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必修2


人教A必修2第一章

知识框架
棱柱

概念
性质 侧面积

多面体
柱 锥 台 球 旋转体

棱锥

棱台

体积
圆柱 圆锥 圆台 球 概念 结构特征 侧面积 体积

1、空间几何体的类型

/>
1、多面体定义:由若干个平面多边形 围成的几何体叫多面体。
面:围成多面体的各个多边形 棱:相邻两个面的公 共边 顶点:棱与棱的公共点





顶点

1、空间几何体的类型

(1)棱柱的定义: 一个多面体有两个面 互相平行 ,其余 每相邻两个面的交线 互相平行 ,这样的多 面体叫做棱柱。
棱柱的每个侧面都是 平行四边形吗?

是的

1、空间几何体的类型 问题:有两个面互相平行, 其余各面都是四边形的几何体是 棱柱吗?
答:不一定是。 如右图所示,不是棱柱。

问题:有两个面互相平行, 其余各面都是平行四边形的几何 体是棱柱吗?
答:不一定是。 如右图所示,不是棱柱。

1、空间几何体的类型 (2)棱锥:有一个面是多边形,其余各 面都是有一个公共顶点的三角形,由这 些面所围成的几何体叫做棱锥。
顶点
侧面 底面 A D S 侧棱

棱锥S-ABCD
C

棱锥 S-AC

B

1、空间几何体的类型

有一个面是多边形,其余各面都是 三角形的几何体一定是棱锥吗?

不一定
棱锥有两个本质的特征: ①有一个面是多边形; ②其余各面是有一个公共顶 点的三角形,二者缺一不可。

1、空间几何体的类型

(3)棱台的定义
棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间 的部分叫做棱台.

A1

D1

B1

C1

A1

D1 B1

C1

1、空间几何体的类型 棱台的两个重要特征: (1)两底面互相平行 (2)各侧棱延长后相交于一点。

由三棱锥、四棱锥、 五棱锥…截得的棱 台,分别叫做三棱 台,四棱台,五棱 台…

1、空间几何体的类型

2、旋转体定义:由一个平面图形绕一条 定直线旋转所形成的封闭几何体。
轴:绕之旋转的定直线 轴

1、空间几何体的类型 母线 母线

圆柱

1、空间几何体的类型 母线 母线

圆锥

1、空间几何体的类型

圆台
母线 母线
上底面

高线
下底面
S

r

O

1、空间几何体的类型


半圆绕直径旋 转一周而成

1、空间几何体的类型

1、空间几何体的类型

1、空间几何体的类型

例1 下列命题中正确的是 D A.有两个面平行,其余各面都是四边形的 几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边 形的几何体叫棱柱 C.有一个面是多边形,其余各面都是三角 形的几何体叫棱锥 D.棱台各侧棱的延长线交于一点

1、空间几何体的类型

例2 下列命题: ①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一 点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连 线是圆锥的母线; ③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点, 则这两点的连线是圆台的母线; ④圆柱的任意两条母线相互平行. ( D) 其中正确的是 A.①② B.②③ C.①③ D.②④

2、空间几何体的表面积和体积
正方体表面积: 长方体的表面积:

a

c
b a S ? 2(ab ? ac ? bc)

S ? 6a

2

长方体的长宽高分别为a,b,c,则长方体的对角 线长为 2 2 2

l?

a ?b ?c

2、空间几何体的表面积和体积
圆柱的表面积:
r

2?r

圆柱的侧面展开图是一个 长方形,长是圆柱的底面 圆的周长2πr,宽是母线L

l

圆柱表面积

S ? 2?r ? 2?rl
2

2、空间几何体的表面积和体积
圆与扇形相关的公式
一、圆的周长公式 二、圆的面积公式

=2πr
2 S=πr


n n ? r 三、弧长的计算公式 l ? ? 2?r ? 360 180
四、扇形面积计算公式

n是角度数

1 n 2 或s ? l r s? ? ?r 2 360


2、空间几何体的表面积和体积
S
圆锥侧面展开图是扇形, 扇形的弧长=底面圆周长2πr 侧面积=展开图扇形的面积

l
r O

2?r

圆锥的表面积

S ? ? rl ? ? r

2

2、空间几何体的表面积和体积
练习
已知圆锥的底面半径为2cm,母线长为3cm。

4π 它的展开图的扇形的弧长为_____cm,
3 半径为______cm ,所以圆锥的侧面积为 6π 2。 ______cm

2、空间几何体的表面积和体积 圆台的表面积
r ' O’
l
r
O

2?r '

圆台侧面展开图叫扇环, 它的面积可以仿照梯形 面积公式计算

2?r

1 S侧 ? (2? r '? 2? r ) ? l ? ( r '? r )? l 2 2 2 S ? ?r ' ??r ? ?r ' l ? ?rl

2、空间几何体的表面积和体积
?1.已知圆台的上底面半径为r’ =2,下底面半径为r =4,母线长为l =5,求①它的侧面积,②两底面 面积之和。

?2.已知圆台的上底面半径为r’ =1,且侧面积等于两 底面面积之和,母线长为l =5/2,求下底面半径r 。

2、空间几何体的表面积和体积
?1.已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体 S-ABC(即三棱锥),求它的表面积。

2、空间几何体的表面积和体积 体积的计算
柱体的体积

V ? Sh

(S是底面面积 , h是高)

正方体

长方体

圆柱

一般柱体

2、空间几何体的表面积和体积
锥体的体积
P

V锥

1 ? Sh 3

A B

O

D

C

2、空间几何体的表面积和体积
柱体、锥体与台体的体积

V柱体 ? Sh(S是底面积 , h是高)
V锥体 1 ? Sh ( S是底面积 , h是高 ) 3

1 V台体 ? ( S '? S ' S ? S )h 3 ( S ' , S分别是上下底面面积 , h是台体高)

从极限角度体会三者的关系

2、空间几何体的表面积和体积
球的表面积与体积 表面积

S ? 4? R
O

2

体积
4 V球= ? R 3 3

2、空间几何体的表面积和体积
球有内接长方体吗?球心在哪里? 半径怎么求?
长方体的对角线是球的直 径,球心即对角线中点

D1 A1 C1 B1 D O A B C

练习: 若内接长方体的边 长为3、4、5,则 球的表面积是多少?

2、空间几何体的表面积和体积
1.(1)把球的半径扩大为原来的3倍,则体积扩大为原来 的________倍. (2)三个球的表面积之比为1:2:3,则它们的体积之比 为_________. (3)三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比 为________.

2 .若一个球的体积为 4 为 。

3? ,则其表面积

2、空间几何体的表面积和体积 圆柱的表面积: S ? 2? rl ? 2? r 2

面积

S ? ? rl ? ? r 2 2 圆台的表面积: S ? ? (r ?l ? rl ? r ? ? r ) 2 球的表面积: S ? 4? R 柱体的体积: V ? Sh
2

圆锥的表面积:

体积

1 锥体的体积: V ? 3 Sh
1 台体的体积: V ? ( S ? ? S ?S 3 球的体积: V ? 4 ? R 3 ? S )h

3

2、空间几何体的表面积和体积
3.正方体的内切球与其外接球的体积之比为(

C



A.1∶ 3 C.1∶3 3

B.1∶3 D.1∶9

1 解析:设正方体的棱长为 a,则它的内切球的半径为2a,它 3 的外接球的半径为 2 a,故所求的比为 1∶3 3.

二、空间几何体的三视图和直观图
中心投影

投影
平行投影

三视图 直观图

正视图 侧视图 俯视图

斜二测 画法

平行投影

斜投影

中心 投影
A

B 正投影
C

D

三视图: 我们从不同的 方向观察同一物体 时,可能看到不同 的图形.其中,把从 正面看到的图叫做 正视图,从左面看 到的图叫做侧视图, 从上面看到的图叫 做俯视图.三者统称 三视图.

从上面看到的图

从左边看到的图

从正面看到的图

正视图 俯视图

侧视图

三 视 图 的 作 图 步 骤

1. 确定正视图方向; 侧视图方向 2. 布置视图; 3. 先画出能反映物体真 实形状的一个视图(一般 为正视图); 4. 运用长对正、高平 正视图方向 齐、宽相等原则画出 其它视图;

俯视图方向

5. 检查. 要求:俯视图安 正视图 排在正视图的正下方, 侧视图 侧视图安排在正视图 俯视图 的正右方.

高平齐


俯视图方向 侧视图方向

正视图 长

侧视图 宽

正视图方向

俯视图 长对正

宽相等

3、空间几何体的三视图
识图技巧:长对正,高平齐,宽相等

3、空间几何体的三视图
1.如图 ,已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧 棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图是( ) )

B

, .

3、空间几何体的三视图
2.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示, 则其俯视图不可能为: ①长方形;②正方形;③圆;④梯形.中正确的是( )

B

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

3、空间几何体的三视图
3.(2011·嘉兴模拟)用若干块相同的小正方体 搭成一个几何体,从两个角度观察得到的图形如

图所示,则搭成该几何体最少需要的小正方体的
块数是_____块.

10

3、空间几何体的三视图
要注意几何体的放置对三视图的影响
【典例】(2010·新课标全国卷)一个几何体的正视图 为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的 _____(填入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥 ④四棱柱 ②四棱锥 ⑤圆锥 ③三棱柱 ⑥圆柱

①②③⑤

3、空间几何体的三视图

4

3、空间几何体的三视图

3、空间几何体的三视图

3、空间几何体的三视图

3、空间几何体的三视图

3、空间几何体的三视图
某四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面的面 积中最大的是

3、空间几何体的三视图

3、空间几何体的三视图

斜二测画法的步骤:
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于o 点.画直观图时,把它画成对应的x′轴、y′轴,
? ? ? ? ? x Oy =45 或 135 使 ? ? ,它确定的平面表示水平平面。

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别

画成平行于x′轴或y′轴的线(即平行性不变)
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度

不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半. (即横不变纵半)

举例
画水平放置边长为2cm的正三角形的直观图.

y A
y?

A1
B O

x C

B1

O?

C1

x?

常见结论

正方体和正四面体是立体几何中的 " 万花筒 ". 对棱长为a的正四面体应该记住一些结论 : 6 1?.高为 a; 3 2 3 2?.体积为 a; 12

3?. R内切球

6 ? a; 12

4?. R外接球

6 ? a; 4

这些结论可以帮助我们提高解题速度.

三、空间几何体的表面积和体积 圆柱的表面积: S ? 2? rl ? 2? r 2 2 圆锥的表面积: S ? ? rl ? ? r 面积 2 2 圆台的表面积: S ? ? (r ?l ? rl ? r ? ? r ) 2 球的表面积: S ? 4? R 柱体的体积: V ? Sh 体积
1 锥体的体积: V ? 3 Sh

台体的体积: V 球的体积:

4 3 V ? ?R 3

1 ? (S ? ? 3

S ?S ? S )h

综合应用

例1 直角三角形的三边长分别为3cm、 4cm、5cm,绕三边旋转一周分别形成三 个几何体.说明它们的结构特征,画出 其直观图和三视图,并求出它们的表面 积和体积.

4 3

5

正视图

侧视图

俯视图

3

5

4

正视图

侧视图

俯视图

4 5

正视图
3

侧视图

俯视图

例2 有一个几何体由8个面围成,每 一个面都是正三角形,并且有四个顶点A, B,C,D在同一个平面内,ABCD是边长为 30cm的正方形.说明这个几何体的结构特 P 征,画出其直观图和三视图,并求出它 的表面积和体积. D A 两个共底的正四棱锥 C
B Q

P D A B Q C

正视图
2

侧视图

S ? 1800 3cm

V ? 9000 2cm

3

俯视图

练习1

已知一几何体的三视图如下图,试求其表 面积与体积 . 1 1
1

主视图

侧视图

2
俯视图

2
2

直观图

2 3 ? 6 cm , 3 cm

3

例3、如图,将一个边长为1的正方体沿相
邻三个面的对角线截出一个棱锥,求 以 AB ' C 为底面的三棱锥的高。 B '? ABC 的体积。 三棱锥
D C A B
B

A

C

D' A' B'

C'

B'

练习2:
如图,一个三棱柱形容器中盛有水,且侧棱 AA ' ? 8。若侧面 AA ' C ' C水平放置时,液 面恰好过 AB, BC, A ' B ', B ' C '的中点。当底 面 ABC水平放置时,液面高为多少?


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