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初赛第1讲 有效数字


初赛第 1 讲

有效数字

初赛大纲要求: 有效数字。在化学计算和化学实验中正确使用有效数字。定量仪器(天平、量筒、移 液管、滴定管、容量瓶等等)测量数据的有效数字。数字运算的约化规则和运算结果的有 效数字。实验方法对有效数字的制约。 一、准确度 在科学实验中,任何物理量的测定,其准确度都是有一定限度的。例如常用的测量仪 器,如:分析天平

、托盘天平、量筒、移液管、滴定管、容量瓶等都有一定的准确度,这 些仪器的准确度如下: 分析天平 0.0001g 托盘天平 0.1g 10mL 量筒 0.1mL 移液管 非常准确 滴定管 0.01mL 容量瓶 非常准确 对这些仪器,读数时会出现什么情况呢?下面我们以滴定管为例加以说明。 例 1: 甲、 乙、 丙三位同学读取滴定管中一定量液体的体积, 分别得到 23.43mL、 23.42mL、 23.44mL 三个数据。试说明这是为什么?是不是这三位同学读数出现了错误? 滴定管中前 3 位数字都有明确的刻度,而第 4 位数字没有刻度,是估计出来的数字, 因此出现了上述三位同学读数各不相同的情况。 准确数字:根据刻度直接读出的数字 可疑数字:没有刻度估计出来的数字(只能有一位) 可疑数字是不是凭空臆造的?可疑数字是根据实际情况估计出来的(估计准确性跟个 人的经验和分辨能力有关),不是凭空臆造的,应该保留它。 可疑数字读数误差一般:±1 根据仪器的精密度和测量得到的数据,我们得出测量数据的准确度(相对误差),如 上例乙同学的读数相对误差为: ±1 2343 ×1000‰=±0. 4‰ 讨论:(1)若要求中和滴定测量时的相对误差小于 1‰,对滴定剂的体积有何要求? (2)如何减少滴定误差? 二、 有效数字 为了取得准确的分析结果,不仅要准确测量,而且还要正确记录与计算。所谓正确记 录是指记录数字的位数。因为数字的位数不仅表示数字的大小,也反映测量的准确程度。 所谓有效数字,就是实际能测得的数字。 1.有效数字的位数 有效数字=准确数字+1 位可疑数字 有效数字的位数,应根据分析方法与仪器的准确度来决定,一般使测得的数值中只有 最后一位是可疑的。例如在分析天平上称取试样 0.5000g(4 位有效数字),这不仅表明试 样的质量 0.5000g,还表明称量的误差在±0.0001g 以内。如将其质量记录成 0.5g(1 位有效 数字),则表明该试样是称量误差为 0.1g,故记录数据的位数不能任意增加或减少。如在 上例中,在分析天平上,测得称量瓶的重量为 10.4320g,这个记录说明有 6 位有效数字, 最后一位是可疑的。因为分析天平只能称准到 0.0001g ,即称量瓶的实际重量应为: 10.4320± 0.0001g,无论计量仪器如何精密,其最后一位数总是估计出来的。因此所谓有效 数字就是保留末一位不准确数字,其余数字均为准确数字。同时从上面的例子也可以看出 有效数字是和仪器的精密程度有关,即有效数字不仅表明数量的大小而且也反映测量的准 确度。 在分析化学中,有时会遇到一些倍数和分数的关系,如:

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H3PO4 的相对分子量/3=98.00/3=32.67 水的相对分子量=2× 1.008+16.00=18.02 在这里分母“3”和“2× 1.008”中的“2”都不能看作是一位有效数字。因为它们是非 测量所得到的数,是自然数,其有效数字位数可视为无限。 2.有效数字中“0”的意义 “0”在有效数字中有两种意义:一种是作为数字定值,另一种是有效数字。例如在分 析天平上称量物质,得到如下质量: 物质 称量瓶 Na2CO3 H2C2O4· 2H2O 称量纸 质量(g) 10.1430 2.1045 0.2104 0.0120 有效数字位数 6位 5位 4位 3位 以上数据中“0”所起的作用是不同的。在 10.1430 中两个“0”都是有效数字,所以 它有 6 位有效数字。在 2.1045 中的“0”也是有效数字,所以它有 5 位有效数字。在 0.2104 中,小数点前面的“0”是定值用的,不是有效数字,而在数据中的“0”是有效数字,所 以它有 4 位有效数字。在 0.0120 中, “1”前面的两个“0”都是定值用的,而在末尾的“0” 是有效数字,所以它有 3 位有效数字。 综上所述,数字中间的“0”和末尾的“0”都是有效数字,而数字前面所有的“0”只 起定值作用。以“0”结尾的正整数,有效数字的位数不确定。例如 4500 这个数,就不能 确定是几位有效数字,可能为 2 位或 3 位,也可能是 4 位。遇到这种情况,应根据实际有 效数字位数用科学计数法表示: 4.5× 103 2 位有效数字 3 4.50× 10 3 位有效数字 4.500× 103 4 位有效数字 因此很大或很小的数,常用 10 的乘方表示。当有效数字确定后,在书写时一般只保留 一位可疑数字,多余数字按数字修约规则处理。 3.有效数字位数与相对误差的关系 练习: 设下列三个数的最后一位数字都有±1 的绝对误差, 则它们的相对误差分别为多 少?0.0121、25.64、1.05782 有效数字位数越多,相对误差越小,准确度越高。 对于滴定管、移液管、吸量管和容量瓶,它们都能准确测量溶液体积到 0.01mL。所以 当用 50mL 滴定管测定溶液体积时,如测量体积大于 10mL 小于 50mL 时,应记录为 4 位有 效数字。 例如写成 24.22; 如测定体积小于 10mL, 应记录 3 位有效数字, 例如写成 8.13 mL。 当用 25mL 移液管移取溶液时,应记录为 25.00mL;当用 5mL 吸量管吸取溶液时,应记录 为 5.00mL。当用 250mL 容量瓶配制溶液时,所配溶液体积应记为 250.00mL。当用 50mL 容量瓶配制溶液时,应记录为 50.00mL。 总而言之,测量结果所记录的数字,应与所用仪器测量的精密度相适应。 4.数字修约规则 我国科学技术委员会正式颁布的《数字修约规则》,通常称为“四舍六入五成双”法 则。四舍六入五成双,即当尾数≤4 时舍去,尾数≥6 时进位。当尾数为 5 时,则应视被保 留末位数字是奇数还是偶数,5 前为偶数应将 5 舍去,5 前为奇数应将 5 进位。 这一法则的具体运用如下: a. 将 28.175 和 28.165 处理成 4 位有效数字,则分别为 28.18 和 28.16。 b. 若被舍弃的第一位数字大于 5,则其前一位数字加 1,例如 28.2645 处理成 3 位有效 数字时,其被舍去的第一位数字为 6,大于 5,则有效数字应为 28.3。若被舍弃的第一位数 字小于 5,则舍去,例如 1.63499 处理成 3 位有效数字时,其被舍去的第一位数字为 4,小 于 5,则有效数字应为 1.63。 c. 若被舍弃的第一位数字等于 5,而其后数字全部为零时,则视被保留末位数字为奇 数或偶数(零视为偶),而定进或舍,末位数是奇数时进 1,末位数为偶数时舍弃,例如 28.350、28.250、28.050 处理成 3 位有效数字时,分别为 28.4、28.2、28.0。若被舍弃的第

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一位数字为 5,而其后的数字并非全部为零时,则进 1,例如 28.2501,只取 3 位有效数字 时,成为 28.3。 d. 若被舍弃的数字包括几位数字时,不得对该数字进行连续修约,而应根据以上各条 作一次处理。 如 2.154546 , 只取 3 位有效数字时, 应为 2.15, 而不得按下法连续修约为 2.16: 2.154546→2.15455→2.1546→2.155→2.16 5.有效数字运算规则 前面曾根据仪器的准确度介绍了有效数字的意义和记录原则,在分析计算中,常遇到 一些准确度不相同的数据,对于这些数据,必须按一定规则进行计算,一方面可以节省时 间,另一方面也可以避免因计算过繁而引起的错误。下面就加减法、乘除法和对数的运算 规则加以讨论。 1)加法和减法 在计算几个数字相加或相减时,它们的和或差只能保留一位可疑数字,即有效数字位 数的保留,应以小数点后位数最少的数为依据。如将 3.0113、41.25 及 0.357 相加,见下式 (可疑数以“x”标出): 3.0113 41.25 +) 0.357 44.6183→44.62 可见, 小数点后位数最小的数 41.25 中的 5 已是可疑, 相加后使得 44.6183 中的 1 也可 疑,所以,再多保留几位已无意义,也不符合有效数字只保留一位可疑数字的原则,这样 相加后,结果应是 44.62。 以上为了看清加减后应保留的位数,而采用了先运算后取舍的方法,此法适用于计算 器运算。一般情况下可先取舍后运算,即 3.0113 → 3.01 41.25 → 41.25 0.357 → 0.36 44.62 练习:0.0121+25.64+1.05782=? 上例相加 3 个数字中,25.64 中的“4”已是可疑数字,因此最后结果有效数字的保留 应以此数为准,即保留有效数字的位数到小数点后面第二位。 2)乘法与除法 加减法中涉及到的是相同的物理量,计算时以测量精度最差的数据作为标准。乘除法 中涉及不同的物理量,计算所得结果的相对误差等于各测量数值的相对误差的总和,因此 有效数字的保留,应根据这一原则进行判断。 例:0.0121× 25.64× 1.05782=? 相对极值误差(相对误差的总和)为:8‰+0.4‰+0.009‰≈8‰ 可见相对极值误差由有效数字位数最少(即相对误差最大)的数决定。即在计算几个数 相乘或相除时,其积或商的有效数字位数应以有效数字位数最少的为准。如 1.211 与 1.2 相 乘: 1.211 × 1.2 2422 1211 1.4532 显然,由于 1.2 中的 2 是可疑的,使得积 1.4532 中的 4 也可疑,所以保留两位即可, 结果就是 1.5。 上法适用于计算器计算,同加减法一样,也可先取舍后运算,即: 1.211 → 1.2 1.2 →×1.2 24 12 1.44→1.4

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练习:0.0121× 25.64× 1.05782=? 乘除法中,计算有效数字位数时,对于第一位的数值大于 7 的数,则有效数字的总位 数可多算一位。例如 8.78,虽然只有 3 位数字,但第一位的数大于 7,已接近于 10.00,所 以运算时可看作 4 位。 3)对数 进行对数运算时, 对数值的有效数字只由尾数部分的位数决定, 首数部分为 10 的幂数, 不是有效数字。如 2345 为 4 位有效数字,其对数 lg2345=3.3701,尾数部分仍保留 4 位, 首数“3”不是有效数字。不能记成 lg2345=3.370,这只有 3 位有效数字,就与原数 2345 的有效数字位数不一致了。在化学中对数运算很多,如 pH 的计算。若 c(H+)= Φ 4.9× 10-11mol· L-1, 这是两位有效数字, 所以 pH=-lg c(H+)/c =10.31, 有效数字仍只有两位。 反过来,由 pH=10.31 计算 c(H+)时,也只能记作 c(H+)=4.9× 10-11 mol· L-1,而不能记成 4.898× 10-11。 大量数据运算中,为使误差不迅速积累,对参加运算的所有数据,可以多保留一位可 疑数字(多保留的叫“安全数字”)。此法加减和乘除均适用。 在一般的定量分析实验中,要求相对误差不超过 1‰(四位有效数字即达到要求),如果 测量数据多于四位有效数字时,测量结果只须保留四位有效数字,如果测量数据小于 4 位 有效数字,应按有效数字位数最少的位数保留(可能达不到相对误差不超过 1‰的要求)。中 和滴定时试剂用量不得少于 20.00mL。 三、有效数字的运算规则在定量实验中的应用 1.正确地记录测量数据 2.正确地确定用量和选用适当的仪器 一般定量实验要求相对误差不超过 1‰即 0.1%。若样品重为 2~3g 时, 不需要万分之一 克的分析天平,用千分之一天平即可。

? 0.002 ? 100 % ? ?0.1% 2.000
由此可知,没有万分之一的分析天平,同样可以做分析实验,解决的办法是将样品的 重量称取在 2g 以上就行了。 中和滴定时所用溶液体积须 20.00mL 以上才能满足要求。 3.正确地表示分析结果 例:分析煤中含硫量时,称取样品 3.5g,两次测得结果(S%) :甲为 0.042%和 0.041%, 乙为 0.04201%和 0.04199%,应采用谁的结果?为什么?

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