. 分析: (1)直接用点斜式求出直线 CD 的方程; (2)根据条件得知|PA|为圆的半径,点 P 在直线 CD 上,列方程求得圆心 P 坐标,从而求 出圆 P 的方程 解答: 解: (1)直线 AB 的斜率 k=1,AB 中点坐标为(1,2) ,…(3 分) ∴直线 CD 的斜率为﹣1, 方程为 y﹣2=﹣(x﹣1)即 x+y﹣3=0 …(6 分) (2)设圆心 P(a,b) ,则由点 P 在直线 CD 上得: a+b﹣3=0 ①…(8 分) 又直径|CD|=10, ∴|PA|=5 2 2 ∴(a+1) +b =25 ②…(10 分) 由①②解得 或

∴圆心 P(2,5)或 P(﹣1,﹣4)…(12 分) 2 2 2 2 ∴圆 P 的方程为(x﹣2) +(y﹣5) =25 或(x+1) +(y+4) =25…(14 分 点评:此题考查直线方程的点斜式、圆的标准方程的求法.

18.p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a>0,q:实数 x 满足

2

2

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)?p 是?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;复合命题的真假. 专题:简易逻辑. 分析: (1)若 a=1,分别求出 p,q 成立的等价条件,利用且 p∧q 为真,求实数 x 的取值 范围; (2) 利用¬p 是¬q 的充分不必要条件, 即 q 是 p 的充分不必要条件, 求实数 a 的取值范围. 2 2 解答: 解: (1)由 x ﹣4ax+3a <0,得(x﹣3a) (x﹣a)<0.又 a>0, 所以 a<x<3a. 当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3. 由 得

得 2<x≤3, 即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3. 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真, 所以实数 x 的取值范围是 2<x<3. (2)¬p 是¬q 的充分不必要条件,即¬p?¬q,且¬q 推不出¬p. 即 q 是 p 的充分不必要条件, 则 ,解得 1<a≤2,

所以实数 a 的取值范围是 1<a≤2. 点评:本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系,利用逆否命题的等价性将¬p 是¬q 的充分不必要条件,转化为 q 是 p 的充分不必要条件是解决本题的关键, 19.某市热线网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票.按照 该市暴雨前后两个时间收集了 50 份有效票,所得统计结果如下表: 支持 不支持 总计 暴雨后 x y 50 暴雨前 20 30 50 总计 A B 100 已知工作人员从所有投票中任取一个,取到“不支持投入”的投票的概率为 . (1)求列联表中的数据 x,y,A,B 的值; (2)绘制条形统计图,通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设 施的投入的态度? (3)能够有多大把握认为暴雨与该市民众是否赞成加修建城市地下排水设施的投入有关? 附:K = P(K ≤K0) K0 2.072
2 2

0.15 2.076

0.10 3.841

0.05 5.024

0.025 6.635

0.010 7.879

0.005 0.001 10.828

考点:独立性检验的应用. 专题:应用题;概率与统计. 分析: (1)利用工作人员从所有投票中任取一个,取到“不支持投入”的投票的概率为 , 求出 y,即可求得其它值; (2)求出暴雨前后支持率、不支持率,可得条形统计图; 2 (3)根据公式计算相关指数 K 的观测值,比较临界值的大小,可判断南昌暴雨对民众是否 赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关系. 解答: 解: (1)设“从所有投票中抽取一个,取到不支持投入的投票”为事件 A, 由已知得 P(A)= (2)暴雨后支持率为 暴雨前支持率为 = ,所以 y=10,B=40,x=40,A=60.…(4 分) = ,不支持率为 1﹣ = ,

= ,不支持率为 1﹣ = .…(6 分)

条形统计图如图所示, 由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的 态度.

…(8 分) (3)K =
2

=

=

≈16.78>10.828.

故至少有 99.9%的把握认为我市暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入 有关. …(12 分) 点评:本题考查了列联表及利用列联表进行独立性检验的思想方法, 熟练掌握独立性检验的 思想方法是解题的关键. 20.如图,设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,过点 F 的直线 l1 交抛物线 C 于 A,B 两点,且|AB|=8,线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 3. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程;
2

(Ⅱ)若直线 l2 与圆 x +y = 切于点 P,与抛物线 C 切于点 Q,求△FPQ 的面积.

2

2

考点:抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (I)利用中点坐标公式、焦点弦长公式即可得出; (Ⅱ)设 l2:y=kx+m,由 l2 与⊙O 相切可得 2m =1+k ,直线与抛物线方程联立可得 k x + 2 (2km﹣4)x+m =0,利用直线 l2 与抛物线相切,可得△=0 可得 km=1,联立解出 k,m.得 出 Q 坐标,|PQ|,直线 l2 方程,利用点到直线 l2 的距离公式可得 F(1,0)到的距离. 解答: 解: (Ⅰ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 AB 中点坐标为 由题意知 ,∴x1+x2=6, ,
2 2 2 2

又|AB|=x1+x2+p=8,∴p=2, 2 故抛物线 C 的方程为 y =4x; (Ⅱ)设 l2:y=kx+m,由 l2 与⊙O 相切得 ①,



?k x +(2km﹣4)x+m =0, (*)

2 2

2

∵直线 l2 与抛物线相切, 2 2 2 ∴△=(2km﹣4) ﹣4k m =0?km=1② 由 ①,②得 k= =±1, ∴方程(*)为 x ﹣2x+1=0,解得 x=1, ∴Q(1,±2) , ∴|PQ|= = = ;
2

此时直线 l2 方程为 y=x+1 或 y=﹣x﹣1, ∴令 F(1,0)到 l2 的距离为 , ∴S△PQF= = = .

点评:本题考查了抛物线的标准方程及其性质、 焦点弦长公式、 直线与圆及其抛物线相切转 化为方程联立可得△=0、弦长公式、三角形的面积计算公式、点到直线的距离公式,考查了 推理能力与计算能力,属于难题. 21.已知函数 f(x)=x e ,e 为自然对数的底数. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)证明:?x1,x2∈(﹣∞,0],f(x1)﹣f(x2) (Ⅲ)当 n≥2 时,求证(n+1)?(e ﹣1)<4(e﹣1)?n?e
n 2 x


n﹣1



考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)先求出函数 f(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间 即可; (Ⅱ)先求出函数 f(x)在(﹣∞,0]上的单调区间,求出区间上的最大值和最小值,从而 证明不等式成立; (Ⅲ)由函数的单调性得到
x

,n=2,3,…,n+1,求和化简整理即可.

解答: 解: (Ⅰ)f′(x)=x(x+2)e , x 令 f′(x)=x(x+2)e =0,则 x1=﹣2,x2=0, 所以函数 f(x)的单调递减区间为(﹣2,0) ,单调递增区间为(﹣∞,﹣2) , (0,+∞) ; (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣2) ,单调递减区间为(﹣2,0) , x (﹣∞,﹣2) ﹣2 (﹣2,0) 0 (0,+∞) f′(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 当 x∈(﹣∞,0]时,f(x)最大值=f(﹣2)= ,

因为当 x∈(﹣∞,﹣2]时,f(x)>0,f(0)=0, 所以当 x∈(﹣∞,0]时,f(x)最小值=f(0)=0, 所以 f(x)最大值﹣f(x)最小值= , ;

所以对?x1,x2∈(﹣∞,0],都有 f(x1)﹣f(x2)≤f(x)最大值﹣f(x)最小值= (Ⅲ)当 n≥2 时,﹣n≤﹣2,由(Ⅱ)知: f(﹣n)≤f(﹣2)即 ,



,从而



,…,



将以上各式相加,得:

< )],



即:1+ +L+

<4[(1﹣ )+(

)+L+(

即:
n

,化简得:
n﹣1



即(n+1)?(e ﹣1)<4(e﹣1)?n?e . 点评:本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,不等式的证明问题,本题计 算量大,有较大难度. 选考题:请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所 选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分:不涂、多涂均按所答第一题评分:多 答按所答第一速评分.【选修 4--1:几何选讲】 22.如图,△ABC 为直角三角形,∠ABC=90°,以 AB 为直径的圆交 AC 与点 E,点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆于点 M,求证: (1)O、B、D、E 四点共圆; 2 (2)2DC =DM?AC+DM?AB.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:选作题;推理和证明. 分析: (1)做出辅助线,首先证明两个三角形全等,根据三角形三边对应相等,得到两 个三角形全等,得到对应角相等,从而得到四边形一对对角互补,即四点共圆. (2)根据圆的切割线定理,写出 DE,DM,DH 三者之间的关系,把 DH 写成两部分的和, 然后变化成 AC,整理系数得到结论成立. 解答: 解: (1)如图,连接 BE,则 BE⊥EC, 又 D 是 BC 的中点,所以 DE=BD. 又 OE=OB,OD=OD, 所以△ODE≌△ODB, 所以∠OBD=∠OED=90°. 故 D,E,O,B 四点共圆. …(5 分) (2)如图,延长 DO 交圆于点 H, 2 ∵DE =DM?DH=DM?(DO+OH)=DM?DO+DM?OH, ∴DE =DM?( AC)+DM ∵DE=
2 2

,即 2DE =DM?AC+DM?AB,

2

=DC,∴2DC =DM?AC+DM?AB.…(10 分)

点评:本题考查三角形全等,考查四点共圆,考查圆的切割线定理,是一个平面几何的综合 题目,解题时注意分析要证明的结论与条件之间的关系. 【选修 4-4 坐标系与参数】 2015?厦门校级模拟)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立 极坐标系, 曲线 C1 的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ) =1, 曲线 C2 的参数方程为 (θ

为参数) . (Ⅰ)求曲线 C1 的直角坐标方程与曲线 C2 的普通方程; (Ⅱ)试判断曲线 C1 与 C2 是否存在两个交点?若存在,求出两交点间的距离;若不存在, 说明理由. 考点:椭圆的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ) 由条件根据极坐标与直角坐标的互化公式求得曲线 C1 的直角坐标方程; 把 曲线 C2 的参数方程中的参数消去,转化为普通方程. (Ⅱ)把曲线 C1 与 C2 是联立方程组根据判别式大于零可得曲线 C1 与 C2 是相交于两个点; 求出方程组的解,可得两个交点的坐标,从而求得两交点间的距离. 解答: 解: (Ⅰ)由曲线 C1 的极坐标方程为 ρ(sinθ+cosθ)=1,可得它的直角坐标方程为 x+y=1, 根据曲线 C2 的参数方程为 (θ 为参数) ,可得它的普通方程为 +y =1.
2

(Ⅱ)把曲线 C1 与 C2 是联立方程组

,化简可得 5x ﹣8x=0,显然△=64>0,

2

故曲线 C1 与 C2 是相交于两个点.

解方程组求得

,或

,可得这 2 个交点的坐标分别为(0,1) 、 ( ,﹣ ) .

点评:本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程, 把参数方程化为普通方程的方法, 求 两条曲线的交点,属于基础题. 【选修 4--5 不等式选讲】 2015 春?宜昌期末)设函数 f(x)=|x﹣ |+|x+m|(m>0) (1)证明:f(x)≥4;

(2)若 f(2)>5,求 m 的取值范围. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)由 m>0,由 f(x)的解析式利用绝对值三角不等式证得结论. (Ⅱ)分当 <2 时和当 ≥2 时两种情况,分别根据 f(2)>5,求得 m 的范围,再把所得 m 的范围取并集,即得所求. 解答: 解: (Ⅰ)由 m>0,有 f(x)=|x﹣ |+|x+m|≥|﹣(x﹣ )+x+m|= +m≥4, 当且仅当 =m,即 m=2 时取“=”,所以 f(x)≥4 成立. (Ⅱ)f(2)=|2﹣ |+|2+m|. 当 <2,即 m>2 时,f(2)=m﹣ +4,由 f(2)>5,求得 m> 当 ≥2,即 0<m≤2 时,f(2)= +m,由 f(2)>5,求得 0<m<1. 综上,m 的取值范围是(0,1)∪( ,+∞) . .

点评:本题主要考查绝对值三角不等式的应用,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨 论的数学思想,属于基础题.


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