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高一数学第一章 集合的概念与基本运算北师大版必修一知识精讲.doc


高一数学第一章
【本讲教育信息】
一、教学内容: 集合的概念与基本运算

集合的概念与基本运算北师大版必修一

二、学习目标: 1、通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,掌握某些数集的专用符 号; 2、理解集合的表示法,用集合语言对事物进行准确的分类,能选择自然语言、图形语言、 集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言表示数学内容的简洁性和 准确性; 3、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。培养分析、比较、归纳的 逻辑思维能力; 4、能在具体情境中,了解全集与空集的含义; 5、理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并集;培养从具体到 抽象的思维方法; 6、理解在给定集合中,一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; 7、能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 三、知识要点 (一)集合的含义与表示 1、集合 (1)一般地,指定的某些对象的全体称为集合; (2)集合常用大写字母 A、B、M、N??标记; (3)一些常用的数集及其记法: 自然数集:N; 正整数集:N+; 整数集:Z; 有理数集:Q; 实数集:R; 2、元素 (1)集合中的每个对象叫作这个集合的元素; (2)元素常用小写字母 a,b,c,d,??标记; 3、元素与集合的关系: 若 a 在集合 A 中,就说 a 属于集合 A,记作 a∈A;若 a 不在集合 A 中,就说 a 不属于 集合 A,记作 a ?A。 4、集合的表示方法 (1)列举法:把集合中的元素一一列举出来写在大括号内。如:小于 10 的所有质数组 成的集合用列举法可以表示为 A={2,3,5,7} 。 (2)描述法:描述该集合中所有元素都应该满足的条件的方法。如:大于 1 而小于 10 的所有实数组成的集合用描述法可以表示为

B={x|1<x<10} 。 (3)图示法:用一个封闭的曲线的内部直观地表示一个集合的方法,这个封闭的曲线 称为 Venn 图。如:小于 10 的所有质数组成的集合用 Venn 图可以表示为

5、集合的分类 (1)有限集:含有有限个元素的集合; (2)无限集:含有无限个元素的集合; (3)空集:不含任何元素的集合,用符号φ 表示。 例 1 下列不能形成集合的是( ) A、你现在的家庭成员; B、本单位已退休人员; C、老年人; D、本班的学生 分析:因为集合一旦形成,那么对任何一个对象而言,它要么属于这个集合,要么不属 于这个集合。但是,如何判断一个人是不是老年人尚无统一标准,所以不能形成集合。 答:C。 (二)集合的基本关系(本课学习的重点) 1、包含 (1) 一般地, 对于两个集合 A 与 B, 如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素, 即若 a∈A,则 a∈B,就说集合 A 包含于集合 B,或集合 B 包含集合 A。记作 A ? B(或 B ? A) 。 这时我们就说集合 A 是集合 B 的子集。 任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A。 2、相等:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素,同 时集合 B 中的任何一个元素都是集合 A 中的元素,这时我们就说集合 A 与集合 B 相等,记 作 A=B。即若 A ? B,且 B ? A,则 A=B。 3、真子集 (1) 对于两个集合 A 与 B, 如果 A ? B 且 A≠B, 我们就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A B(或 B A) (2)空集是任何集合的子集,即对任意集合 A,都有:φ ? A;空集是任何非空集合 的真子集,即若集合 A≠φ ,则有φ A。

例 2 试写出集合 A={1,2,3,4,5}的所有子集。 分析:以子集所含元素的个数分别为 0,1,2,3,4,5 进行分类 解答:共有 32 个:φ ,{1},{2},{3},{4},{5},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5}, {2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},{3,4,5},{2,4,5},{2,3,5}, {2,3,4},{1,4,5},{1,3,5},{1,3,4},{1,2,5},{1,2,4},{1,2,3},{1,2, 3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5}。 思考:若已知集合 A 有 n 个元素,则集合 A 的子集有多少个?真子集有多少个?

(三)集合的基本运算(本课学习的重点和难点) 1、交集:一般地,由既属于集合 A 又属于集合 B 的所有元素组成的集合,叫作 A 与 B 的交集,记作 A∩B,读作“A 交 B” ,即 A∩B={x|x∈A 且 x∈B} 。

2、并集:一般地,由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成的集合,叫作 A 与 B 的 并集,记作 A∪B,读作“A 并 B” ,即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B} 。

例 3 已知集合 A={x|0<x<3},B={x|-1≤x≤2},求 A∩B、A∪B。 分析:集合 A 和 B 都是数集,可借助数轴进行研究。 解:在数轴上分别表示出集合 A 与集合 B,如图:

则得:A∩B={x|0<x≤2}, A∪B={x|-1≤x<3}。 3、全集:一般地,在研究某些集合的时候,这些集合往往是某个给定的集合的子集,这 个给定的集合叫作全集,常用符号 U 表示。全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素。 4、补集(或余集) :设 U 是全集,A 是 U 的一个子集(即 A ? U) ,则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫作 U 中子集 A 的补集(或余集) ,记作:CUA,即 ? CUA={x|x∈U,且 x A}。

5、 ?求集合的交集、 并集和补集都是集合的运算; 两个集合运算的结果仍然是一个集合。 ②主要运算性质: A∩A=A,A∪A=A; A∩B=B∩A,A∪B=B∪A; (A∩B)∩C=A∩(B∩C) , (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ; A∩(B∪C)=(A∩B)∪(B∩C) ,A∪(B∩C)=(A∪B)∩(B∪C) ; CU(A∩B)=CUA∪CUB,CU(A∪B)=CUA∩CUB ③主要运算关系: A∩B ? A,A∩B ? B;A∪B ? A,A∪B ? B; A∩B=A ? A ? B,A∪B=A ? A ? B; 说明:对以上运算法则和运算关系的理解可结合 Venn 图进行。

例 4 已知集合 A={x|0≤x<1},求 CRA. 分析:本题求解集合 A 在实数集 R 中的补集,即求所有不属于 A 的元素组成的集合。 解:CRA={x|x<0 或 x≥1}.

【典型例题】
考点一:集合的含义 对集合含义的考查主要集中在对集合中元素的无序性、 互异性和确定性的考查上, 常见 错误是在解题中忽略了集合中元素必须具备的这三种性质。 例 5 已知集合 A={1,3,a2},B={a+2},若 B ? A,求实数 a。 解:由 B ? A 可得 a+2=1 或 a+2=3 或 a+2=a2,从而解得 a=-1 或 a=1 或 a=2。又当 a= -1 或 a=1 时,a2=1,即集合 A 中元素不满足互异性,故 a=2。 说明:本题解答中的常见错误是没有对集合 A 中元素的互异性进行检验,从而得到 a= -1 或 a=1 或 a=2。 考点二:空集的性质 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。这是空集的重要性质,在利用两个 集合之间的关系求解参数的时候容易遗漏。 例 6 已知集合 A={x|(x-1) (x-a)<0},B={x|1<x<2},A ? B,求实数 a 的范围。 解:讨论: 当 a<1 时:A={x|a<x<1},A∩B=φ ,不合题意; 当 a>1 时:A={x|1<x<a},由 A ? B,a≤2; 当 a=1 时:A=φ ,亦满足题意。 综上所述:1≤a≤2。 说明:a=1 时,A=φ ,由空集的性质知:此时 A ? B。此解极易被忽略。 考点三:判断两个集合之间的关系 对两个集合之间关系的研究主要看元素所满足的条件(或性质) ,寻找其间的异同点。 例 7 已知集合 A={x|x=4k±1,k∈Z},B={x|x=2k+1,K∈Z},试判断集合 A、B 的关系。 解:对集合 A,元素 x=4k±1=2k+(2k±1) ,即集合 A 中的元素可以表示为一个奇数 和一个偶数之和,仍是一个奇数,故集合 A 是全体奇数形成的集合,所以 A=B。 说明:本题也可对 k 分奇数和偶数进行讨论。解答这种题型的常见问题有二,一是取特 殊值试解,然后归纳;二是不知如何下手,此时需要对两个集合中元素所满足的条件式进行 变形,尽量使得两者在形式上更为接近,再分析其间的差异,如本题就可将 A 中元素改写 为 x=4k±1=2k+(2k±1) ,即一奇数与一偶数之和,B 中元素改写为 x=2k+1=k+(k+1) ,也 是一奇数和一偶数之和,故可得出结论。 考点四:利用两个集合之间的关系求参数 利用两个集合之间的关系进行解题是一个重点题型,考查十分频繁。 例 参见考点一和考点二的例题。 考点五:集合运算 直接求集合间的运算也是一个重点题型,大多结合解简单的不等式进行考查。 例 8 已知集合 M={x|x<3},N={x|log2x>1},则 M∩N 等于( )

A、φ B、{x|0<x<3} C、{x|1<x<3} D、{x|2<x<3} 解:D。 说明:这是 2006 年全国卷二的第一题,需先解一个十分简单的对数不等式 log2x>1。 四、本课涉及的主要数学思想方法 1、分类讨论的思想:在利用两个集合间的关系进行解题时,往往要进行分类讨论,如对 条件“A ? B”往往就要分“A=φ ”和“A≠φ ”两种情形进行讨论;通过此类题型的训练, 可以促进同学们思维严密性的提高。 2、数形结合的思想:研究两个集合间的关系和运算时,可以借助 Venn 图、数轴等几何图 形进行研究或帮助理解。通过此类题型的训练,可以使同学们快速把握数学概念、数学关系 的几何特征,从而快速求解。

【模拟试题】
一、选择题 1、设集合 M={x|x2-x<0},N={x||x|<2},则( ) A、M∩N=φ B、M∩N=M C、M∪N=M D、M∪N=R 2、下列集合中,表示空集的是( ) A、{x|x+3=3} B、{x|x2-x+1=0,x∈R} C、{y|y2>0,y∈R} D、{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R} 3、若 A={x|x2=1},B={x|x2-2x-3=0},则 A∩B=( ) A、{3} B、{1} C、φ D、{-1} 4、设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,

b ,b},则 b-a=( a



A、1 B、-1 C、2 D、-2 5、如果 U={x|x 是小于 9 的正整数},A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},那么 CUA∩ CUB=( ) A、{1,2} B、{3,4} C、{5,6} D、{7,8} 6、若 A、B、C 为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有( ) ? ? A、A C B、C A C、A≠C D、A=φ 7、定义集合运算:A※B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B}.设集合 A={0,1},B={2,3},则 集合 A※B 的所有元素之和为( ) A、0 B、6 C、12 D、18 二、填空题 8、已知集合 A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R}只有一个元素,则 a 的值为 9、满足{1,3}∪A={0,1,2,3}的所有集合 A 的个数是 。



三、解答题 10、已知集合 A={a-2,2a2+5a,12}且-3∈A,求 a 的值。 11、已知全集为 R,A={y|y=x2-2x-2},B={y|y=-x2-2x+2},求(CRA)∪B. 12、已知集合 A={x|x2+2x+m=0},B={x|x2-3x+2=0},A∩B≠φ ,求 m 的取值范围。 13、已知集合 A={x|ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}.若 A 中至多只有一个元素,求 a 的取值范围。

试题答案
一、选择题:1、B 2、B 3、D 4、C 5、D 6、A 二、填空题 8、0 或 1; 9、4; 三、解答题 10、解:由题知,a-2=-3 或 2a2+5a=-3。 若 a-2=-3,则 a=-1;又当 a=-1 时:2a2+5a=-3,故 a=-1 应舍去; 若 2a2+5a=-3,解得 a=-1(舍)或 a= 综上所述:a= 7、D

3 . 2

3 . 2

2 11、 解: y=x2-2x-2= (x-1) -3≥-3, 故 CRA={y|y<-3}; B={y|y=-x2-2x+2}={y|y= -(x+1)2+3}={y|y≤3},故(CRA)∪B={y|y≤3}; 12、解:可解得集合 B={1,2},由 A∩B≠φ ,可分别解得 m=-3 或 m=-8。 13、解:讨论:Ⅰ、若 A 中恰有一个元素,可解得 a=0 或 1; 14、Ⅱ、若 A 中无元素,可解得 a>1; 综上所述可知:a=0 或 a≥1。


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