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江苏省数学竞赛提优教案:第23讲


第三讲 正弦定理与余弦定理 本专题涉及到的知识点是正、 余弦定理及三角形中的边角关系. 三角形中边角关系处理的 基本方法是化角为边或化边为角,以及向量方法的运用. A 类例题 例1 在 ?ABC 中, 设 a ? c ? 2b, A ? C ? a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 的值. (1998年全国高考卷) 分析 化角为边转化为三角关系处理. 解 由正

弦定理及角变换求解.由 a ? c ? 2b , 得 ? 3 . 求 sin B sin A ? sin C ? 2sin B .再由三角形内角和定理及 A ? C ? A? 2? B ? B ? ,C ? ? , 3 2 3 2 ? 3 得 所以 sin A ? sin( 2? B 3 B 1 B ? )? cos ? sin , 3 2 2 2 2 2 ? B 3 B 1 B sin C ? sin( ? ) ? cos ? sin , 3 2 2 2 2 2 又 sin B ? 2sin B B cos ,代入到 sin A ? sin C ? 2sin B 中得 2 2 3 cos B 3 B B B B , ? 4sin cos ,由 cos ? 0 得 sin ? 2 4 2 2 2 2 B 13 39 ,所以 sin B ? . ? 2 4 8 从而 cos 例2.已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 满足: A ? C ? 2 B , 1 1 2 A?C ,求 cos 的值. (1996年全国高考卷) ? ?? cos A cos C cos B 2 分析 通过角换元,利用两角和差公式得方程求值. 解 由 题 设 知 B ? 600 , A ? C ? 1200 , 设 ? ? A?C , 则 A ? C ? 2? , 可 得 2 A ? 600 ? ? , C ? 600 ? ? 代入条件中得 1 1 ? ? ?2 2 0 cos(60 ? ? ) cos(600 ? ? ) 展开得 1 1 3 cos ? ? sin ? 2 2 ? 1 1 3 cos ? ? sin ? 2 2 ? ?2 2 , 化简得 cos ? ? ?2 2 , 1 3 2 2 cos ? ? sin ? 4 4 2 即 4 2 cos ? ? 2 cos ? ? 3 2 ? 0 ,从而求出 cos ? ? 2 A?C 2 . , 即 cos ? 2 2 2 A 例3 在 ?ABC 中, 已知 AB ? 边上的中线 BD ? 卷) 分析 用坐标和向量方法求解. 4 6 6 ,AC , cos B ? 3 6 D 5 ,求 sin A 的值. (2005湖北高考 B C 解 以 B 为原点, BC 为 x 轴正向建立直角坐标系,且不妨设点 A 在第一象限. 由 sin B ? 30 4 6 4 6 4 4 5 ,得 BA ? ( cos B, sin B) ? ( , ). 6 3 3 3 3 4 ? 3x 2 5 .于是 , ) ,由 BD ? 5 求出 x ? 2 (另一负值舍去) 6 3 设 BC ? ( x, 0) ,则 BD ? ( 由数量积得 cos A ? BA ? CA BA CA ? 3 14 70 ,所以 sin A ? . 14 14 情景再现 1. 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 已知 a, b, c 成等比数列, 且 cos B

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