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第一讲 三角函数


第一讲
知识要点: 1. 与角 ? 终边相同的角的集合: 2.弧长公式与扇形面积公式:

三角函数的概念及诱导公式

?? ? ? ? ? 2k? , k ? Z?
r o S y

l ? r?

s?

1 1 lr ? ? r 2 2 2

/>3.三角函数的定义:

y x y x sin ? ? , cos? ? , tan? ? , cot? ? r r x y
4.同角三角函数的基本关系:

角?的终边
P(x,y )) O x

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1, 1 cos2 ? (1) 平方关系: 1 1 ? cot2 ? ? sin 2 ? 1 ? t an2 ? ?
tan ? ?
(2) 商数关系: (3) 倒数关系:

sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

tan ? cot ? ? 1

? ? k ? 3600 (k ? Z ),?? ,1800 ? ? ,3600 ? ?的三角函数值等于 ?的 个把?看成锐角时原函数值的 符号。 诱导公式:同名函数值前面加上一
题例 1. sin(? ? ) 的值是 2.已知 sin ? ? A、 ?

5 6



)A.

3 2

B.

1 2

C. ?

3 2


D. ?

1 2

4 3

4 ,并且 ? 是第二象限的角,那么 tan ? 的值等于( 5 3 3 4 B、 ? C、 D、 4 3 4

3、 若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则 ? 与 ? 的关系是 ? ? ? ? 2k? ? ? 。

4、 设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是 2. 5. 若 sin x ?

2

m?3 4 ? 2m ? 5 , cos x ? , x ? ( , ? ) ,则 tan x 的值为 ? 。 m?5 m?5 2 12

6. 满足 sin x ?

3 ? ? ? ? 的 x 的集合为 ? x | x ? 2k? ? , 或2k? ? , k ? Z ? 。 2 3 3 ? ?

7.设 ? 角属于第二象限,且 cos A、 第一象限

?
2

? ? cos

?
2

,则

? 角属于( C ) 2
D、 第四象限

B、 第二象限

C、 第三象限

8、 函数 y ?

sin x cos x tan x 的值域是( C ) ? ? sin x cos x tan x
B、 ?? 1,0,3? C、

A、

?? 1,0,1,3?

?? 1,3?
sin ?

D、 ?? 1,1?

9、 若角 ? 的终边落在直线 x ? y ? 0 上,则 B、 ?2 C、 ?2 或 2

1 ? sin 2 ?

?

1 ? cos 2 ? 的值等于( D ) cos ?

A、 2

D、 0 ) D、 (

10、 在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围为( C A、 (

? ?

4 4 4 2 2 1 2 11、已知 tan x ? 2 , (1)求 sin x ? cos x 的值 3 4
(2)求 2 sin x ? sin x cos x ? cos x 的值
2 2

5? , ) ? (? , ) 4 2 4

B、 (

?

,? )

C、 (

? 5?
,

)

?
4

,? ) ? (

5? 3? , ) 4 2

2 2 1 2 2 1 sin x ? cos2 x tan x ? 2 1 4 4? 7 解: (1) sin 2 x ? cos 2 x ? 3 ?3 2 2 2 3 4 sin x ? cos x tan x ? 1 12
(2) 2sin x ? sin x cos x ? cos x ?
2 2

2sin 2 x ? sin x cos x ? cos 2 x sin 2 x ? cos 2 x

2 tan 2 x ? tan x ? 1 7 ? ? tan x ? 1 5
12 、 已 知 t a n ?,

1 7 2 2 是 关 于 x 的 方 程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的 两 个 实 根 , 且 3? ? ? ? ? , 求 2 tan ?

co s ? ?sin ? 的值
解:

tan ? ?

1 1 7 ? k 2 ? 3 ? 1,? k ? ?2 ,而 3? ? ? ? ? ,则 tan ? ? ? k ? 2, tan ? tan ? 2

得 tan ? ? 1 ,则 sin ? ? cos ? ? ?

2 ,?cos? ? sin ? ? ? 2 2

13.已知 sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? (1) sin ? ? cos ? (2) sin (
3

2 ? ( ? ? ? ? ) ,求下列各式的值: 3 2

?
2

? ? ) ? cos 3 (

?
2

? ? ).

练习一 一.选择题 1. ? 是第四象限角, tan ? ? ? A.

三角函数的概念及诱导公式

1 5

B. ?

1 5
(A) ?

5 ,则 sin ? ? ( 12 5 5 C. D. ? 13 13
(B)-



2. cos 300? ?

3 2

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

3.若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 是,则 ? 是( ) A.第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 4.下列关系式中正确的是 A. sin11 ? cos10 ? sin168 C. sin11 ? sin168 ? cos10
? ? ? ? ?

B. sin168 ? sin11 ? cos10 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m D. sin168 ? cos10 ? sin11
? ? ?

?

?

?

?

2 2 5.已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?

4 5 3 4 (B) (C) ? (D) 3 4 4 5 5? 2? 2? 6.设 a ? sin , b ? cos , c ? tan ,则 7 7 7 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? c ? a D. b ? a ? c 12 7. 已知 ?ABC 中, cot A ? ? , 则 cos A ? 5 12 5 5 12 A. B. C. ? D. ? 13 13 13 13
(A) ? 8.已知 tanα ,tanβ 是方程 x2+3 3 x+4=0 的两个根,且 ? A

? 3

B ?

2? 3

C

? 2? 或? 3 3

? ? ? , ? < β< 2 2 2 2 ? 2? D ? 或 3 3
<α<

?

则 α+β =

二.填空题 9.已知α 是第二象限的角,tanα = ? 10.若 sin ? ? ?

1 ,则 cosα =__________ 2


4 , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? 5

11.已知 ? 为第二象限的角, sin a ? 三.解答题

3 ,则 tan 2? ? 5

.

π 2π 3π 4π 5π 6π 12.求值:(1)cos +cos +cos +cos +cos +cos 7 7 7 7 7 7 π 2π 3π 4π (2)tan +tan +tan +tan 5 5 5 5 π π π π (3)sin(π + )sin(2π + )sin(3π + )…sin(2004π + ) 6 6 6 6 13.化简:

sin?? ? ?k ? 1?? ? ? sin?? ? ?k ? 1?? ? sin ?? ? k? ? cos?? ? k? ?

(k∈Z)

14.在△ABC 中,若 sin(2π -A)= 个内角.

2 sin(π +B), 3 cosA = - 2 cos(π -B),求△ABC 的三

15. 已知 sinθ 和 cosθ 是方程 2 x2- ( 3 +1) x+m = 0 的两个根, 求 值。

sin ?3? ? ? ? cos?? ? 2? ? ? 的 1 ? cot?? ? ? ? 1 ? tan?? ? ? ?

16.已知 sin x ? cos x ? m, ( m ? 2 , 且 m ? 1) , 求(1) sin 3 x ? cos3 x ; (2) sin 4 x ? cos4 x 的值
参考答案

2 3 24 1 5 ; 10. ? ; 11. ? ; 12.(1)0,(2)0 (3) 2004 5 7 2 5 2 2 13. k 为奇数时,原式 = ;k 为偶数时,原式 = - . cos ? cos ?
1.D 2.C 3.C 4.C 5.D 6.D 7.D 8.B 9. ? 14.A=45°,B=30°,C=105° 15.

1? 3 2
m2 ? 1 , 2

16.解:由 sin x ? cos x ? m, 得 1 ? 2sin x cos x ? m2 , 即 sin x cos x ?

(1) sin 3 x ? cos3 x ? (sin x ? cos x)(1 ? sin x cos x) ? m(1 ?

m2 ? 1 3m ? m3 )? 2 2

m 2 ? 1 2 ? m 4 ? 2m 2 ? 1 ) ? (2) sin x ? cos x ? 1 ? 2sin x cos x ? 1 ? 2( 2 2
4 4 2 2


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