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高考数学复习:题型解法训练之解析几何解答题的解法


专题八 解析几何解答题的解法

专题八

解析几何解答题的解法 试题特点

1.近三年高考各试卷解析几何考查情况统计 2005年高考各地的16套试卷中,每套试卷均有1道解析几何 解答题试题,涉及椭圆的有9道,涉及双曲线的有2道,涉及抛物 线的有 3道 , 涉及直 线与圆的 有 3 道 ,涉 及线性规 划的有 1 道 .

当中,求最值的有4道,求参数的取值范围的有4道,求轨迹方程 的有5道,和向量综合的有7道,探索性的问题有5道. 2006年高考各地的18套试卷里,每套均有1道解答试题,涉 及椭圆的有9道,抛物线的有4道,双曲线的有5道.当中求动点的 轨迹,求参数的取值范围是热门话题.重庆的解析几何、数列、 不等式证明相结合的试题比较独特.

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解析几何解答题的解法 试题特点

2007年高考各地的19套试卷中,每套均有1道解答题,椭 圆的有8道,双曲线的有4道,抛物线的3道,涉及到圆锥曲线 中的最值问题、轨迹问题、中点弦问题等. 解析几何解答试题热点的题型是求参数范围或求最值的综合性 问题,探求动点的轨迹问题,有关定值、定点等的证明问题, 与向量综合的探索性问题等.

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解析几何解答题的解法 试题特点

2.考查特点 (1)由已知条件建立曲线的方程,研究曲线的性质.用待定系数 法确定圆锥曲线的标准方程,求它们的焦点、焦距、准线、离 心率等元素,研究几何性质. (2)直线与圆锥曲线的位置关系是高考重点考查内容之一,主要 讨论直线和圆锥曲线的公共点问题,求弦长、焦点弦长及中点 等问题. (3)有关解析几何的最值问题、曲线方程中含字母参数的范围问 题以及对称问题是高考中经常出现的内容,涉及知识面广,常 用到函数、不等式和三角等方面的知识.

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解析几何解答题的解法 试题特点

(4)有关探索性题型,因为它具有考查思维能力、区分度较高的功 能,所以经常结合其它章节的知识点出现在高考试题中. (5)平面向量和解析几何结合,已成为高考新的热点.

(6)解析几何部分仍在考查基础知识的基础上,注重对数学思想方 法的考查,注重对数学能力的考查,以逻辑思维能力为核心, 全面考查其它各种能力,强调探索性、综合性,应用性,切合 考生的实际,注重试题的层次性,合理调控综合程度,坚持多 角度、多层次的考查.

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解析几何解答题的解法 应试策略

1.突出解析几何的基本思想 解析几何的实质是用代数方法研究几何问题,通过曲线的方 程研究曲线的性质,因此要掌握求曲线方程的思路和方法,它 是解析几何的核心之一.求曲线的方程的常用方法有两类: 一类是曲线形状明确,方程形式已知(如直线、圆、圆锥曲 线的标准方程等),常用待定系数法求方程.

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解析几何解答题的解法

应试策略 另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示,一 般采用以下方法: (1)直译法:将原题中由文字语言明确给出动点所满足的 等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等量关系式. (2)代入法:所求动点与已知动点有着相互关系,可用所 求动点坐标(x,y)表示出已知动点的坐标,然后代入已知的 曲线方程. (3)参数法:通过一个(或多个)中间变量的引入,使所 求点的坐标之间的关系更容易确立,消去参数得坐标的直接 关系便是普通方程. (4)交轨法:动点是两条动曲线的交点构成的,由x,y满足 的两个动曲线方程中消去参数,可得所求方程.故交轨法也属 参数法.

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解析几何解答题的解法 应试策略

2.熟练掌握直线、圆、及圆锥曲线的基本知识 (1)直线和圆 ①直线的倾斜角及其斜率确定了直线的方向.需要注意的是: (ⅰ)倾斜角α的范围是:0≤α<π;(ⅱ)所有的直线必有倾斜 角,但未必有斜率. ②直线方程的四种特殊形式,每一种形式都有各自成立的条 件,应在不同的题设条件下灵活使用.如截距式不能表示平行于 x轴、y轴以及过原点的直线,在求直线方程时尤其是要注意斜 率不存在的情况. ③讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时,一般可从代 数特征(方程组解的个数)或几何特征(点或直线到圆心的距离与 两圆的圆心距与半径的关系)去考虑,其中几何特征较为简捷、 实用.

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(2)椭圆 ①完整地理解椭圆的定义并重视定义在解题中的应用.椭圆是 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|) 的动点的轨迹.还有另一种定义(圆锥曲线的统一定义):平 面内到定点的距离和到定直线的距离之比为常数e(0<e<1)的 动点轨迹为椭圆,(顺便指出:e>1、e=1时的轨迹分别为双 曲线和抛物线).

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解析几何解答题的解法 应试策略

②椭圆的标准方程有两种形式,决定于焦点所在的坐标轴.焦点
是F(±c,0)时,标准方程为
x
2 2

?
?

y

2 2

?1
?1

(a>b>0);焦点是 (a>b>0).这里隐含

a 2 y F(0,±c)时,标准方程为
a
2

b 2 x
b
2

a2=b2+c2,此关系体现在△OFB(B为短轴端点)中. ③深刻理解a、b、c、e、 的本质含义及相互关系,实际上就 c 掌握了几何性质.
a
2

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(3)双曲线 ①类比椭圆,双曲线也有两种定义,两种标准方程形式.同样 要重视定义在解题中的运用,要深刻理解几何量a、b、c、 a e、 的本质含义及其相互间的关系. c ②双曲线的渐近线是区别于椭圆的一道“风景线”,其实它 是
2

y x 矩形的两条对角线所在的直线(参照课本). ? ? ?1
2 2

③双曲线

a

2

b

2

(a>0,b>0)隐含了一个附加公式

c2=a2+b2.此关系体现在△OAB(A,B分别为实轴,虚轴的一个 端点)中;特别地,当a=b时的双曲线称为等轴(边)双曲
2

线,其离心率为

.

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(4)抛物线 ①抛物线的定义:平面内到一个定点F和一条定直线l的距离相 等的点的轨迹(F? l).定义指明了抛物线上的点到焦点与准线 的距离相等,并在解题中有突出的运用. ②抛物线方程(标准)有四种形式:y2=±2px和x2=±2py(p>0), 选择时必须判定开口与对称轴. p ③掌握几何性质,注意分清2p,p, 2 的几何意义.

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解析几何解答题的解法 应试策略

3.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法 (1)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系,可将直线l的方程代入 曲线C的方程,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x的 一元方程ax2+bx+c=0,然后利用“Δ”法. (2)有关弦长问题,应用弦长公式及韦达定理,设而不求;有关 焦点弦长问题,要重视圆锥曲线的定义的运用,以简化运算. (3)有关弦的中点问题,除了利用韦达定理外,要注意灵活运用 “点差法”,设而不求,简化运算.

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解析几何解答题的解法 应试策略

(4)有关垂直关系问题,应注意运用斜率关系(或向量方法)及 韦达定理,设而不求,整体处理. (5)有关圆锥曲线关于直线l的对称问题中,若A、A′是对称 点,则应抓住AA′的中点在l上及kA A′· l=-1这两个关键 k 条件解决问题. (6)有关直线与圆锥曲线的位置关系中的存在性问题,一般 采用“假设反证法”或“假设验证法”来解决.

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解析几何解答题的解法 考题剖析

1.(北京清华大学附中模拟题)无论m为任何实数,直线 l:y=x+m与双曲线C:
x
2

?

y b

2 2

?1

2

(b>0)恒有公共点.

(Ⅰ)求双曲线C的离心率e的取值范围;

(Ⅱ)若直线l过双曲线C的右焦点F,与双曲线交于P,Q两
点,并且满足
FP ? 1 5 FQ

,求双曲线C的方程.

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解析几何解答题的解法 考题剖析

[解析] (Ⅰ)联立 ,

?y ? x ? m ? 2 2 ? x y ? ? 1 ? 2 b ? 2

得b2x2-2(x+m)2-2b2=0 (b2-2)x2-4mx-2(m2+b2)=0 当b2=2时,m=0,直线与双曲线无交点,矛盾 ∴b2≠2,∴e≠ ∵直线与双曲线恒有交点, 2 ∴Δ=16m2+8(b2-2)(m2+b2)≥0恒成立 ∴b2≥2-m2 , m∈R ∴e≥ 2 ,∴e> 2

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解析几何解答题的解法 考题剖析

(Ⅱ)F(c,0),则直线l的方程y=x-c
?y ? x ? c ? 2 2 ? x y ? ? 1 ? 2 b ? 2

联立得(b2-2)y2+2cb2y+b2c2-2b2=0



2 ? ? 2 cb ? y1 ? y 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 2 2 ? y ? y ? b c ? 2b 2 2 ? 1 b ? 2 ?

FP ?

1 5

FQ

∴y1=

1 5

y2 整理得:

c b 9 (b
2

2

4

? 2)

?

b c

2

2

? 2b 5

2

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解析几何解答题的解法 考题剖析

∵b2>0 ∴c2-2=b2 ∴ 9 (b
b
2 2

? 2 ? 2)

=

1 5

∴b2=7
x
2

所求的双曲线方程为

?

y

2

2

7

? 1.

[点评]由于直线与双曲线恒有公共点,可以列出关于字母b 的一个不等式(判别式),从而可以求出双曲线离 心率的取值范围,解决第2问的关键是用好 FP ? 1 FQ 5 这个条件.

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解析几何解答题的解法 考题剖析

2.(2007· 漳州市模拟题)已知椭圆中心在原点,焦点在y轴上, 2 焦距为4,离心率为 . (Ⅰ)求椭圆方程; 3 (Ⅱ)设椭圆在y轴正半轴上的焦点为F,又点A、B在椭圆上, 且 AF ? 2 FB ,求直线AB的斜率k的值.

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解析几何解答题的解法 考题剖析

[解析] (Ⅰ)设椭圆方程

y a

2 2

?

x b

2 2

?1

(a>b>0).

由2c=4得c=2,又

c a

?

2 3

.

故a=3,b2=a2-c2=5, ∴所求的椭圆方程
y
2

?

x

2

?1

9

5

.

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解析几何解答题的解法 考题剖析

(Ⅱ)点F的坐标为(0,2),设直线AB的方程为 y=kx+2,A(x1,y1)、B(x2,y2). 由
? y ? kx ? 2 ? 2 2 ?y x ? ?1 ? 5 ? 9

得(9+5k2)x2+20kx-25=0,

显然Δ>0成立,根据韦达定理得 x1+x2=-
x1 x2=-
20 k 9 ? 5k
2

,①

25 9 ? 5k
2



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解析几何解答题的解法 考题剖析



AF

=(-x1,2-y1),

FB

=(x2,y2-2),

AF

=2 FB ,

∴x1=-2x2,代入①、②得 x2 =
2

20 k 9 ? 5k
25 9 ? 5k
2

2

③ ④
20 k 9 ? 5k
2

2x 2 =

由③、④得2(
∴k2=
1 3

)2 =
.

25 9 ? 5k
2

,

,

k=±

3 3

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解析几何解答题的解法 考题剖析

3.(2007· 福建示范性高中质检题) 设点A、B是直线2x-y=0与抛物线y=3-x2的两个交点,抛 物线上的动点M在A、B两点间移动,如图所示. (1)试求M的坐标,使得△MAB的面积最大; (2)试证明:抛物线y=3-x2上平行于AB的弦恒被一条定直线平分.

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解析几何解答题的解法 考题剖析

[解析] (1)显然,定直线2x-y=0与抛物线y=3-x2相交, 且弦AB长为定值,又因为点M在A、B两点间移动(点M在 直线2x-y=0的上方), 所以,要使△MAB的面积最大,只须点M到AB的距离最大. 则点M就是平行于AB的直线与抛物线y=3-x2相切的切点. 设M(x0,y0),y′|x=x0=-2x0 因为切线与直线2x-y=0平行,所以-2x0=2, x0=-1,y0=3- x 02 =2, 即点M的坐标为(-1,2).

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解析几何解答题的解法 考题剖析

另解1:显然,定直线2x-y=0与抛物线y=3-x2相交,且弦AB 长为定值,又因为点M在A、B两点间移动(点M在直线 2x-y=0的上方),所以,要使△MAB的面积最大,只 须点M到AB的距离最大. 设M(x0,y0),y0=3- x 02 且2x0-y0<0 ∴点M到AB的距离d=
| 2x 0? y0 | 5

=

?[ 2 x 0 ? ( 3 ? x 0 )]
2

5

=-

1

5

[(x0+1)2-4]
,所以点M的坐标为(-1,2)

当x0=-1时,距离d取最大值

4 5

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解析几何解答题的解法 考题剖析

另解2:设A(x1,y1),B(x2,y2), 将y=2x代入y=3-x2得x2+2x-3=0

解得x1=1,x2=-3,则A(1,2),B(-3,-6),
|AB|=4
5

设M(m,3-m2)(-3<m<1),点M到AB的距离 d=
| 2 m ? (3 ? m ) |
2

?

|m

2

? 2m ? 3 | 5

?

?(m

2

? 2 m ? 3) 5

5

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解析几何解答题的解法 考题剖析

∴△MAB的面积S= |AB|×d=-2(m2+2m-3)=-2(m+1)2+8
2

1

当m=-1时,面积S取最大值8. 所以点M的坐标为(-1,2)

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解析几何解答题的解法 考题剖析

(2)证明:设平行于AB的弦CD所在直线方程为y=2x+n

代入y=3-x2得x2+2x+n-3=0
设C(x1,y1),D(x2,y2) 弦CD的中点坐标(x0,y0), 则x1+x2=-2, x0 =
x1 ? x 2 2

=-1, y0=-2+n

所以弦CD的中点恒在直线x=-1上,
即平行于AB的弦恒被定直线x=-1平分.

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解析几何解答题的解法 考题剖析

[点评] 第1问的解答方法较多,可以转化为求与抛物线相切的直 线,也可以利用判别式法来求,还可以利用点到直线的距 离转化为函数求最值.第2问要证明平行于AB的弦被定直线 平分,只需说明弦的中点的恒定性,这是一种转化的思想.

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解析几何解答题的解法 考题剖析

4.(2007· 江西省师大附中模拟题)已知定点P(p,0)(p>0), 动点M在y轴上的射影为H,若向量 PM 与 HM 在OM 方向上的 投影相等,直线l:x+y=m. (1)求动点M的轨迹C的方程; (2)若将曲线C向左平移1个单位与直线l相交于两不同点R、 Q,且OQ ·OR =0,求p关于m的函数f(m)的表达式. [解析] (1)设M(x,y),则H(0,y),则OM =(x,y),
HM

=(x,0), PM =(x-p,y)
HM

由题可知: ·OM = PM 得x(x-p)+y2=x2

·OM ,

故C的方程为:y2=px

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解析几何解答题的解法 考题剖析

(2)曲线C向左平移1个单位后的曲线方程为y2=p(x+1)
?x ? y ? m 由 ? 2 , y ? p ( x ? 1) ? 消去y得x2 -(2m+p)x+(m2-p)=0



Δ=(2m+p)2-4(m2-p)=p (4m+p+4)>0 得m>-1-
p 4

设点Q(x1,y1),R(x2,y2),由韦达定理得

x1+x2=2m+p,x1·2=m2-p x ∵OQ ⊥ OR ∴ x1·2+y1·2=2(m2-p)-m(2m+p)+m2 x y

=m2-(m+2)p=0

∴p=f(m)=

m

2

m ? 2

由p>0及m>-1-

p 4

得函数f(m)的定义域为(-2,0)∪(0,+∞)

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解析几何解答题的解法 考题剖析

5.(2007· 河南开封市模拟题) 已知△ABC三顶点分别为A(-3,0), B(3,0),C(x,y) (Ⅰ)当BC边上的高所在直线过点D(0,2)时,求点C的轨 迹方程; (Ⅱ)设△ABC的面积为12,满足三角形的周长最小时,点C 在以A,B为焦点的椭圆上,求椭圆方程; (Ⅲ)若斜率为k的直线与(Ⅱ)中的椭圆交于不同的两点 M,N,求证:当直线平行移动时,MN的中点恒在一条 过原点的直线上.

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[解析] (Ⅰ) AD =(3,2), BC
AD AD

=(x-3,y), ≠0 3x+2y-9=0(x≠3)

⊥ BC , BC ·BC =0
?

∴轨迹方程为3x+2y-9=0 (x≠3)

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解析几何解答题的解法 考题剖析

(Ⅱ) | AB |· |y|=12,| AB |=6 2 ∴|y|=4 C轨迹方程y=±4 由对称性令y=4 则A(-3,0)关 于y=4对称点A′(-3,8) 点C(x,4)则|AC|=|A′C|(仅当A′,C,B共线时取“=”)
三角形周长最小时点C坐标(0,4), ∴
x
2

1

?

y

2

?1

为所求

25

16

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解析几何解答题的解法 考题剖析

(Ⅲ)证明:联立方程得

? y ? kx ? m ? 2 2 ?x y ? ?1 ? 16 ? 25

(16+25k2)x2+50mkx+25m2-16· 25=0 Δ>0时M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点Q(x0,y0)

x1+x2=

? 50 mk 16 ? 25 k
2

y1+y2=

32 m 16 ? 25 k
2

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解析几何解答题的解法 考题剖析

25 mk ? 2 ?x0 ? ? ? 16 ? 25 k ? 16 m ?y ? ? 0 16 ? 25 k 2 ?

消m得16x0+25ky0=0为过原点的一条直线.


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